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2 数集和确界原理一 区间与邻域1、区间的定义 设a、bR且ab.开区间（a, b）、闭区间 a, b、半开半闭区间、有限区间的定义。几何意义。区间 、无限区间的定义。有限区间和无限区间统称为区间。满足绝对值不等式的全体实数x的集合称为2、邻域的定义 设。 点的邻域 或 的定义 点a的空心邻域或的定义 的差别 点a的右邻域或点a的左邻域或点a的空心左、右邻域、等的定义邻域、+邻域、邻域。二 有界集确界原理1、有界集的定义定义1 设S为R中的一个数集。若存在数M（L），使得对一切都有则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界（下界）。若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。注：介绍有界集的几种等价定义，正面叙述无界集的概念。例1 证明数集有下界而无上界。分析证 例 任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集。2、数集的上确界和下确界的精确定义描述性定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S的上确界。同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。精确定义定义2 设S是R中的一个数集。若数满足：（i）对一切；（ii）对任何数集S的上确界，记作定义3 设S是R中的一个数集。若数满足：（i）对一切（ii）对任何为数集S的下确界，记作上确界与下确界统称为确界。注：以上确界为例，下确界类似定义设S是R中的一个数集。若数满足：（i）对一切；（ii）对任何则称数也为数集S的上确界。例2 设。试按上、下界的定义验证：sup S=1,inf S=0.例 闭区间0，1的上、下确界分别为1和0对于数集的上、下确界分别为正整数集N+有下确界而没有上确界。注1 由上（下）确界的定义可见，若数集S存在上（下）确界，则一定是唯一的。又若数集S存在上、下确界，则有inf Ssup S.注2 从上面一些例子可见，数集S的确界可能属于S，也可能不属于S。例3 设数集S有上确界。证明分析证 3、确界原理及其应用定理1.1(确界原理) 设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。分析证 采用构造性证明方法证明关于上确界的结论注：在本书中确界原理是极限理论的基础。例4 设A、B为非空数集，满足：对一切上确界，数集B有下确，且 （2）分析证 例5 设A、B为非空有界数集，S=AB。证明：(i)(ii)分析证 确界原理的扩充若把+和补充到实数集中，并规定一实数a与+、的大小关系为：a+，a，+，则确界概念可扩充为：若S无上界，则定义+为S的非正常上确界，记作supS=+；若要无下界，则定义为S的非正常下确界，记作infS=，相应地，前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正常上、下确界。推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）
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