高考数学一轮复习 4.3平面向量的数量积练习 理.doc

第三节平面向量的数量积一、平面向量的数量积的定义1向量a，b的夹角：已知两个非零向量a，b，过o点作a，b，则aob(0180)叫做向量a，b的夹角当且仅当两个非零向量a，b同方向时，0，当且仅当a，b反方向时，180，同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的2a与b垂直：如果a，b的夹角为90，则称a与b垂直，记作ab.3a与b的数量积：两个非零向量a，b，它们的夹角为，则cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即abcos ，规定0a0，非零向量a与b当且仅当ab时，90，这时ab0.4b在a方向上的投影：|op|cos r(注意是射影)5ab的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积二、平面向量数量积的性质设a，b是两个非零向量，e是单位向量，于是有：1eaaecos .2abab0.3当a与b同向时，ab；当a与b反向时，ab，特别地，aaa2，即|a|.4cos .5.三、平面向量数量积的运算律1交换律成立：abba.2对实数的结合律成立：ba.3分配律成立：cacbcc.四、平面向量数量积的坐标表示1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.2若a(x，y)，则|a|2aax2y2，.3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则.4若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.5若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.6若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .1已知向量a(1，2)，b(2，1)，则(ab)(ab)的充要条件是(a)arb0c2d1解析：先求(ab)，(ab)的坐标，再由两向量垂直则数量积为零，列等式求.(ab)(2，21)，(ab)(12，2)，因为(ab)(ab)，所以(2)(12)(21)(2)0，得r，故选a.2已知a(1，2)，b(0，1)，c(k，2)，若(a2b)c，则k(c)a2b2c8 d8解析：a(1，2)，b(0，1)，a2b(1，4)，又因为(a2b)c，所以(a2b)ck80，解得k8，故选c.3在abc中，已知4，12，则|4解析：4，bccos a4，得b2c2a28，同理a2c2b224，两式相加得c216，c4.4已知平面向量，1，2，(2)，则的值是高考方向1.数量积的运算、投影、模与夹角是近几年高考命题的热点.2.常与三角函数、三角恒等变换、解析几何等相结合考查.3.题型主要以选择题、填空题为主，属中档题.1(2013陕西卷)设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的(c)a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：ab|a|b|cos .若|ab|a|b|cos 1，则向量a与b的夹角为0或，即ab为真；相反，若ab，则向量a与b的夹角为0或，即|ab|a|b|.2(2013山东卷)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为解析：由知0，即()()(1)22(1)32940，解得.1已知两个非零向量a与b，定义|ab|a|b|sin ，其中为a与b的夹角若a(3，4)，b(0，2)，则|ab|的值为(d)a8 b6 c8 d6解析：由已知可得|a|5，|b|2，则cos .sin .|ab|a|b|sin 526.故选d.2(2014南京三模)在平面直角坐标系xoy中，已知(3，1)，(0，2)，若0，则实数的值为2课时作业1若向量a(3，m)，b(2，1)，ab0，则实数m的值为(d)a b.c2 d6解析：由ab32m(1)0，解得m6.故选d.2已知向量a(x1，2)，b(2，1)，则ab的充要条件是(d)ax bx1cx5 dx0解析：因为向量a(x1，2)，b(2，1)，ab，所以2(x1)20，解得x0.故选d.3若向量a(1，1)，b(2，5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x(c)a6 b5c4 d3解析：8ab(8，8)(2，5)(6，3)，(8ab)c633x30x4.故选c.4若圆o的半径为3，直径ab上一点d使3，e，f为另一直径的两个端点，则(d)a3 b4c6 d8解析：()()()()198.故选d.5已知向量a(4，3)，b(2，1)，如果向量ab与b垂直，则|2ab|的值为(d)a1 b.c5 d5解析：由题知，ab(4，3)(2，1)(42，3)(ab)b，(42，3)(2，1)0，解得1.2ab(8，6)(2，1)(10，5)|2ab|5.故选d.6定义运算|ab|a|b|sin ，其中是向量a，b的夹角若|x|2，|y|5，xy6，则|xy|(a)a8 b8c8 或 8 d6解析：|x|2，|y|5，xy6，cos .又是向量a，b的夹角，sin .|x|y|sin 258.故选a.7已知向量a，b满足|a|1，|b|，且(3a2b)a，则a与b的夹角为解析：利用向量数量积的定义和性质求解，由(3a2b)a得(3a2b)a3|a|22ab0ab|a|2|a|b|cosa，b，cosa，ba，b.8已知a(2，3)，b(4，7)，则a在b方向上的投影为.9直角坐标系xoy中，已知两定点a(1，0)，b(1，1)动点p(x，y)满足则点m(xy，xy)构成的区域的面积等于4解析：由得设m(s，t)，则解得由得作出不等式组对应的平面区域为如图所示的平行四边形ocde，且e(0，2)，d(2，0)，c(2，2)，所以平行四边形的面积为224.10在平面直角坐标系xoy中，已知点a(1，2)，b(2，3)，c(2，1)(1)求以线段ab，ac为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解析：(1)由题设知(3，5)，(1，1)，则(2，6)，(4，4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t，5t)由(t)0，得(32t，5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.11已知向量(cos x，sin x)，定义函数f(x).(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当时，求锐角x的值解析：(