2014-2015选修2-1-3课时提升作业(二十八) 3.2.4.doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十八)空间向量与空间距离(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014济宁高二检测)如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-ABCD,AC的中点E与AB的中点F的距离为()A.2aB.22aC.aD.12a【解析】选B.由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A(a,0,a),所以Fa,a2,0,Ea2,a2,a2.所以|EF|=a-a22+a2-a22+0-a22=a24+a24=22a. 新|课 |标 |第 | 一| 网2.已知直线l过点A(1,-1,2),和l垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则P(3,5,0)到l的距离为()A.5B.14C.145D.45【解析】选C.因为PA=(-2,-6,2).所以PAn=(-2,-6,2)(-3,0,4)=14,|n|=(-3)2+42=5.所以点P到直线l的距离为|PAn|n|=145.3.已知向量n=(2,0,1)为平面的法向量,点A(-1,2,1)在内,则P(1,2,-2)到的距离为()A.55B.5C.25D.510【解析】选A.因为PA=(-2,0,3),所以点P到平面的距离为d=|-4+3|5=55.4.(2014安顺高二检测)正四面体ABCD的棱长为1,G是ABC的中心,M在线段DG上,且AMB=90,则GM的长为()A.12B.22C.33D.66【解析】选D.设DA=a,DB=b,DC=c,AM=AD+DG=-a+3(a+b+c)=3-1a+3b+3c, BM=BA+AM=(a-b)+3-1a+3b+3c=3a+3-1b+3c.由AMBM=0,ab=bc=ac=12,可解得=12.|MG|=12|DG|=66.【一题多解】取AB的中点N,由正四面体的对称性可知AMB为等腰三角形,所以MN=12AB=12.又G为ABC的中心,所以NG=36,故MG=MN2-NG2=66.5.(2014南宁高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则直线DA1与AC间的距离为()A.13B.23C.33D.34【解析】选C.建立以A为原点,以AB,AD,AA1为x,y,z轴的空间直角坐标系,则得A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),AC=(1,1,0),DA1=(0,-1,1),设线段MN为两直线DA1与AC的公垂线段,且设MN=(x,y,z),则MNAC,MNDA1,得x+y=0,-y+z=0,令y=t,则MN=(-t,t,t),另可设M(m,m,0),N(0,a,b),MN=(-m,a-m,b)-m=-t,a-m=t,b=t,N(0,2t,t),2t+t=1,t=13,MN=-13,13,13,MN=19+19+19=33.6.(2014邯郸高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且AMMC1=12,N为BB1的中点,则|MN|的长为()A.216aB.66aC.156aD.153a【解析】选A.设A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则|a|=|b|=|c|=a,ab=bc=ca=0,由条件知,MN=AN-AM=12(AB+AB1)-13AC1=12(AB+AB+AA1)-13(AA1+A1B1+A1D1)=12(2a-c)-13(-c+a+b)=23a-13b-16c,|MN|2=19(2a-b-12c)2=19(4|a|2+|b|2+14|c|2-4ab-2ac+bc)=21a236,所以|MN|=216a.【变式训练】正四面体ABCD棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为.【解析】|EF|2=EF2=(EC+CD+DF)2=EC2+CD2+DF2+2(ECCD+ECDF+CDDF)=12+22+12+212cos 120+0+21cos 120=2,所以|EF|=2,所以EF的长为2.答案:2二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014延安高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,如果AB=BC=1,AA1=2,那么A到直线A1C的距离为.【解析】建立如图所示空间坐标系A1xyz,则A1(0,0,0),A(0,0,2),C(1,1,2),A1C=(1,1,2),A1A=(0,0,2),又cosAA1C=A1AA1C|A1A|A1C|=426=63.设A到直线A1C的距离为d,则d=|A1A|sinAA1C=21-632=233.答案:2338.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则BD到平面EFD1B1的距离为 .【解析】以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易求平面EFD1B1的法向量n=-1,1,12,又DF=0,12,0,所以d=13.w w w .x k b 1.c o m答案:139.(2014石家庄高二检测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN的距离为.【解析】以A为原点,直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易知AM=12,0,1,CN=0,-1,12,设n=(x,y,z),且nAM,nCN,所以nAM=12x+z=0,nCN=-y+12z=0,所以x=-2z,y=12z.取z=2,则n=(-4,1,2),所以AM与CN的距离d=217.答案:217三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014黄山高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N为D1C的中点,求M,N两点间的距离.【解题指南】建立空间直角坐标系表示出点M,N的坐标,利用空间两点的距离公式求出距离.【解析】建立如图所示空间直角坐标系,据题意有|A1C1|=22,因为|MC1|=2|A1M|,所以|A1M|=232.所以M23,23,4.又C(2,2,0),D1(0,2,4),N为CD1的中点,所以N(1,2,2),所以|MN|=1-232+2-232+(2-4)2=533.11.三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.(1)求证:平面AB1D平面ABB1A1.(2)求点C到平面AB1D的距离.【解析】(1)如图所示,取AB1中点M,则DM=DC+CA+AM,又DM=DC1+C1B1+B1M.所以2DM=CA+C1B1=CA+CB.2DMAA1=(CA+CB)AA1=0,2DMAB=(CA+CB)(CB-CA)=|CB|2-|CA|2=0,所以DMAA1,DMAB.所以DM平面ABB1A1.因为DM平面AB1D,所以平面AB1D平面ABB1A1.(2)因为A1BDM,A1BAB1.所以A1B平面AB1D.所以A1B是平面AB1D的一个法向量.所以点C到平面AB1D的距离为d=|ACA1B|A1B|=|ACA1A+ACAB|2a=|ACAB|2a=12a22a=24a.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013济南高二检测)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则空间P,D两点间的距离为()A.573B.643C.743D.773【解题指南】先利用AP=2PB的关系求出P点坐标,再求两点间的距离.【解析】选D.设P(x,y,z),因为AP=2PB,所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),所以x-1=-2-2x,y-2=6-2y,z-1=8-2z,所以x=-13,y=83,z=3.所以P(-13,83,3),PD=(43,-53,-2),所以|PD|=773.2.(2014衡水高二检测)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA底面ABCD,PA=AB=2,|AD|=1,点E是棱PB的中点.直线AB与平面ECD的距离为()A.1B.33C.83D.2【解析】选B.如图,以A为坐标原点,射线AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Axyz.则B(2,0,0),P(0,0,2),E22,0,22.由|AD|=1,得D(0,1,0),C(2,1,0),从而DC=(2,0,0),DE=22,-1,22,AE=22,0,22,设平面DEC的法向量n=(x,y,z),则nDC=0,nDE=0.故2x=0,22x-y+22z=0,所以x=0,z=2y.可取y=1,则n=(0,1,2).故点A到平面ECD的距离d=13=33,又直线AB平面ECD,所以直线AB到平面ECD的距离为33.【变式训练】在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA底面ABCD,BCAD,ABC=90,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为()A.3B.3C.2D.2【解析】选D.由已知AB,AD,AP两两垂直.所以以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),PB=(2,0,-2).BC=(0,2,0),设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则2a-2c=0,b=0.所以n=(1,0,1),又AB=(2,0,0),所以d=2.3.(2014昆明高二检测)ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PDAD,PD=AD=2,二面角P-AD-C的大小为60,则P到AB的距离是()A.22B.3C.2D.7【解析】选D.如图建立直角坐标系,易知PDC为二面角P-AD-C的平面角,PD=AD=2,得P(0,1,3),A(2,0,0),B(2,2,0),AP=(-2,1,3),AB=(0,2,0),设点P到AB的距离为d,则d=|AP|sinPAB,cosPAB=APAB|AP|AB|=284=24,sinPAB=1-cos2PAB=1-18=144,来源:Z,xx,k.Com所以d=8144=7.4.(2014西安高二检测)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是()A.12B.24C.22D.32【解析】选B.以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则有D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1), C1(0,1,1).因O为A1C1的中点,所以O12,12,1,C1O=12,-12,0,设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z),则有即-x+z=0,y=0,取n=(1,0,1),所以O到平面ABC1D1的距离为:d=122=24.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60,则AD的长为.【解析】以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),CD=(1,0,a),CB1=(0,2,2),设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z).则2y+2z=0,x+az=0,令z=-1,得m=(a,1,-1),又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos60=得1a2+2=12,即a=2,故AD=2.答案:26.(2014南京高二检测)等腰RtABC斜边BC上的高AD=1,以AD为折痕将ABD与ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出以下结论:BDAC;BAC=60;异面直线AB与CD之间的距离为22;点D到平面ABC的距离为33;直线AC与平面ABD所成的角为45.其中正确结论的序号是.【解析】因为ADBD,ADCD,平面ABD平面ACD,所以BDC=90,所以BD平面ACD,所以BDAC,所以正确;又知AD=BD=CD=1,所以ABC为正三角形,BAC=60,所以正确;以D为原点,DB,DC,DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,易知A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),所以AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),DC=(0,1,0),设n=(x,y,z),由nAB=0,nDC=0得x-z=0,y=0,令z=1得n=(1,0,1),所以异面直线AB与DC之间的距离d=22,故正确;因为ABC边长为2,所以SABC=32,由VA-BDC=VD-ABC得13(1211)1=1332h,所以h=33,故正确;因为CD平面ABD,所以CAD为直线AC与平面ABD所成的角,易知CAD=45,故正确.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)新*课标*第*一*网7.(2014泰安高二检测)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M,N分别为A1A和B1B的中点.(1)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值.(2)求点D1到平面MDC的距离.【解析】(1)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则M(2,0,1),C(0,2,0),N(2,2,1),D1(0,0,2).所以MC=(-2,2,-1),D1N=(2,2,-1),cos=-4+4+133=19,所以异面直线CM与D1N所成角的余弦值为19.(2)DM=(2,0,1),DC=(0,2,0),DD1=(0,0,2).设面DMC的法向量为n=(x,y,z),则2x+z=0,y=0n=(1,0,-2),所以点D1到平面MDC的距离h=45=455.【变式训练】(2014安庆高二检测)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,AEC1F为平行四边形.(1)求BF的长.(2)求点C到平面AEC1F的距离.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),设F(0,0,z).因为四边形AEC1F为平行四边形,所以由AF=EC1得,(-2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2.所以F(0,0,2).所以BF=(-2,-4,2).于是|BF|=26.即BF的长为26.(2)设n1为平面AEC1F的法向量,显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1=(x,y,1),所以所以0x+4y+1=0,-2x+0y+2=0.即4y+1=0,-2x+2=0,所以x=1,y=-14.又CC1=(0,0,3),设CC1与n1的夹角为,则cos=331+116+1=43333.所以C到平面AEC1F的距离为d=|CC1|cos=343333=43311.【拓展延伸】用向量法求点面距离的方法与步骤8.(2014石家庄高二检测)已知正方形ABCD的边长为1,PD平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,B