吉林省吉林一中高二数学下学期质检试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年吉林省吉林一中高二（下）质检数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1复数的虚部为（）a4ib4ic4d42已知曲线y=x2+2x2在点m处的切线与x轴平行，则点m的坐标是（）a（1，3）b（1，3）c（2，3）d（2，3）3若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2（a1+a3）2的值是（）a1b1c0d24某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）a0.8b0.75c0.6d0.455命题：在三角形中，顶点与对边中点连线所得三线段交于一点，且分线段长度比为2：1，类比可得在四面体中，顶点与所对面的（）连线所得四线段交于一点，且分线段比为（）a重心3：1b垂心3：1c内心2：1d外心2：16已知随机变量服从正态分布n（2，2），p（4）=0.84，则p（0）=（）a0.16b0.32c0.68d0.847甲，乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列，则有结论：（）工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20a甲的产品质量比乙的产品质量好一些b乙的产品质量比甲的产品质量好一些c两人的产品质量一样好d无法判断谁的质量好一些8六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）a192种b216种c240种d288种9已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f（x），f（0）0，对于任意实数x都有f（x）0，则的最小值为（）a3bc2d10某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（）abcd以上都不对11已知ab0，e1，e2分别为圆锥曲线+=1和=1的离心率，则lg e1+lg e2的值（）a大于0且小于1b大于1c小于0d等于012函数f（x）=（1cosx）sinx在，的图象大致为（）abcd二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填写在横线上）13下列四个命题：线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；用相关指数r2来刻画回归效果，r2越小，说明模型的拟合效果越好；其中真命题是14已知（12x）n的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64，则（12x）n的展开式中，x4的系数为15已知函数f（x）=x3+ax在区间（1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是 16设抛物线c：y2=3px（p0）的焦点为f，点m在c上，|mf|=5，若以mf为直径的圆过点（0，2），则c的方程为三、解答题（共6小题，满分70分）17在abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，若（a+b+c）（b+ca）=3bc（1）求角a的值；（2）在（1）的结论下，若，求y=cos2x+sinasin2x的最值18已知点（1，2）是函数f（x）=ax（a0，a1）的图象上一点，数列an的前n项和是sn=f（n）1（）求数列an的通项公式；（）若bn=logaan+1，求数列anbn的前n项和tn19如图，矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，bcf=cef=90，ad=（）求证：ae平面dcf；（）当ab的长为何值时，二面角aefc的大小为60？20电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”（1）根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否能够在犯错概率不超过0，05的前提下认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为x若每次抽取的结果是相互独立的，求x的分布列，期望e（x）和方差d（x）附：k2=p（k2k）0.050.01k3.8416.63521如图，在平面直角坐标系xoy中，f1，f2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，顶点b的坐标为（0，b），连接bf2并延长交椭圆于点a，过点a作x轴的垂线交椭圆于另一点c，连接f1c（1）若点c的坐标为（，），且bf2=，求椭圆的方程；（2）若f1cab，求椭圆离心率e的值22设函数f（x）=xlnx（x0）（1）求函数f（x）的最小值；（2）设f（x）=ax2+f（x）（ar），讨论函数f（x）的单调性；（3）斜率为k的直线与曲线y=f（x）交于a（x1，y1）、b（x2，y2）（x1x2）两点，求证：2014-2015学年吉林省吉林一中高二（下）质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1复数的虚部为（）a4ib4ic4d4【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1i化简已知复数，可得其虚部【解答】解：化简可得=34i，复数的虚部为：4故选：d【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的基本概念，属基础题2已知曲线y=x2+2x2在点m处的切线与x轴平行，则点m的坐标是（）a（1，3）b（1，3）c（2，3）d（2，3）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的概念及应用【分析】设出m（m，n），求出导数，求得切线的斜率，由题意可得2m+2=0，解得m，进而得到n，即可得到切点坐标【解答】解：y=x2+2x2的导数为y=2x+2，设m（m，n），则在点m处的切线斜率为2m+2，由于在点m处的切线与x轴平行，则2m+2=0，解得m=1，n=122=3，即有m（1，3）故选b【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线平行的条件，正确求导是解题的关键3若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2（a1+a3）2的值是（）a1b1c0d2【考点】二项式定理的应用【专题】计算题；转化思想【分析】给二项展开式的x分别赋值1，1得到两个等式，两个等式相乘求出待求的值【解答】解：令x=1，则a0+a1+a4=，令x=1，则a0a1+a2a3+a4=所以，（a0+a2+a4）2（a1+a3）2=（a0+a1+a4）（a0a1+a2a3+a4）=1故选a【点评】本题考查求二项展开式的系数和问题常用的方法是：赋值法4某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）a0.8b0.75c0.6d0.45【考点】相互独立事件的概率乘法公式【专题】概率与统计【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75p=0.6，由此解得p的值【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75p=0.6，解得p=0.8，故选：a【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题5命题：在三角形中，顶点与对边中点连线所得三线段交于一点，且分线段长度比为2：1，类比可得在四面体中，顶点与所对面的（）连线所得四线段交于一点，且分线段比为（）a重心3：1b垂心3：1c内心2：1d外心2：1【考点】类比推理【专题】综合题；推理和证明【分析】三角形类比于四面体，顶点与对边中点连线类比于顶点与所对面的重心连线，再研究比值【解答】解：三角形类比于四面体，顶点与对边中点连线类比于顶点与所对面的重心连线，设o1，o2是adc，bcd的重心，连接ao1并延长交cd于e，连接be，则be经过o2，在abe中，eo1：ea=eo2：eb=3：1，o1o2ab，o1o2：ab=3：1且ao2与bo1交于o，同理，其余顶点与对面重心的连线交于o，故选：a【点评】本题考查类比推理，由平面图形的性质类比到空间几何体的性质属于常规题6已知随机变量服从正态分布n（2，2），p（4）=0.84，则p（0）=（）a0.16b0.32c0.68d0.84【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】由正态分布曲线知，p（0）=1p（4）【解答】解：由p（4）=p（22）=p=0.84又p（0）=p（22）=p=0.16故选a【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=，并在x=时取最大值 从x=点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的7甲，乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列，则有结论：（）工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20a甲的产品质量比乙的产品质量好一些b乙的产品质量比甲的产品质量好一些c两人的产品质量一样好d无法判断谁的质量好一些【考点】极差、方差与标准差【专题】计算题【分析】根据出现废品数与出现的概率，得到甲生产废品期望和乙生产废品期望，把甲和乙生产废品的期望进行比较，得到甲生产废品期望大于乙生产废品期望，得到乙的技术要好一些【解答】解：甲生产废品期望是10.3+20.2+30.1=1，乙生产废品期望是10.5+20.2=0.9，甲生产废品期望大于乙生产废品期望，故选b【点评】本题考查两的知识点是方差或标准差，及数学期望，根据方差说明两组数据的稳定性，这是统计中经常出现的一类问题8六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）a192种b216种c240种d288种【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】应用题；排列组合【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种故选：b【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题9已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f（x），f（0）0，对于任意实数x都有f（x）0，则的最小值为（）a3bc2d【考点】导数的运算【专题】综合题；压轴题【分析】先求导，由f（0）0可得b0，因为对于任意实数x都有f（x）0，所以结合二次函数的图象可得a0且b24ac0，又因为，利用均值不等式即可求解【解答】解：f（x）=2ax+b，f（0）=b0；对于任意实数x都有f（x）0，a0且b24ac0，b24ac，c0；，当a=c时取等号故选c【点评】本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强10某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（）abcd以上都不对【考点】模拟方法估计概率【专题】计算题【分析】我们把从a到3的路线图单独画出来：分析可得从a到3总共有5个岔口，每一岔口走法的概率都是，而从a到3总共有c52=10种走法，计算可得答案【解答】解：我们把从a到3的路线图单独画出来：分析可得，从a到3总共有c52=10种走法，每一种走法的概率都是，珠子从出口3出来是5=故选a【点评】本题是二项分布的一个模型，下面第n层第i个出口对应的概率是，i=1，2，n11已知ab0，e1，e2分别为圆锥曲线+=1和=1的离心率，则lg e1+lg e2的值（）a大于0且小于1b大于1c小于0d等于0【考点】双曲线的简单性质；对数的运算性质【专题】计算题【分析】确定e1，e2的值，计算它们的乘积，取对数，即可得到结论【解答】解：根据题意，ab0，1lg（e1e2）0lg e1+lg e2的值小于0故选c【点评】本题考查圆锥曲线的性质，考查对数运算，解题的关键是正确求出离心率12函数f（x）=（1cosx）sinx在，的图象大致为（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】由函数的奇偶性可排除b，再由x（0，）时，f（x）0，可排除a，求导数可得f（0）=0，可排除d，进而可得答案【解答】解：由题意可知：f（x）=（1cosx）sin（x）=f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除b，又因为当x（0，）时，1cosx0，sinx0，故f（x）0，可排除a，又f（x）=（1cosx）sinx+（1cosx）（sinx）=sin2x+cosxcos2x=cosxcos2x，故可得f（0）=0，可排除d，故选c【点评】本题考查三角函数的图象，涉及函数的奇偶性和某点的导数值，属基础题二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填写在横线上）13下列四个命题：线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；用相关指数r2来刻画回归效果，r2越小，说明模型的拟合效果越好；其中真命题是【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】由条件利用“残差”的意义、相关指数的意义即可作出判断【解答】解：根据线性相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故不正确根据比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故正确用相关指数r2可以刻画回归的效果，r2的值越大说明模型的拟合效果越好，故不正确，故答案为：【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于基础题14已知（12x）n的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64，则（12x）n的展开式中，x4的系数为560【考点】二项式定理的应用【专题】二项式定理【分析】由条件利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求得展开式中x4的系数【解答】解：由题意可得2n1=64=26，n=7，由于12x）7的展开式的通项公式为 tr+1=（2）rxr，令r=4，可得x4的系数为（2）4=560，故答案为：560【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题15已知函数f（x）=x3+ax在区间（1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是 a3【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】计算题【分析】根据函数f（x）=x3+ax在区间（1，1）上是增函数，转化成f（x）=3x2+a0，在区间（1，1）上恒成立，然后利用参数分离法将a分离得a3x2，使x（1，1）恒成立即可求出a的范围【解答】解：由题意应有f（x）=3x2+a0，在区间（1，1）上恒成立，则a3x2，x（1，1）恒成立，故a3故答案为：a3【点评】函数在开区间上的单调增可转化成其导函数恒大于等于0，单调减可转化成其导函数恒小于等于0，属于基础题16设抛物线c：y2=3px（p0）的焦点为f，点m在c上，|mf|=5，若以mf为直径的圆过点（0，2），则c的方程为y2=4x或y2=16x【考点】圆的一般方程；抛物线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线方程算出|of|=，设以mf为直径的圆过点a（0，2），在rtaof中利用勾股定理算出|af|=，再由直线ao与以mf为直径的圆相切得到oaf=amf，rtamf中利用amf的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线c的方程【解答】解：因为抛物线c方程为y2=3px（p0）所以焦点f坐标为（，0），可得|of|=因为以mf为直径的圆过点（0，2），所以设a（0，2），可得afamrtaof中，|af|=，所以sinoaf=因为根据抛物线的定义，得直线ao切以mf为直径的圆于a点，所以oaf=amf，可得rtamf中，sinamf=，因为|mf|=5，|af|=，所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=因此，抛物线c的方程为y2=4x或y2=16x故答案为：y2=4x或y2=16x【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径mf，以mf为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17在abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，若（a+b+c）（b+ca）=3bc（1）求角a的值；（2）在（1）的结论下，若，求y=cos2x+sinasin2x的最值【考点】三角函数的最值；余弦定理【专题】计算题【分析】（1）将（a+b+c）（b+ca）=3bc变形为（b+c）2a2=3bc，再用余弦定理求解（2）先降幂，再用辅助角法转化为一个角的一种三角函数求最值【解答】解：（1）（b+c）2a2=b2+2bc+c2a2=3bc，2bccosa=bc，所以（7分）（2）（10分）因为，（12分）所以，即（14分）【点评】本题主要考查三角形中的余弦定理和三角函数中的降幂公式和辅助角法18已知点（1，2）是函数f（x）=ax（a0，a1）的图象上一点，数列an的前n项和是sn=f（n）1（）求数列an的通项公式；（）若bn=logaan+1，求数列anbn的前n项和tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【专题】计算题【分析】（i）把点（1，2）代入函数解析式中求得a，然后可得数列前n项和的表达式，进而利用an=snsn1，求得an（ii）把（i）中的an代入bn中求得数列anbn的通项公式，然后利用错位相减法求得数列的前n项的和【解答】解：（i）把点（1，2）代入函数f（x）=ax得a=2，所以数列an的前n项和为sn=f（n）1=2n1当n=1时，a1=s1=1当n2时，an=snsn1=2n2n1=2n1对n=1时也适合an=2n1（ii）由a=2，bn=logaan+1得bn=n，所以anbn=n2n1tn=120+221+322+n2n12tn=121+222+323+（n1）2n1+n2n由得：tn=20+21+22+2n1n2n所以tn=（n1）2n+1【点评】本题主要考查了数列的通项公式和前n项的和考查了学生对数列知识的综合把握19如图，矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，bcf=cef=90，ad=（）求证：ae平面dcf；（）当ab的长为何值时，二面角aefc的大小为60？【考点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题【专题】计算题；证明题；综合题【分析】（）过点e作egcf并cf于g，连接dg，证明ae平行平面dcf内的直线dg，即可证明ae平面dcf；（）过点b作bhef交fe的延长线于h，连接ah，说明ahb为二面角aefc的平面角，通过二面角aefc的大小为60，求出ab即可【解答】（）证明：过点e作egcf并cf于g，连接dg，可得四边形bcge为矩形又abcd为矩形，所以adeg，从而四边形adge为平行四边形，故aedg因为ae平面dcf，dg平面dcf，所以ae平面dcf（）解：过点b作bhef交fe的延长线于h，连接ah由平面abcd平面befg，abbc，得ab平面befc，从而ahef，所以ahb为二面角aefc的平面角在rtefg中，因为eg=ad=又因为ceef，所以cf=4，从而be=cg=3于是bh=besinbeh=因为ab=bhtanahb，所以当ab=时，二面角aefg的大小为60【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用【点评】本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力20电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”（1）根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否能够在犯错概率不超过0，05的前提下认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为x若每次抽取的结果是相互独立的，求x的分布列，期望e（x）和方差d（x）附：k2=p（k2k）0.050.01k3.8416.635【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图【专题】应用题；概率与统计【分析】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出k2，与3.841比较即可得出结论；（2）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于xb（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，得k2=3.030因为3.0303.841，所以我们不能能够在犯错概率不超过0，05的前提下认为“体育迷”与性别有关（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率由题意知xb（3，），从而x的分布列为x0123pe（x）=np=3=d（x）=np（1p）=3=【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用、独立性检验、随机变量的分布列、期望、方差计算，考查运用所学知识解决实际问题能力，是中档题21如图，在平面直角坐标系xoy中，f1，f2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，顶点b的坐标为（0，b），连接bf2并延长交椭圆于点a，过点a作x轴的垂线交椭圆于另一点c，连接f1c（1）若点c的坐标为（，），且bf2=，求椭圆的方程；（2）若f1cab，求椭圆离心率e的值【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值（2）求出c的坐标，利用f1cab建立