弦图及其在数学教学中的应用(例2).pdf

年第 期 获学救学 祥泞 弦图及其在数学教学中的应用 解 浙江师范大学数理学院朱哲 全日制义务教育数学课程标准 实验稿 对第三学段教材的编写建议 介绍有关的数学背 景知识 并具体指出 介绍勾股定理的几个著 名证法 如欧几里得证法 赵爽证法等 及其有 关的一些著名问题 使学生感受到数学证明的灵 活 优美与精巧 感受到勾股定理的丰富文化内 涵 0 口 0 口 0 口 0 口 0 刀一 0 口 0一尽 0 口一 0 口 0一刀 0 口 0 口 而由 一 叠 5 7 一 告 二 7挥 月石二 二 五四一 户 月7 二 八 十 85 则分别得积化和差公式 0 一 口 一 告 0 口 0一 一 一 合 3 0 口 一 0一口 3 一 一 合 0一 一 0 3 一口 一 告 一 0一 0 类似可证 晋 的 清 形 数学历史作为考察数学教学有效性的一个 重要视角 长期以来一直受到数学教育家们的普 遍关注 3 二 0 3 8 从 印 0 0 价 云 八0 1 0 5 0 0 00 从 印 乞 祥不 救李救学 年第 期 位 现在用这条对角线作为边长画一个正方形 再用几个同外面那个半矩形相似的半矩形把这 个正方形围起来 形成一个方形盘 这样 外面那 四个宽为 长为2 对角线为3的半矩形 合在 一起便构成两个矩形 总面积等于 2 然后从方 形盘的总面积2 减去这 2 便得到余数 3 这 种方法称为 积矩 我们根据这段原文及解释 可以给出商高的弦图 图 虽然商高在这里只 给出 2 3 这组勾股数的特例 不过 书中 以 日下为勾 日高为股 勾 股各自乘 并而开方除 之 得邪至日 则已推广到一般情形 而且 既方 其外 半之一矩 环而共盘 也不失一般性 所以 也有人认为 商高已经证明了勾股定理 形 月 弦实 四个朱实加上 弦 买 枉 2 万 0一 四个朱实加上一个黄实就等于一个 产 化简后得护 十 护 产 与上述代数解释不同 李文林教授认为 赵 爽的 弦图 相 当于运用面积的出入相补证明了 勾股定理 如图 考虑以一直角三角形的勾 和股为边的两个正方形的合并图形 其面积 应有护十驴 然后如 截下两个直角边分别为 0 和 的直角三角形 并平移 或旋转 如 放置 将得到一个以原三角形之弦为边的正方形 其面 积 塔 护 乙勿 图 图 赵爽为 周裤算经 作注时给出弦图后 有 一 勾股圆方图说 的短文 除了根据他的弦图对 勾股定理给予证明之外 还纵论 了勾 股 弦三 边的各种关系 给出了一系列公式 该文第一段 对其弦图的说明如下 勾股各自乘 并之为弦 实 开方除之即弦 案 弦图又可以勾股相乘为朱 实二 倍之为朱实四 以勾股之差为中黄实 加差 实亦成弦实 第一句是勾股定理的一个命题陈 述 案 以下的文字 既是对弦图构造的解说 同 时也是对勾股定理的一个完整证明 其中 弦 图 又可以说明在赵爽弦图之前还有一种不同的 弦图 可以推断 它应该是商高的弦图 亦成弦 赵爽的弦图已失传 我们现在能看到的 周 脾算经 中弦 图如图2 所示意 采自宋刻 周 辞算经 上海图书馆藏 不过 它也未必忠实 于赵爽的原意 而我们也可以对它进行各种猜测 与解释 笔者猜测 它可能是前面 图的合图 如 图2 卿 实 则明确这两种弦图都是在证 明勾股定理 根据 案 中文字 我们可以画出赵爽的弦图 图 一 年 月在北京召开的国际数学家大 会的会徽就是赵爽所用的这个弦图 图 一并 推断他的证法 图中每个直角三角形称为 朱实 勿 图 中间的一个正方形叫 中黄实 以弦为边的正方 图 2 弦图与我国数学文化传统 成书年代约在公元前 世纪西汉时期的碉 辞算经 被认定为现存最早的中国古代数学著 作 书中涉及的数学 天文知识 可以远溯至公 元前 世纪的西周年间 它从数学上讨论 了宇 宙的 盖天 模型 反映了我国古代数学与天文学 的密切联系 它的数学成就主要在于分数运算 勾股定理及其在天文测量中的应用等 其中尤以 勾股定理的论述最为突出 随后的 九章算术 是我国古代最重要的数学典籍 它是一部从先秦 至西汉中期经过众多学者编纂 修改而成的数 学著作 在算术 代数 几何领域均具有世界意 义的成就 可以说 它代表的中国古代传统数学 年第 期 获学救学 详3 的机械化算法体系 与古希腊欧几里得的 几何 原本 中建立 的公理化演绎体系东西辉映 源远 流长 对东方数学的发展产生了巨大的影响 魏晋时期数学家刘徽在为 九章算术 作注 时给出他用出入相补原理对勾股定理的证明 勾 自乘为朱方 股自乘为青方 令出入相补 各 从其类 因就其余不动也 合成弦方之幂 他的 分割方法未必与赵爽相 同 但我们也不能说 他 肯定没受到 周辞算经 和赵爽的影响 之后 清 初数学家梅文鼎在 勾股举隅 中给出的两种证 明方法 依然能看出它们与弦图的联系 中国传统数学以社会生活与生产 实际为研 究对象 以解决实际问题为目标 围绕建立算法 与提高计算技术而展开 强调在观察 实验基础 上进行分析 归纳得出结果 寓理于算 把数学建 立在少数不证自明 形象直观的原理上 赵爽 刘徽以及梅文鼎等人的证法就是建立在这样一 种 出入相补 原理之上 此外 中国古代数学家 常以勾股形代替一般三角形进行研究 从而可以 避开角的性质的研讨和不触及平行的烦琐理论 使几何体系简洁明了 问题的解法更加精致 从 中国勾股定理的诞生与发展来看 中国古代数学 文化传统明显有重视应用 注重理论联系实际 数形结合 以算为主 善于把问题分门别类建 立一套套算法体系的特征 对于数形结合 刘徽 在 九章算术注 序言中就提到 析理以辞 解体 以图 李约瑟在其 中国科学技术史 第三卷数 学 第32页也指出 在中国人 的办法里 几何 图形所起的是一种转换的媒介的作用 借以把数 的关系推广为代数形式 中国古人充分运用了 直角三角形易于移补的特点 给出了简洁 直观 的证法 其相应的几何思想是图形经移 补 凑 合而面积不变 这种思想不仅反映了我国传统文 化中追求直观 实用的倾向 而且反映出我国几 何研究不仅在应用方面有过辉煌成就 而且在理 论方面也曾有一席之地 同时让我们看到我们传 统文化的精髓 对我们继承和发扬传统文化起着 潜移默化的熏陶作用 弦图在数学教学中的应用 弦图有着丰富的文化价值和教育价值 同时 在数学教学中也有广泛的应用 在教学中 我们 要安排足够的时间 让学生动手进行拼 凑 补 等实践活动 深入理解割补原理 体会中国传统 文化中寓理于算的风格 同时 引导学生进行 一些创造性的活动 匀股定理的教学 文 对香港和上海数学课堂教学中勾股定 理的教学进行了介绍和分析 其中提到香港课堂 中的两种确认方法和三种证 明方法 以及上海课 堂中的四种证明方法 而且 香港确认方法 与 上海证明 香港证明 与上海证明2 香港证明 和上海证明 在本质上都是一样的 这三种上海 证明方法连 同上海证明3 都与前文提到的弦图 存在着直接或间接的联系 上海证明2使用商高弦图 通过用不同方法 计算大正方形的面积 证明勾股定理 叙正方形 正方形 十 2 脂角三角形 即 0 2 如 化简得护 护 二沙 上海证明3与前 一 一 一 一 一 尹 一甘 刁 文赵爽弦图证法完全一致 即 0 一 的 护 一 一 一 2 妥0 化简得护 护 二 上海证明 被称 一 一 一 一 一 八 一 为总统证法 是美国第 任总统伽菲尔德最早 发表的 通过用不同方法计算梯形的面积 证明 勾股定理 如图3 彻形 褥腰直角 三角形 角三角形 尽 厄 0 0 二己 0 化简得护 护 不难发现 伽菲尔德 上 勺自 所使用的图正好是商高弦图的一半 图3 把 图补完整 又得上海证法 计算两个面积相等 的正方形 而计算方法与上海证明2一致 所以 说 这里给出的四种方法 其实只有两种 分别使 用了商高和赵爽的弦 图 剑 门蜀 0 匕一一二岛乙一口 匕一石 之一习 图3图 完全平方公式和平方差公式的教学 上述上海证明2和3的逆过程其实可以用来 证明完全平方公式 另外 如果我们把商高和赵 爽的弦图合在一起如图 放置 不难发现 它给 出了 0 一 0一 20 的几何解释 而且 这种解释直观 易懂 前文已指出 赵爽的 弦图 相当于运用面积 的出入相补证明了勾股定理 这种我国古代重 要的数学思想方法 在勾股定理的教学中除了作 祥 救学救学 年第 期 一4自 介绍外 还应把它迁移到平方差公式 的证明中 这样可以在代数公式与几何图形之间建立联系 用图形来解释公式 使它们更直观 更形象 更 生动 教学中教师可以引导学生动手操作 剪一 剪 拼一拼 把不规则图形转化为常见的规则图 形并计算其面积 如图 其中不规则图形的面 积为护一萨 而矩形的长为0 宽为 0一 面积 为 0 0一 所以 0 0一 0 一 与图 类似 图 是四个斜边均为 的直角 三角形 的两种不同放置方式 中菱形面积为 即 中两个 小矩形面积分别为 和 刀 由 此证明 丑 产产产 可可乡乡 子了 月 图 不过 教师不应仅满足这两种结果 而应引 导学生的思维向更广阔处发散 间他们是否可以 剪拼成其它的图形 并尝试操作 事实上 还可 以剪拼成平行四边形 三角形 梯形 甚至直角 梯形 当然 剪一刀是不够了 但其中贯穿的思 想依然是出入相补原理 图 便是其中几例 3 我们也可以利用类似赵爽的方法证明这一 公式 如图 7 万 万 一 一 一 一 口口口 了 图 此外 从总统证法得到启发 用两个斜边长 均为 的直角三角形拼成如图 所示的图形 用 两种方法来计算梯形面积 也可以证明上述公式 0 0 公式的教学 对于前文勾股定理及弦图证明方法 我们一 般在义务教育阶段 尤其是初中 向学生介绍 到 了高中 我们就不能只满足让学生感受这些方法 更多地 我们应思考从古人的方法中学生能得到 什么启示 能不能用这些方法去解决其他问题 我们可以对弦图作些变化 用来证明其他一些数 学命题 这些创造性的活动将给这种古老的方法 以新的生命力 万 图 进一步 利用勾股定理可知 该直角梯形腰长为 了 娜绝戒 六 一就 订 司落 利用三角 形余弦定理可得 一 一 屯 侈 一 二一 一 一 泛 下转第 一 页 一夕 获学救学 年第 期 工 十 一 山 一 可以假设小虫爬每一段棱长都只需 秒钟 即 每经过 秒钟 小虫可从一个顶点到达另一个顶 点 又假设小虫刚开始时在 点记为 秒钟 以 后随着时间七的流逝 则小虫永远不停地爬下去 中间一概不停顿 直至 若按原题 字面意思 理解 则为解法一 原题 中 二 的含义容易混乱 我把它修改为 其含义为小虫的起点为 点 是一个必然事 件 的含义为自从小虫离开 点出走以后 小 虫 第 次返回到 点的概率 同理记几为小 虫 第 次返回到 点的概率 我认为 当 十 时 小虫永远在 8 三点之间往返从而陷入 死循环 状态的可能 性为 平均说来 每经过2秒钟 小虫就有 次 返回到点 的可能性 当亡 时 小虫返 回到 点的次数也可达 到 次 担心 小虫返 回到 点 次 能否实现 实在没有道理 即是说 是一个必然事件 所以 同理几 二 几 二 上述理解方案可能不是编题者的本意 若去除原题中凡的定义 重新给 下一个 准确定义 则变为解法二 每经过 秒钟 小虫可 从一个顶点爬到另一个顶点 称为 爬动了 次 同理 经过 秒钟 小虫必 爬动了 次 记几为 小虫 爬动了 次 恰好到达 点的概率 原题 字 面意思 理解成到达 点的次数为 次 已知小 虫的起点为 点 的含义为小虫 爬动了 次 恰好到达 点是一个必然事件 二4的含 义为小虫 爬动了 次 恰好到达 点是不可能 事件 几的含义为小虫 爬动了 次 恰好到达 点的慨率 显然 灼 二 二 以个直接计算伪 几 越来越困 难 考虑寻找几与几 一 之间的递推关系 几 一 的含义为小虫 爬动了 一 次 恰好到达 点的 概率 司件冷 小虫在 8 处的概率总和为 一 凡 一 无论小虫在 8 处中的任意一点 曰 日幼 一 7 它要再爬 次到达 点其概率为 一 一 二一 几 一 一 一 一 万 少一 一 瓦一 戈 均 一 诬 夕 一 二 一 补 一 互 三 了 百 矛 砚 龟 人 工 1 心 二 二 二 这表明 若小虫水远不停地爬 任 下去则小虫每爬一次到达每一个点的可能性均 在爬最初几次时 点与 8 之间的 一连 舀 可能性有明显差异 本文引用的例 例 表明 在编制数学试题 时 用词一定要准确 阐述一定要清楚 否则 一 字不当 其含义将谬之千里 学生将无从下笔 老 师也无从讲解 土接第 一2 页 化简整理得 一 如果把图 中两个直角三角形的斜边分别 改为 0 和 我们还可以用此图来证明余弦定理 有兴趣的读者不仿一试 参考文献 中华人民共和国教育部 全日制义务教 育数学课程标准 实验御 北京师范大学 出 版社 中华人民共和国教育部 普通高中数学 课程标准 实验 人民教育出