高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念与计算应用能力提升 文 北师大版.doc

第10节导数的概念与计算【选题明细表】 知识点、方法题号导数的概念与计算1,2,7,10求曲线的切线方程3,8,15导数的几何意义的应用4,5,6,9,12,14综合应用11,13,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2015延庆模拟)下列求导数运算正确的是(d)(a)（x+1x）=1+1x2(b)(x2cos x)=-2xsin x(c)(3x)=3xlog3e(d)(log2x)=1xln2解析:由导数公式及导数的运算法则可知(x+1x)=1-1x2;(x2cos x)=2xcos x-x2sin x;(3x)=3xln 3;(log2x)=1xln2,故只有d正确.2.如图,函数y=f(x)在a,b两点间的平均变化率是(b)(a)1(b)-1(c)2(d)-2解析:依题意可知y=yb-ya=1-3=-2,x=xb-xa=3-1=2,所以函数y=f(x)在a,b两点间的平均变化率为yx=-22=-1.3.(2015豫东、豫北十所名校联考)已知f(x)=2exsin x,则曲线f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为(b)(a)y=0(b)y=2x(c)y=x(d)y=-2x解析:因为f(x)=2exsin x,所以f(0)=0,f(x)=2ex(sin x+cos x),所以f(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=2x.4.(2015河南洛阳统考)曲线f(x)=x2+ax+1在点(1,f(1)处的切线的倾斜角为34,则实数a等于(c)(a)1(b)-1(c)7(d)-7解析:f(x)=2x(x+1)-(x2+a)(x+1)2=x2+2x-a(x+1)2,因为f(1)=tan 34=-1,即3-a4=-1,所以a=7.5.(2016成都模拟)函数f(x)=2ln x+x2-bx+a(b0,ar)在点(b,f(b)处的切线斜率的最小值是(a)(a)22 (b)2 (c)3 (d)1解析:因为f(x)=2ln x+x2-bx+a,所以f(x)=2x+2x-b,所以k=2b+2b-b=2b+b22,当且仅当2b=b时取等号,即b=2时,k取得最小值为22.6.(2015唐山模拟)曲线y=aln x(a0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4,则a的值为(c)(a)4(b)-4(c)8(d)-8解析:y=ax,在x=1处的切线斜率k=a,当x=1时,y=aln 1=0,即切点坐标为(1,0),因此切线方程为y=a(x-1),令y=0得x=1,令x=0得y=-a,因为a0,所以所围成的三角形的面积为12a1=4,解得a=8.7.(2015高考天津卷)已知函数f(x)=axln x,x(0,+),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数.若f(1)=3,则a的值为.解析:f(x)=a(ln x+x1x)=a(ln x+1),因为f(1)=3,所以f(1)=a=3.答案:38.(2015江西南昌十所重点中学二模)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f(x),且f(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为.解析:f(x)=3x2+2ax+a-3,因为f(x)是偶函数,所以a=0,所以f(x)=x3-3x,f(2)=8-6=2,f(2)=9,所以曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y-2=9(x-2),即9x-y-16=0.答案:9x-y-16=09.(2015河北保定一模)函数f(x)=ln x+ax的图像上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是.解析:函数f(x)=ln x+ax的图像上存在与直线2x-y=0平行的切线,即f(x)=2在(0,+)上有解,而f(x)=1x+a,即1x+a=2在(0,+)上有解,a=2-1x,因为x0,所以2-1x0),则y=2x-1x,令y=1,则x=1或x=-12(舍去),可知函数y=x2-ln x的斜率为1的切线的切点横坐标为x=1,纵坐标为y=1.故切线方程为x-y=0.则点p到直线y=x-2的最小距离即x-y=0与y=x-2的两平行线间的距离,d=|0+2|2=2.14.已知点p在曲线y=4ex+1上,为曲线在点p处的切线的倾斜角,则的取值范围是.解析:因为y=4ex+1,所以y=-4ex(ex+1)2=-4exe2x+2ex+1=-4ex+1ex+2.因为ex0,所以ex+1ex2,所以y-1,0),所以tan -1,0).又0,),所以34,).答案:34,)15.已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:(1)因为f(2)=23+2-16=-6,所以点(2,-6)在曲线上.因为f(x)=(x3+x-16)=3x2+1,所以在点(2,-6)处的切线的斜率k=f(2)=322+1=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16.又因为直线l过点(0,0),所以0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16.整理得x03=-8,所以x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26,所以k=3(-2)2+1=13,所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-x4+3垂直,所以斜率k=4.所以设切点为(x0,y0),则f(x0)=3x02+1=4,所以x0=1,所以x0=1,y0=-14或x0=-1,y0=-18.切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.16.设有抛物线c:y=-x2+92x-4,过原点o作c的切线y=kx,使切点p在第一象限.(1)求k的值;(2)过点p作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点q的坐标.解:(1)设点p的坐标为(x1,y1),则y1=kx1, y1=-x12+92x1-4, 代入得,x12+(k-92)x1+4=0.因为p为切点,所以=(k-92)2-16=0得k=172或k=12.当k=172时,x1=-2,y1=-17.当k=12时,x1=2,y1=1.因为p在第一象限,所以所求的斜率k=12.(2)过p点作切线的垂线,其方程为y=-2x+5. 将代入抛物线方程得,x2-132x+9=0.设q点的坐标为(x2,y2),则2x2=9,所以x2=92,y2=-4.所以q点的坐标为(92,-4).精彩5分钟1.(2015济南模拟)已知f(x)=14x2+cos x,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图像是(a)解题关键:根据解析式正确求导,然后根据奇偶性、函数值进行排除筛选.解析:由题意得f(x)=12x-sin x为奇函数,所以排除b,d,当x=6时,f(x)0,所以排除c.2.(2015河南郑州第二次质量预测)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g(x)是g(x)的导函数,则g(3)=.解题关键: