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第一章实数集与函数 序言 数学分析的主要内容 微积分研究的对象 函数 连续量 什么是连续量 初等数学 主要是离散量的运算体系 加 减 乘 除 两种体系的区别 初等数学主要是恒等变形技巧 而数学分析则是用不等式来刻划等式 用极限的概念 学习方法的不同 初 高中 从填鸭式 启发式 以教师为主 强烈地依赖于教师 大学 从启发式 个人自发 以学生本身为主 教师引导 学习目的 掌握微积分 极限 实数连续统的概念和方法 更主要的是 培养自己的积极思考问题 分析问题和解决问题的能力 一 内容简介主要讲述实数系的连续性 戴德金意义下 确界定义和确界存在定理 由于本章是建立数学分析理论的基础 对于习惯于中学数学思维方式的大学新生来讲 会感到很抽象 学习的难度相对会大一些 二 学习要求 1 了解数系的演变 2 正确理解上 下确界的概念 3 掌握实数连续性描述 确界存在定理三 学习的重点和难点重点 确界存在定理 实数系的连续性的描述难点 上 下确界的分析描述 实数系连续性的描述 一实数的引入 自然数 减法 负整数 除法 有理数 开方 无理数 无理数的引入 1 无限小数 2 区间套理论 3 分划法 4 有理数基本序列的等价类定义 第一节实数 也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示 1 实数的无限十进制表示 有理数可用分数形式 有理数和无理数统称为实数 而无限十进不循环小数则称为无理数 p q为整数 q 0 表示 规定对于正有限小数 包括正整数 x 当 时 其中 而当 为正整数时 记 a0为非负整数 例如2 001记为2 000999 对于负有限小 包括负数 y 则记 则先将 y表示为无限小数 再在所得无限小数之前加负号 例如 8记为 7 9999 又规定数0表示为0 0000 于是 任何实数都可用一个确定的无限小数来表示 例11 证明 不是有理数 2 证明 是无理数 二两个实数的比较 定义2 为非负实数 称有理数 为实数x的n位不足近似 称为x的n位过剩近似 n 0 1 2 对于负实数 其n位不足近似与过 剩近似分别规定为 与 以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件 设 而有理数 注不难看出 实数x的不足近似xn当n增大时不减 当n增大时不增 即有x0 x1 x2 而过剩近似 命题 则x y的等价条件是 存在非负整数n使得 为两个实数 其中xn表示x的n位不足近似 过剩近似 关于这个命题的证明 以及关于实数的四则运算法则的定义 可参阅本书附录ii第八节 例2设x y为实数 x y 证明 存在有理数r满足 x r y 即有 设 三实数的性质 1实数对四则运算的封闭性 2有序性 3传递性 4具有阿基米德 性 即对任何 若 则存在正整数 使得 实数的稠密性 即任何两实数之间必有另一实数 且既有有理数 也有无理数 实数与数轴上点一一对应 例3设 证明 若对任何正数 有 则 注 为常数 不能为变数 4 对于任何a b r
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