排列组合考点讲义.doc

排列组合考点讲义一、本考点知识结构：排列概念两个计数原理排列数公式排列应用组合概念组合组合数公式排列组合二项式定理组合数性质二项式定理通项公式应用二项式系数性质二、考点分析-排列组合1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 3排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列4排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号pnm表示5排列数公式：pnm=n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)（）6 阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定7排列数的另一个计算公式：pnm = 8 组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合9组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示=pnmm!=n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)m!=n!m!n-m!10组合数公式： 11 组合数的性质1：规定：； 2：+ （上取大，下加一）三、例题分析-排列组合1、解排列组合题的基本思路： 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法； 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：（1） 优先法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；（2） 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。（3） 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。（4） 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。（5） 插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。（6） 捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。（7） 穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。例1. （2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种例2. （2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A） （B） （C） （D） 例3.（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m例4. 用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个例5. 从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_种.例6. （1） 7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_.（2）6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_种.例7. 从集合0，1，2，3，5，7，11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条.（答案：30）例8. 由数字、5、组成无重复数字的七位数(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数例9. 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？例10. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数. (1) 能组成多少个四位数？(2) 能组成多少个自然数？(3) 能组成多少个六位奇数？(4) 能组成多少个能被25整除的四位数？(5) 能组成多少个比201345大的数？(6) 求所有组成三位数的总和. (32640) 例11.排列组合综合分析 一、相临问题整体捆绑法 17名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？2. 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 二、不相临问题选空插入法 1 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？2. 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张，8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？三、复杂问题总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法”，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。1.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个.2. 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?3. （2010全国卷1文数）(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)四、特殊元素优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 1(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.五、多元问题分类讨论法 ，分步讨论对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。1（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）A42B30C20D122（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 3. （天津卷（文）将3种作物种植在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物的不同的种植方法有 种（以数字作答） 123454. 江苏、辽宁、天津卷（理）某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的花，不同的栽种方法有 种（以数字作答）5. 四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种6. 将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种 六、混合问题先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略1（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A 种B 种C 种D 种2（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ） A24种 B18种 C12种 D6种3. （2010江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。七相同元素分配档板分隔法 1把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。八转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.1. 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?2. 某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种3.从1，2，3，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法4.某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种5.一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法6.求（a+b+c）10的展开式的项数7.亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？九剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.1. 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?十对等法:1.期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?2.有10个人排在一排照相，问甲在已的右边的方法有几种？十平均分组问题:16本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。 四、课堂练习1. 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。2. 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 3. 4名男生和3名女生