高数习题解答(第2章).doc

第二章 导数与微分习题2.12设f (x) 在点x = x0可导，把下面各题中的字母A分别用一个关于f (x0)的式子表示出来？(1) A =（假定f (x0) 0）; (2) A =;(3) x0 = 0，f (0) = 0且A =.解:(1) A =(2) A =(-2) =-2f(x0)(3) A =f(x0)3求曲线y = f (x)在点M处的切线方程: (3) f (x) = x2, M(0, 0).解: 因为f (x)=2x, 从而f (0)=0, 因此, 所求切线方程为y-0= f (0)(x-0), 即y=0.5. 求曲线y = x3 + x上的与直线y = 4x平行的切线.解: 与直线y = 4x平行的切线的斜率为4. 因此y = 3x2+1 = 4, 从中求出切点的横坐标x =1. 把它们代入曲线方程y = x3 + x, 求出切点的纵坐标为2和 -2, 即切点为(1, 2) 和 (-1, -2). 因此, 所求切线方程为: 4x y -2 = 0 和4x y +7 = 0.6设. 讨论a, b取何值时，f (x)在点x = 0处可导.解:因为f (x)在x = 0处可导,所以f (x)在x = 0处连续.从而(f (x)-f (0)=0, 即(ax+b)-b=0且 sinx-b=0.由此推出b = 0.又,由于f (x)在x = 0处可导,所以下面极限存在且相等=.因为= a,=1(因为b=0)所以a =1.总之, 当a=1, b =0时f (x)在x = 0处可导.8. 讨论下列函数在x = 0处的连续性和可导性：(1)y = | sin x|; (2) y = .解:(1)因为|sinx|-sin0| =|sinx| = 0, 所以函数y = |sinx|在x=0处连续.又因为在x=0处的坐导数= -1,在x=0处的右导数 =1,可见左右导数不相等, 所以函数y=|sinx|在x=0处的导数不存在, 即不可导. (2)因为x2sin-0=sin=0, 所以函数y在x=0处连续. 又因为=xsin=0,所以函数y在x = 0处可导.习题2.22. 求下列函数的导数: (6) ; (8) .解: (6) y = xln x - xy = ln x + x-1= ln x.(8) y = y =.3. 求下列函数在给定点处的导数: (3) ，求;(4) ，求和.解: 因为f (t) = () =-,所以, f (4) = -.(4) 因为f (x) = 3+x, 所以, f (0) = -, f (2) = .习题2.31. 求下列反函数的导数: (2) ; (4) .解: (2) y = 2arctan=arctan (4) y = = = 2. 求下列复合函数的导数:(2) ; (4) ; (6) ;(8) ; (10) ; (12) .解: (2) y = -sinx2 2x + 2cos(sinx) = -2x sinx2 - sin2x.(4) y =.(6) y =(1+). =.(8) y = =.(10) y =(-cotxcssx+csc2x) = csc x.(12) y = (ecosx lnx) = ecosx lnx (-sinx ln x + cosx) = x cosx(-sin x ln x +).习题2.43. 若存在，求下列函数的二阶导数:(1) ; (2) .解: (1) y= f (x2)= f (x2)2x=2xf (x2),= 2f (x2) + 2xf (x2)2x = 2f (x2)+4x2f (x2).(2) y = lnf(x)=.习题2.52. 求曲线 在点处的切线方程和法线方程.解: x+ y= a 两端对x求导得:x+y= 0,从中解出= - (), 所以|= -1.故所求切线方程为: x + y -a = 0, 所求法线方程为: x - y = 0.7. 计算由所确定的函数y = y(x)的二阶导数.解: = -= - tan t, = -sec2t = .习题2.61的值从变到，试求函数的增量和微分.解: Dy = y(1.01) - y(1) = 2(1.01)2-1.01-(2-1) = 0.0302, dy = (4x-1)dx= (41.01-1) (1.01-1)= 0.03035. 计算下列函数的近似值: (2) .解: 设f (x) = ln x, 取x0 =1, x =1.01. 则Dx = x - x0 =1.01-1= 0.01. 因为 f (x)=, 从而f (x0) =1. 故ln 1.01 = ln x0 + f (x0)Dx = ln 1 + 1(0.01) = 0.01.总习题21. 利用导数的定义求导数: (2) 设，求.(3) 设，若函数f (x)在点x = 0处连续且可导，求系数a和b.解:(2) 因为f -(x) = 1, f+(0) = = 1, 故f (0) =1.(3)由f (x)在x=0处连续，得f (x)-f (0) =0, 即(ax+b)-1=ex-1=0. 从中求得b =1.因为f (x)在点x = 0处且可导，所以在点x = 0处左右导数存在且相等, 而f -(0) =1, f+(0) = = a, 故a =1.总之a =1, b=1.5. 证明题:（1） 设是可导函数，试证: 若为偶函数时，则为奇函数;若为奇函数时，则为偶函数. （2） 验证函数满足关系式. 证明: (1)因为f (x)为偶函数，所以f (-x) = f (x). 因为是可导函数，可上式两端对x求导得 -f (-x) = f (x),