中考数学二轮复习 专题二 跨学科问题.doc

跨学科问题一、中考专题诠释所谓“跨学科”型问题，主要是指在问题中渗透了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，或者说借用了高一级学科或者同阶段中另外学科知识，引导学生在理解的基础上能对学过知识的灵活运用，这就要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，这贵在重视学生应用新的知识解决问题的能力培养。二、解题策略和解法精讲“跨学科问题专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理运用已学知识点进行迁移三、中考典例剖析考点一：推理与论证例1 .（2014福建厦门，第26题6分）a，b，c，d四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果a队没有全胜，那么a队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场考点：推理与论证分析：根据题意每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛，根据规则每场比赛，两队得分的和是3分或2分，据此对a队的胜负情况进行讨论，从而确定解答：每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛若a队两胜一平，则积7分因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，每场比赛，两队得分的和是3分或2分6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，最多只有两个队得7分所以积7分保证一定出线若a队两胜一负，积6分如表格所示，根据规则，这种情况下，a队不一定出线同理，当a队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线总之，至少7分才能保证一定出线点评：本题考查了正确进行推理论证，在本题中正确确定a队可能的得分情况是关键对应训练1（2015广西崇左第18题3分）4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式规定它的运算法则为：=adbc若=12，则x=解析： =12，即(x+3)2-(x-3)2=12,12x=12,x=1.点评：对于新定义的题，首先要看懂运算的法则，把新定义问题转化为常规的数学问题来解决.本题新定义的实质是将四个整式交叉相乘再求差，运用完全平方公式，去括号、合并同类项法则等进行化简，最后转化为解方程确定结果. 考点二：与物理学科有关的问题例2 （2014湖北荆门,第8题3分）如图，电路图上有四个开关a、b、c、d和一个小灯泡，闭合开关d或同时闭合开关a、b、c都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）第1题图abcd考点：列表法与树状图法分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案解答：解：画树状图得：共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，小灯泡发光的概率为：= 故选a点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比对应训练2（2015娄底，第10题3分）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数f（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（）a b c d 考点： 函数的图象分析： 开始一段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变解答： 解：根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变逐渐增大保持不变故选：a点评： 本题考查了函数的概念及其图象关键是根据弹簧称的读数变化情况得出函数的图象考点三：超出课标范围问题例3 （2014湖北黄石,第20题8分）解方程：考点：高次方程分析：先把方程组的第二个方程进行变形，再代入方程组中的第一个方程，即可求出x，把x的值代入方程组的第二个方程，即可求出y解答：解：，由方程x2y=2得：4y2=15x260x+60（3），将（3）代入方程5x24y2=20，化简得：x26x+8=0，解此方程得：x=2或x=4，代入x2y=2得：y=0或，即原方程组的解为或点评：本题考查了解高次方程的应用，解此题的关键是能得出关于x定的一元二次方程，题目比较好，难度适中对应训练3. （2014台湾，第23题3分）若有一等差数列，前九项和为54，且第一项、第四项、七项的和为36，则此等差数列的公差为何？()a6b3c3d6分析：由等差数列的性质可知：前九项和为54，得出第五项5496；由且第一项、第四项、第七项的和为36，得出第四项36312，由此求得公差解决问题解：前九项和为54，第五项5496，第一项、第四项、第七项的和为36，第四项36312，公差第五项第四项6126故选：a点评：此题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用考点四：开放题型中的新定义例4 （2014福建漳州，第25题14分）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为m，与y轴的交点为n，我们称以n为顶点，对称轴是y轴且过点m的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线mn为抛物线l的衍生直线（1）如图，抛物线y=x22x3的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 ；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=2x2+1和y=2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x22x3的顶点为m，与y轴交点为n，将它的衍生直线mn先绕点n旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，p是直线n上的动点，是否存在点p，使pom为直角三角形？若存在，求出所有点p的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，mn解析式易得（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式（3）由n（0，3），衍生直线mn绕点n旋转到与x轴平行得到y=3，再向上平移1个单位即得直线y=2，所以p点可设（x，2）在坐标系中使得pom为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得p点坐标解答：（1）抛物线y=x22x3过（0，3），设其衍生抛物线为y=ax23，y=x22x3=x22x+14=（x1）24，衍生抛物线为y=ax23过抛物线y=x22x3的顶点（1，4），4=a13，解得 a=1，衍生抛物线为y=x23设衍生直线为y=kx+b，y=kx+b过（0，3），（1，4），衍生直线为y=x3（2）衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，将y=2x2+1和y=2x+1联立，得，解得 或 ，衍生抛物线y=2x2+1的顶点为（0，1），原抛物线的顶点为（1，1）设原抛物线为y=a（x1）21，y=a（x1）21过（0，1），1=a（01）21，解得 a=2，原抛物线为y=2x24x+1（3）n（0，3），mn绕点n旋转到与x轴平行后，解析式为y=3，再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=2设点p坐标为（x，2），o（0，0），m（1，4），om2=（xmxo）2+（yoym）2=1+16=17， op2=（|xpxo|）2+（yoyp）2=x2+4， mp2=（|xpxm|）2+（ypym）2=（x1）2+4=x22x+5当om2=op2+mp2时，有17=x2+4+x22x+5，解得x=或x=，即p（，2）或p（，2）当op2=om2+mp2时，有x2+4=17+x22x+5，解得 x=9，即p（9，2）当mp2=op2+om2时，有x22x+5=x2+4+17，解得 x=8，即p（8，2）综上所述，当p为（，2）或（，2）或（9，2）或（8，2）时，pom为直角三角形点评：本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是“利用其表示坐标系中两点距离”是近几年考试的热点，学生需熟练运用对应训练4（2015甘肃庆阳，第27题，12分）定义运算maxa，b：当ab时，maxa，b=a；当ab时，maxa，b=b如max3，2=2（1）max，3= ；（2）已知y1=和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max，k2x+b=，结合图象，直接写出x的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max2x+1，x2的值考点：反比例函数与一次函数的交点问题专题：新定义分析：（1）根据3和已知求出即可；（2）根据题意得出k2x+b，结合图象求出即可；（3）分为两种情况：当2x+1x2时，当2x+1x2时，结合已知求出即可解答：解：（1）max，3=3故答案为：3；（2）max，k2x+b=，k2x+b，从图象可知：x的取值范围为3x0或x2；（3）当2x+1x2时，max2x+1，x2=2x+1，当2x+1x2时，max2x+1，x2=x2点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，能读懂题意是解此题的关键四、中考真题演练1. (2012贵州六盘水，8，3分)定义：，例如，则等于（ ）abcd2. （2013四川巴中，5，3分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块a悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位n）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）a.bcd3.(2013四川成都，25，4分)如图，a，b，c为o上相邻的三个n等分点，点e在上，ef为o的直径，将o沿ef折叠，使点a与a重合，点b与点b重合，连接eb，ec，ea设ebb，ecc，eap现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n3时，pbc请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n4时，p_；当n12时，p_(参考数据：sin15cos75，cos15sin75)abeofab第25题图cabecfoab图54. （2012湖北随州，9,3分）定义：平面内的直线与相较于点o，对于该平面内任意一点m，点m到直线，的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a,b）是点m的“距离坐标”。根据上述定义，距离坐标为（2,3）的点的个数是（ ）a2b1c4d3五、中考真题演练参考答案1. (2012贵州六盘水，8，3分)定义：，例如，则等于（ ）abcd分析：由题意应先进行f方式的运算，再进行g方式的运算，注意运算顺序及坐标的符号变化解答：解：f（5，6）=（6，5），gf（5，6）=g（6，5）=（-6，5），故选a点评：本题考查了一种新型的运算法则，考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号2. （2013四川巴中，5，3分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块a悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位n）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）a.bcd考点：函数的图象分析：露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变解答：因为小明用弹簧称将铁块a悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变故选c点评：本题考查函数值随时间的变化问题注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决3.(2013四川成都，25，4分)如图，a，b，c为o上相邻的三个n等分点，点e在上，ef为o的直径，将o沿ef折叠，使点a与a重合，点b与点b重合，连接eb，ec，ea设ebb，ecc，eap现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n3时，pbc请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n4时，p_；当n12时，p_(参考数据：sin15cos75，cos15sin75)abeofab第25题图cabecfoab图5【答案】bc；bc【解析】如图5，连结ac，ae，ab，bc，be则beebb，aeeap由托勒密(ptolemy)定理(“圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积”)得abecbeacaebc即cabbacpbc设o的半径为ra，b，c为o上相邻的三个n等分点，aobboc，aoc，且abbc2rsin，ac2rsinc2rsinb2rsinp2rsinsin2sincos，p2bcosc当n4时，coscos45，pbc；当n12时，coscos15，pbc【方法指导】此题用到了课外知识(ptolemy定理)和高中的知识