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5 3实对称矩阵的对角化 一 内积的定义及性质 二 向量的长度及性质 三 正交向量组的概念及求法 四 正交矩阵 五 对称矩阵的性质 六 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 七 小结 1 定义1 内积 一 内积的定义及性质 Page2 说明 1维向量的内积是3维向量数量积的推广 但是没有3维向量直观的几何意义 Page3 内积的运算性质 Page4 定义2 令 向量的长度具有下述性质 二 向量的长度及性质 单位向量 Page5 正交的概念 正交向量组的概念 正交 若一非零向量组中的向量两两正交 则称该向量组为正交向量组 三 正交向量组的概念及求法 Page6 证明 正交向量组的性质 Page7 4规范正交基 Page8 例如 Page9 同理可知 Page10 1 正交化 取 5求规范正交基的方法 Page11 2 单位化 取 Page12 解先正交化 取 施密特正交化过程 Page13 再单位化 得规范正交向量组如下 Page14 例2 解 Page15 把基础解系正交化 即合所求 亦即取 Page16 为正交矩阵的充要条件是的列向量和行向量都是标准 规范 正交基 证明 定义4 定理2 四 正交矩阵 Page17 Page18 Page19 定理3对称矩阵的特征值为实数 证明 五 对称矩阵的性质 说明 以下所提到的对称矩阵 除非特别说明 均指实对称矩阵 Page20 于是有 两式相减 得 Page21 定理3的意义 Page22 证明 于是 Page23 证明 它们的重数依次为 根据定理3 对称矩阵的特征值为实数 和定理5 如上 可得 设的互不相等的特征值为 Page24 由定理4知对应于不同特征值的特征向量正交 这样的特征向量共可得个 故这个单位特征向量两两正交 以它们为列向量构成正交矩阵 则 Page25 根据上述结论 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵 其具体步骤为 六 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 2 1 Page26 解 例3对下列实对称矩阵 分别求出正交矩阵 使为对角阵 第一步求的特征值 Page27 解之得基础解系 解之得基础解系 Page28 解之得基础解系 第三步将特征向量正交化 第四步将特征向量单位化 Page29 Page30 1 将一组极大无关组规范正交化的方法 先用施密特正交化方法将极大无关组正交化 然后再将其单位化 七 小结 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立 Page31 3 对称矩阵的性质 1 特征值为实数 2 属于不同特征值的特征向量正交 3 特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等 4 必存在正交矩阵 将其化为对角矩阵 且对角矩阵对角元素即为特征值 4 利
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