中考数学复习 专题21 特殊的平行四边形.doc

特殊的平行四边形解读考点知识点名师点晴矩形1矩形的性质会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题2矩形的判定会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形菱形1菱形性质能应用这些性质计算线段的长度2菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题正方形1正方形的性质了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题2正方形判定掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明2年中考【2015年题组】1（2015崇左）下列命题是假命题的是（ ）a对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形b对角线互相垂直的矩形是正方形c对角线相等的菱形是正方形d对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】d考点：1正方形的判定；2平行四边形的判定；3菱形的判定；4矩形的判定2（2015连云港）已知四边形abcd，下列说法正确的是（）a当ad=bc，abdc时，四边形abcd是平行四边形b当ad=bc，ab=dc时，四边形abcd是平行四边形c当ac=bd，ac平分bd时，四边形abcd是矩形d当ac=bd，acbd时，四边形abcd是正方形【答案】b【解析】试题分析：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，a不正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，b正确；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，c不正确；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，d不正确；故选b考点：1平行四边形的判定；2矩形的判定；3正方形的判定3（2015徐州）如图，菱形中，对角线ac、bd交于点o，e为ad边中点，菱形abcd的周长为28，则oe的长等于（）a3.5 b4 c7 d14【答案】a【解析】试题分析：菱形abcd的周长为28，ab=284=7，ob=od，e为ad边中点，oe是abd的中位线，oe=ab=7=3.5故选a考点：菱形的性质4（2015柳州）如图，g，e分别是正方形abcd的边ab，bc的点，且ag=ce，aeef，ae=ef，现有如下结论：be=ge；ageecf；fcd=45；gbeech其中，正确的结论有（）a1个 b2个 c3个 d4个【答案】b考点：1全等三角形的判定与性质；2正方形的性质；3相似三角形的判定与性质；4综合题5（2015内江）如图所示，正方形abcd的面积为12，abe是等边三角形，点e在正方形abcd内，在对角线ac上有一点p，使pd+pe的和最小，则这个最小值为（）a b c d【答案】b考点：1轴对称-最短路线问题；2最值问题；3正方形的性质6（2015南充）如图，菱形abcd的周长为8cm，高ae长为cm，则对角线ac长和bd长之比为（）a1：2 b1：3 c1： d1：【答案】d【解析】试题分析：如图，设ac，bd相较于点o，菱形abcd的周长为8cm，ab=bc=2cm，高ae长为cm，be=1（cm），ce=be=1cm，ac=ab=2cm，oa=1cm，acbd，ob=（cm），bd=2ob=cm，ac：bd=1：故选d考点：菱形的性质7（2015安徽省）如图，矩形abcd中，ab8，bc4点e在边ab上，点f在边cd上，点g、h在对角线ac上若四边形egfh是菱形，则ae的长是（ ）a b c5 d6【答案】c考点：1菱形的性质；2矩形的性质8（2015十堰）如图，正方形abcd的边长为6，点e、f分别在ab，ad上，若ce=，且ecf=45，则cf的长为（）a b c d【答案】a考点：1全等三角形的判定与性质；2勾股定理；3正方形的性质；4综合题；5压轴题9（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形a1b1c1d1、d1e1e2b2、a2b2c2d2、d2e3e4b3、a3b3c3d3按如图所示的方式放置，其中点b1在y轴上，点c1、e1、e2、c2、e3、e4、c3在x轴上，已知正方形a1b1c1d1的边长为1，b1c1o=60，b1c1b2c2b3c3则正方形a2015b2015c2015d2015的边长是（）a b c d【答案】d考点：1正方形的性质；2规律型；3综合题10（2015广安）如图，已知e、f、g、h分别为菱形abcd四边的中点，ab=6cm，abc=60，则四边形efgh的面积为 cm2【答案】【解析】试题分析：连接ac，bd，相交于点o，如图所示，e、f、g、h分别是菱形四边上的中点，eh=bd=fg，ehbdfg，ef=ac=hg，四边形ehgf是平行四边形，菱形abcd中，acbd，efeh，四边形efgh是矩形，四边形abcd是菱形，abc=60，abo=30，acbd，aob=90，ao=ab=3，ac=6，在rtaob中，由勾股定理得：ob=，bd=，eh=bd，ef=ac，eh=，ef=3，矩形efgh的面积=effg=cm2故答案为：考点：1中点四边形；2菱形的性质11（2015凉山州）菱形abcd在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点b（2，0），dob=60，点p是对角线oc上一个动点，e（0，1），当ep+bp最短时，点p的坐标为 【答案】（，）的交点，点p的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点p的坐标为（，），故答案为：（，）考点：1菱形的性质；2坐标与图形性质；3轴对称-最短路线问题；4动点型；5压轴题；6综合题12（2015潜江）菱形abcd在直角坐标系中的位置如图所示，其中点a的坐标为（1，0），点b的坐标为（0，），动点p从点a出发，沿abcdab的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点p的坐标为 【答案】（0.5，）考点：1菱形的性质；2坐标与图形性质；3规律型；4综合题13（2015北海）如图，已知正方形abcd的边长为4，对角线ac与bd相交于点o，点e在dc边的延长线上若cae=15，则ae= 【答案】8【解析】试题分析：正方形abcd的边长为4，对角线ac与bd相交于点o，bac=45，abdc，adc=90，cae=15，e=bae=baccae=4515=30在rtade中，ade=90，e=30，ae=2ad=8故答案为：8考点：1含30度角的直角三角形；2正方形的性质14（2015南宁）如图，在正方形abcd的外侧，作等边ade，则bed的度数是 【答案】45考点：1正方形的性质；2等边三角形的性质15（2015玉林防城港）如图，已知正方形abcd边长为3，点e在ab边上且be=1，点p，q分别是边bc，cd的动点（均不与顶点重合），当四边形aepq的周长取最小值时，四边形aepq的面积是 【答案】【解析】试题分析：如图1所示，作e关于bc的对称点e，点a关于dc的对称点a，连接ae，四边形aepq的周长最小，ad=ad=3，be=be=1，aa=6，ae=4dqae，d是aa的中点，dq是aae的中位线，dq=ae=2；cq=dccq=32=1，bpaa，bepaea，即，bp=，cp=bcbp=，s四边形aepq=s正方形abcdsadqspcqsbep=9addqcqcpbebp=93211=，故答案为：考点：1轴对称-最短路线问题；2正方形的性质16（2015达州）在直角坐标系中，直线与y轴交于点a，按如图方式作正方形a1b1c1o、a2b2c2c1、a3b3c1c2，a1、a2、a3在直线上，点c1、c2、c3在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为、，则的值为 （用含n的代数式表示，n为正整数）【答案】故答案为：考点：1一次函数图象上点的坐标特征；2正方形的性质；3规律型；4综合题17（2015齐齐哈尔）如图，正方形abcb1中，ab=1ab与直线l的夹角为30，延长cb1交直线l于点a1，作正方形a1b1c1b2，延长c1b2交直线l于点a2，作正方形a2b2c2b3，延长c2b3交直线l于点a3，作正方形a3b3c3d4，依此规律，则a2014a2015= 【答案】考点：1相似三角形的判定与性质；2正方形的性质；3规律型；4综合题18（2015梧州）如图，在正方形abcd中，点p在ad上，且不与a、d重合，bp的垂直平分线分别交cd、ab于e、f两点，垂足为q，过e作ehab于h（1）求证：hf=ap；（2）若正方形abcd的边长为12，ap=4，求线段eq的长【答案】（1）证明见试题解析；（2）【解析】考点：1正方形的性质；2全等三角形的判定与性质；3勾股定理；4综合题19（2015恩施州）如图，四边形abcd、befg均为正方形，连接ag、ce（1）求证：ag=ce；（2）求证：agce【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析【解析】试题分析：（1）由abcd、befg均为正方形，得出ab=cb，abc=gbe=90，bg=be，得出abg=cbe，从而得到abgcbe，即可得到结论；（2）由abgcbe，得出bag=bce，由bag+amb=90，对顶角amb=cmn，得出bce+cmn=90，证出cnm=90即可试题解析：（1）四边形abcd、befg均为正方形，ab=cb，abc=gbe=90，bg=be，abg=cbe，在abg和cbe中，ab=cb，abg=cbe，bg=be，abgcbe（sas），ag=ce；（2）如图所示：abgcbe，bag=bce，abc=90，bag+amb=90，amb=cmn，bce+cmn=90，cnm=90，agce考点：1全等三角形的判定与性质；2正方形的性质20（2015武汉）已知锐角abc中，边bc长为12，高ad长为8（1）如图，矩形efgh的边gh在bc边上，其余两个顶点e、f分别在ab、ac边上，ef交ad于点k求的值；设eh=x，矩形efgh的面积为s，求s与x的函数关系式，并求s的最大值；（2）若ab=ac，正方形pqmn的两个顶点在abc一边上，另两个顶点分别在abc的另两边上，直接写出正方形pqmn的边长【答案】（1）；， s的最大值是24；（2）或试题解析：（1）efbc，=，即的值是；考点：1相似三角形的判定与性质；2二次函数的最值；3矩形的性质；4正方形的性质；5分类讨论；6综合题；7压轴题21（2015荆州）如图1，在正方形abcd中，p是对角线bd上的一点，点e在ad的延长线上，且pa=pe，pe交cd于f（1）pc=pe；（2）求cpe的度数；（3）如图2，把正方形abcd改为菱形abcd，其他条件不变，当abc=120时，连接ce，试探究线段ap与线段ce的数量关系，并说明理由【答案】（1）证明见试题解析；（2）90；（3）ap=ce【解析】试题分析：（1）先证出abpcbp，得到pa=pc，由pa=pe，得到pc=pe；（2）由abpcbp，得到bap=bcp，进而得到dap=dcp，由pa=pc，得到dap=e，dcp=e，最后cpf=edf=90得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论考点：1正方形的性质；2全等三角形的判定与性质；3菱形的性质；4探究型；5综合题；6压轴题【2014年题组】1（2014宜宾） 如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点a1，a2，an分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ） an bn1 c（）n1 dn【答案】b【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：14，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1（n1）=n1故选b考点：1正方形的性质2全等三角形的判定与性质2（2014山东省淄博市）如图，矩形纸片abcd中，点e是ad的中点，且ae=1，be的垂直平分线mn恰好过点c则矩形的一边ab的长度为（）a1bcd2【答案】c考点：1勾股定理；2线段垂直平分线的性质；3矩形的性质3（2014山东省聊城市）如图，在矩形abcd中，边ab的长为3，点e，f分别在ad，bc上，连接be，df，ef，bd若四边形bedf是菱形，且ef=ae+fc，则边bc的长为（）a2 b3 c6 d【答案】b【解析】试题分析：四边形abcd是矩形，a=90，即babf，四边形bedf是菱形，efbd，ebo=dbf，ab=bo=3，abe=ebo，abe=ebd=dbc=30，be=，bf=be=，ef=ae+fc，ae=cf，eo=focf=ae=，bc=bf+cf=3，故选b考点：1矩形的性质；2菱形的性质4（2014广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）a等腰梯形b矩形c菱形d正方形【答案】b考点：1正方形的判定；2三角形中位线定理；3菱形的性质5（2014贵州铜仁市）如图所示，在矩形abcd中，f是dc上一点，ae平分baf交bc于点e，且deaf，垂足为点m，be=3，ae=2，则mf的长是（）a b c1 d【答案】d考点：1相似三角形的判定与性质；2角平分线的性质；3勾股定理；4矩形的性质6（2014襄阳）如图，在矩形abcd中，点e，f分别在边ab，bc上，且ae=ab，将矩形沿直线ef折叠，点b恰好落在ad边上的点p处，连接bp交ef于点q，对于下列结论：ef=2be；pf=2pe；fq=4eq；pbf是等边三角形其中正确的是（ ）a b c d【答案】d【解析】试题分析：ae=ab，be=2ae由翻折的性质得，pe=be，ape=30aep=9030=60，bef=（180aep）=（18060）=60efb=9060=30ef=2be故正确be=pe，ef=2peefpf，pf2pe故错误由翻折可知efpb，ebq=efb=30be=2eq，ef=2befq=3eq故错误由翻折的性质，efb=bfp=30，bfp=30+30=60pbf=90ebq=9030=60，pbf=pfb=60pbf是等边三角形故正确；综上所述，结论正确的是故选d考点：1矩形的性质；2含30度角直角三角形的判定和性质；3等边三角形的判定7（2014宁夏）菱形abcd中，若对角线长ac=8cm，bd=6cm，则边长ab= cm【答案】5考点：1菱形的性质；2勾股定理8（2014山东省聊城市）如图，四边形abcd是平行四边形，作afce，bedf，af交be与g点，交df与f点，ce交df于h点、交be于e点求证：ebcfda【答案】证明见解析考点：1平行四边形的性质；2全等三角形的判定9（2014梅州）如图，在正方形abcd中，e是ab上一点，f是ad延长线上一点，且df=be（1）求证：ce=cf；（2）若点g在ad上，且gce=45，则ge=be+gd成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）ge=be+gd成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）由df=be，四边形abcd为正方形可证cebcfd，从而证出ce=cf（2）由（1）得，ce=cf，bce+ecd=dcf+ecd即ecf=bcd=90又gce=45所以可得gce=gcf，故可证得ecgfcg，即eg=fg=gd+df又因为df=be，所以可证出ge=be+gd成立试题解析：（1）在正方形abcd中，bc=cd，b=cdf，be=df，cbecdf（sas）ce=cf（2）ge=be+gd成立理由是：考点：1正方形的性质；2全等三角形的判定和性质；3等腰直角三角形的性质考点归纳归纳 1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等同时平行四边形的性质矩形也都具有注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等【例1】如图，在矩形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，acb30，则aob的大小为（ ）a、30 b、60 c、90 d、120【答案】b考点：矩形的性质归纳 2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积s菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法【例2】如图，已知ac、bd是菱形abcd的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ） （a）abd与abc的周长相等； （b）abd与abc的面积相等； （c）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍； （d）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍【答案】b考点：菱形的性质归纳 3：正方形基础知识归纳： 1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定【例3】如图，abcd是正方形场地，点e在dc的延长线上，ae与bc相交于点f有甲、乙、丙三名同学同时从点a出发，甲沿着abfc的路径行走至c，乙沿着afecd的路径行走至d，丙沿着afcd的路径行走至d若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）a甲乙丙 b甲丙乙 c乙丙甲 d丙甲乙【答案】b考点：正方形的性质1年模拟1（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（ ）a平行四边形的对角线互相平分b对角线互相平分的四边形是平行四边形c菱形的对角线互相垂直d对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】d【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到a、b、c选项均正确，而d不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形故选d考点：1菱形的判定与性质；2平行四边形的判定与性质2（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在矩形abcd中，对角线ac，bd相交于点o，acb=30，则aob的大小为（ ）a30 b60 c90 d120【答案】b考点：矩形的性质3（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形abcd中，b=45，ae为bc边上的高，将abe沿ae所在直线翻折得ab1e，则ab1e与四边形aecd重叠部分的面积为（ ）a0.7 b0.9 c22 d【答案】c【解析】试题分析：如图，b=45，aebc，bae=b=45，ae=be，由勾股定理得：be2+ae2=22，解得：be=，由题意得：abeab1e，bab1=2bae=90，be=b1e=，bb1=2，b1c=2-2，四边形abcd为菱形，fcb1=b=45，cfb1=bab1=90，cb1f=45，cf=b1f，cfab，cfb1bab1，解得：cf=2-，aeb1、cfb1的面积分别为：，ab1e与四边形aecd重叠部分的面积=故选c考点：1菱形的性质；2翻折变换（折叠问题）4（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形oabc的顶点o在坐标系原点，顶点a在x轴上，b=120，oa=2，将菱形oabc绕原点o顺时针旋转105至oabc的位置，则点b的坐标为（ ）a（-，） b（，-） c（2，-2） d（，-）【答案】b考点：1菱形的性质；2坐标与图形变化-旋转5（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形abcd中，点e，f分别在边ab，bc上，且ae=ab，将矩形沿直线ef折叠，点b恰好落在ad边上的点p处，连接bp交ef于点q，对于下列结论：ef=2be；pf=2pe；fq=4eq；pbf是等边三角形其中正确的是（ ）a b c d【答案】d综上所述，结论正确的是故选d考点：1翻折变换（折叠问题）；2矩形的性质6（2015届山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：ab=bc，abc=90，ac=bd，acbd中选两个作为补充条件，使abcd为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）a b c d【答案】b考点：正方形的判定7（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形abcd中，ab=，ad=1，把该矩形绕点a顺时针旋转度得矩形abcd，点c落在ab的延长线上，则图中阴影部分的面积是 【答案】考点：1旋转的性质；2矩形的性质；3扇形面积的计算8（2015届河北省中考模拟二）如图，在矩形abcd中，ab=3，o与边bc，cd相切，现有一条过点b的直线与o相切于点e，连接be，abe恰为等边三角形，则o的半径为 【答案】6-3【解析】试题分析：过o点作ghbc于g，交be于h，连接ob、oe，g是bc的切点，oebh，bg=be，abe为等边三角形，be=ab=3，bg=be=3，hbg=30，gh=，bh=2，设og=oe=x，则eh=2-3，oh=-x，在rtoeh中，eh2+oe2=oh2，即（2-3）2+x2=（-x）2，解得x=6-3，o的半径为6-3故答案为：6-3考点：1切线的性质；2矩形的性质9（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则abc的面积为 【答案】考点：1正方形的性质；2等边三角形的性质；3含30度角的直角三角形10（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形abcd和正方形cefg中，点d在cg上，bc=1，ce=3，h是af的中点，那么ch的长是 【答案】考点：1正方形的性质；2直角三角形斜边上的中线；3勾股定理11（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知rtabc中，abc=90，先把abc绕点b顺时针旋转90至dbe后，再把abc沿射线平移至feg，de、fg相交于点h（1）判断线段de、fg的位置关系，并说明理由；（2）连结cg，求证：四边形cbeg是正方形【答案】（1）fged理由见解析；（2）证明见解析【解析】考点：1旋转的性质；2正方形的判定；3平移的性质；4探究型12（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知点e，f分别是abcd的边bc，ad上的中点，且bac=90 （1）求证：四边形aecf是菱形；（2）若b=30，bc=10，求菱形aecf面积【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形aecf是菱形；（2）连接ef交于点o，运用解直角三角形的知识点，可以求得ac与ef的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形aecf的面积试题解析：（1）证明：四边形abcd是平行四边形，adbc，ad=bc在rtabc中，bac=90，点e是bc边的中点，ae=ce=bc同理，af=cf=adaf=ce四边形aecf是平行四边形平行四边形aecf是菱形考点：1菱形的性质；2平行四边形的性质；3解直角三角形13（2015届山东省日照市中考模拟）如图，abcd在平面直角坐标系中，ad=6，若oa、ob的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且oaob（1）求sinabc的值； （2）若e为x轴上的点，且saoe=，求经过d、e两点的直线的解析式，并判断aoe与dao是否相似？ （3）若点m在平面直角坐标系内，则在直线ab上是否存在点f，使以a、c、f、m为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出f点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）aoedao（3）f1（3，8）；f2（-3，0）；f3（，），f4（-，）【解析】试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出oa、ob长度，根据勾股定理求得ab长，那么就能求得sinabc的值；（2）易得到点d的坐标为（6，4），还需求得点e的坐标，oa之间的距离是一定的，那么点e的坐标可能在点o的左边，也有可能在点o的右边根据所给的面积可求得点e的坐标，把a、e代入一次函数解析式即可然后看所求的两个三