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直角三角形的射影定理 大家先回忆一下 1 一锐角相等 2 任意两边对应成比例 1 勾股定理 2 直角三角形相似的判定方法 1 想一想 2 线段留在mn上的影子是什么 2 射影的定义 二 新课教学 点 点或线段 各种线段在直线上的射影的情况 口答 3 射影定理 如图 cd是的斜边ab的高线 这里 ac bc为直角边 ab为斜边 你能发现这些线段之间的某些关系吗 线段ac bc dc是哪些线段的比例中项呢 如图 由直角三角形相似的判定方法 得 推出 所以 同理 得 cdb 直角三角形中 斜边上的高线是两条直角边在斜边的射影的比例中项 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 bc是bd ab的比例中项 ac是ad ab的比例中项 cd是bd ad的比例中项 利用射影定理证明勾股定理 利用勾股定理证明射影定理 ab2 ad db 2 ad2 2ad db db2 ac2 cd2 2ad db bc2 cd2 ac2 bc2 2 ad db cd2 ab2 ac2 bc2ad db cd2 0cd2 ad db 直角三角形中 斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 例1 如图 圆o上一点c在直径ab上的射影为d ad 2 db 8 求cd ac和bc的长 a b c d o 直角三角形中 斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 分析 利用射影定理和勾股定理 解 acb是半圆上的圆周角 acb 90 即 abc是直角三角形 4 例题讲解 1 在中 cd为斜边ab上的高 图中共有6条线段ac bc cd ad db ab 已知任意两条 便可求出其余四条 2 射影定理中每个乘积式中 含三条线段 若已知两条可求第三条 3 解题过程中 注意和勾股定理联系 选择简便方法 小结 直角三角形中 斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 例2 如图 abc中 顶点c在ab边上的射影为d 且求证 abc是直角三角形 逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项 那么这个三角形是直角三角形 1 在 abc中 c 90 cd是斜边ab上的高 已知cd 60 ad 25 求bd ab ac bc的长 5 沙场练兵 答案 bd 144 ab 169 bc 156 三 课堂小结 1 射影
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