数学方法的优美.pdf

数学方法的优美数学方法的优美数学方法的优美数学方法的优美 观点和方法是数学的两个方 面 既紧密联系 又有所区别 但方法影响观点 我们来看看数学方法的美 wWw zuaNshiB 不能不 反证法 通常的证明方法 对 不对 矛盾 例12 是无理数 反证法 2 p q 不假设是有理数 那么存在 的正整数 可约 使得 22 22 q pqq p 为偶数 22 2 2 qmpmp 设则于是为偶数矛盾也 1 7 7 是有理数至多 步 就可以找到规律 例2 抽屉原理 3个苹果放进2个抽屉中 至少有1个 抽屉中有两个苹果 反证法易得 10本书 共3类 抽屉 文学类 A 史学类 B 和数学类 C 证明至少有一类有4本或4 本以上 10本书 共3类 抽屉 文学类 x 史学类 y 和数学类 z 证明x y z至少有一个大于或 等于4 抽象为一个纯数学问题 10 4 4 4 x y zxyz xyz 假设是非负整数 且 则或或或此即为不定方 程的非负解的下界估计问题 假设人类的头发最多为200万根 那 么长春市至少有2人的头发根数一样 多 长春市人口超过200万 作业 在任意6人中 一定可以找到 3个相互认识 或3个相互不认识的 人 RMI R relation M mapping I inversion 即关系 映射和取逆 它 属于形式逻辑范畴 如 三段式 给人 以逻辑美 RMI方法体现了辨证思想 的方法 例1 1110 11344 22 22 10242048 22228 16 168 2562048 显得容易 例2 1 11 2 等于多少 1 11 10 3010 lg2lg20 0273 1111 很难 但是 11 21 065 从反对数表得到 lg 1lg0 x xxx 运算数值 曲折 化难为易 曲折 创造 发明 曲折 实现的根据是对数 Galileo 给我空间 时间和对数 我即可创造一个宇宙 RMI的体现 R 21 11 M lgx I 10lgx 例3 求和 1111 1 1 35721 n y n 35721 1 35721 n n xxxx y xx n R M 逐项微分 2462 2 1 1 1 1 nn yxxxxx x 2 0 1 arctan 1 14 x y xdxx yy x I 积分 数学上互逆的运算很多 如0的作 用是 项与 项 1的作用是乘项与 除项 抽象 枯燥乏味 语言学抽象吗 美 神 好 文学抽象吗 诗歌 艺术抽象吗 绘画 舞蹈 音乐抽象吗 高山流水 悲 欢离和 数学的抽象美的表现形式不同 它给 人带来的是简洁 明快和高效的美 例1 七桥问题 如图 能否从 某个桥出发 走过所有的桥 但每座桥只 经过一次 A B C D B A C D B A C D 2 4 2 1 33 1 3 3 3 5 点线图 拓扑学topology 不注重数量关系和形状特征 而注重 点与点的连接方式 如 建立校园网络系统 从网络中心 到各办公楼 教学楼 学生宿舍楼 到各办公室 教室和寝室 你任何设 计呢 你需要建立一个网络的拓扑图 即可 实际上如果两个图的点与连接 方式一致 它们实际上就是拓扑意义 下的一张图 拓扑学的产生与发展进一步表现了数 学的抽象程度 起抽象的美与实际是 如此的协调 展示了数学的优美 拓扑学的产生极大冲击了直观性 原则 1 人的认知能力 直观 抽象飞跃 2 直观与抽象在认识上的统一受年 龄和知识的接受方式的限制 3 直观可能造成错觉 思辩的作用越来越大 直观具有较大 的局限性 物理学 化