2017_18学年高中数学第一章1.5平行关系学案.docx

第1课时平行关系的判定核心必知1直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系图形语言符号语言直线在平面内a直线与平面相交aA直线与平面平行a2.直线与平面平行的判定文字语言图形语言符号语言若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行3.平面与平面平行的判定文字语言图形语言符号语言如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行问题思考1若直线a平行于平面内的无数条直线，则直线a平行于平面吗？提示：不一定，因为直线a在平面内时，与a平行的直线也有无数条2对于平面与平面平行的判定定理中，若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定如图中，平面内的两条直线a，b均平行于，而与却相交讲一讲1.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点证明：EF平面PAD.尝试解答证明：在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD，EFAD.又AD平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.1判断或证明线面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；(2)判定定理法：a，b，aba；(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内2证明线线平行的方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理练一练1如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC平面BDQ.证明：连接AC交BD于O，连接QO.四边形ABCD是平行四边形，O为AC的中点又Q为PA的中点，QOPC.显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，PC平面BDQ.讲一讲2.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点求证：平面AMN平面EFDB.尝试解答证明：如图所示，连接MF.M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，MFA1D1且MFA1D1.又A1D1AD且ADA1D1，MFAD且MFAD.四边形AMFD是平行四边形AMDF.又DF平面EFDB，AM平面EFDB，AM平面EFDB.同理可证，AN平面EFDB.又AN，AM平面AMN，AMANA，平面AMN平面EFDB.平面平行的判定方法：(1)利用定义，证面面无公共点(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，如本题(3)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两个平面平行练一练2如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一点，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中点求证：平面A1BD1平面AC1D.证明：连接A1C交AC1于点E，四边形A1ACC1是平行四边形，E是A1C的中点连接ED，ED是A1BC的中位线，EDA1B.ED平面A1BD1，A1B 平面A1BD1，ED平面A1BD1.C1D1BD，四边形BDC1D1是平行四边形，C1DBD1.C1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1，C1D平面A1BD1.C1DEDD，平面A1BD1平面AC1D.讲一讲3.如图所示，B为ACD所在平面外一点，且BABCBD，M，N，G分别为ABC，ABD，BCD的重心(1)求证：平面MNG平面ACD；(2)求SMNGSADC.尝试解答(1)证明：如图连接BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD于P，F，H.M，N，G分别为ABC，ABD，BCD的重心，则有2，连接PF，FH，PH，有MNPF.又PF 平面ACD，MN 平面ACD，MN平面ACD，同理MG平面ACD，MGMNM，平面MNG平面ACD.(2)由(1)可知：，MGPH.又PHAD，MGAD.同理NGAC，MNCD，MNGACD，其相似比为13，故SMNGSADC19.证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺利得到解决熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视练一练3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1的中点，判断并证明平面D1BQ与平面PAO的位置关系解：平面D1BQ平面PAO.下面给出证明Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA.QB 平面PAO，PA平面PAO，QB平面PAO.P，O分别为DD1，DB的中点，D1BPO.D1B 平面PAO，PO 平面PAO，D1B平面PAO.又D1BQBB，平面D1BQ平面PAO.如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，MAD1，NBD，且D1MDN，求证：MN平面CC1D1D.证明法一：连AN并延长交DC于E.连接D1、E.ABCD，.BDAD1，且D1MDN，.在AD1E中，MND1E，又MN平面CC1D1D，D1E 平面CC1D1D，MN平面CC1D1D.尝试用另外一种方法解题法二：过点M作MPAD，交DD1于P，过点N作NQAD交CD于点Q，连接PQ，则MPNQ，在D1AD中，.NQAD，ADBC，NQBC.在DBC中，D1MDN，D1ADB，ADBC，NQMP.四边形MNQP为平行四边形，则MNPQ.而MN 平面CC1D1D，PQ 平面CC1D1D，MN平面CC1D1D.1在以下说法中，正确的个数是()平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行；平面内有无数条直线和平面平行，则与平行；平面内ABC的三个顶点到平面的距离相等，则与平行A0 B1 C2 D3解析：选A对，当内的两直线平行时，与也可能相交，故错误；对，当内有无数条直线和平行时，与也可能相交，故错误；对，若A，B，C三点在两侧时，与相交，故错误2能保证直线a与平面平行的条件是()Ab，abBb，c，ab，acCb，A，Ba，C，Db，且ACBDDa，b，ab解析：选DA项和B项中a有可能在内，C项中，a可能在内，也可能与相交，D项中，a.3若M，N分别是ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面的位置关系是()AMNBMN与相交或MN CMN或MN DMN或MN与相交或MN 解析：选C当平面与平面ABC重合时，有MN ；当平面与平面ABC不重合时，则平面ABCBC.M，N分别为AB，AC的中点，MNBC.又MN，BC，MN.综上有MN或MN .4六棱柱的表面中，互相平行的面最多有_对解析：如图，当六棱柱的底面为正六边形时，互相平行的平面最多有4对，每组对边所在的平面平行，且上下底面平行答案：45若直线a直线bA，a平面，则b与的位置关系是_解析：a，a与平面没有公共点，若b，则A，又Aa，此种情况不可能b或b与相交答案：b或b与相交6如图E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.证明：(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OGB1C1，且OGB1C1，BEB1C1，且BEB1C1，OGBE且OGBE，四边形BEGO为平行四边形，OBGE.OB 平面BB1D1D，GE 平面BB1D1D，GE平面BB1D1D.(2)由正方体性质得B1D1BD，B1D1 平面BDF，BD 平面BDF，B1D1平面BDF，连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1BF.HD1 平面BDF，BF 平面BDF，HD1平面BDF，B1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H.一、选择题1已知b是平面外的一条直线，下列条件中，可得出b的是()Ab与内的一条直线不相交Bb与内的两条直线不相交Cb与内的无数条直线不相交Db与内的所有直线不相交解析：选D若b与内的所有直线不相交，即b与无公共点，故b.2空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AEEBCFFB13，则对角线AC和平面DEF的关系是()A平行B相交C在平面内 D平行或相交解析：选A如图所示，在平面ABC内，因为AEEBCFFB13，所以ACEF.又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，所以AC平面DEF.3如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是()A平面BME平面ACNBAFCNCBM平面EFDDBE与AN相交解析：选A作出如图所示的正方体易知ANBM，ACEM，且ANACA，所以平面ACN平面BEM.4已知m，n表示两条直线，表示平面，下列结论中正确的个数是()若m，n，mn，则；若m，n相交且都在，外，且m，m，n，n，则；若m，m，则；若m，n，且mn，则A1 B2C3 D4解析：选A仅满足m，n，mn，不能得出，不正确；设m，n确定平面为，则有，从而，正确；均不满足两个平面平行的条件，故均不正确5在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是()A平行 B相交C在平面内 D相交或平行解析：选D当M与D1重合时，DD1A1A，DD1面AA1C1C，AA1面AA1C1C，MD面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交二、填空题6点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是_解析：由线面平行的判定定理知：BD平面EFGH，AC平面EFGH.答案：27三棱锥SABC中，G为ABC的重心，E在棱SA上，且AE2ES，则EG与平面SBC的关系为_解析：如图，取BC中点F，连SF.G为ABC的重心，A，G，F共线且AG2GF.又AE2ES，EGSF.又SF 平面SBC，EG平面SBC，EG平面SBC.答案：EG平面SBC8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_时，有MN平面B1BDD1.解析：HNBD，HFDD1，HNHFH，BDDD1D，平面NHF平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN平面B1BDD1.答案：M线段FH三、解答题9已知：ABC中，ACB90，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将ADE折起，使A到A的位置，M是AB的中点，求证：ME平面ACD.证明：如图所示，取AC的中点G，连接MG，GD，M，G分别是AB，AC的中点，MGBC，同理DEBC，MGDE，四边形DEMG是平行四边形，MEDG.又ME 平面ACD，DG平面ACD，ME平面ACD.10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点求证：(1)EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明：(1)如图所示，连接SB.E，G分别是BC，SC的中点，EGSB.又SB 平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，EG平面BDD1B1.(2)F，E分别是DC，BC的中点，FEBD.又BD 平面BDD1B1，FE平面BDD1B1，FE平面BDD1B1.又EG平面BDD1B1，且EG 平面EFG，EF 平面EFG，EFEGE，平面EFG平面BDD1B1.第2课时平行关系的性质核心必知1直线与平面平行的性质文字语言图形语言符号语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行 lb2.平面与平面平行的性质文字语言图形语言符号语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行ab问题思考1若直线l与平面平行，可否认为l与平面内的任意一条直线都平行？提示：不可根据线面平行的性质定理，l与过直线l的平面与的交线平行2若平面a，b，则a、b的位置关系是什么？提示：平行或相交：当时，由面面平行的性质定理知ab；当与相交时，a与b相交或平行3如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话对吗？为什么？提示：不对，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面讲一讲1.ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.尝试解答证明：连接AC交BD于O，连接MO，ABCD是平行四边形，O是AC中点又M是PC的中点，APOM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA平面BMD.平面PAHG平面BMDGH，根据直线和平面平行的性质定理，APGH.线面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行具体方法如下：线线平行线面平行线线平行练一练1已知：ab，a，b，l.求证：abl.证明：如图所示，ab，b，a，又a，l，al，又ab，abl.讲一讲2如图，已知平面，P且P，过点P的直线m与、分别交于A、C，过点P的直线n与、分别交于B、D，且PA6，AC9，PD8，求BD的长尝试解答因为ACBDP，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为，平面PCDAB，平面PCDCD，所以ABCD.所以，即.所以BD.由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面几何间的转化关系另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可先证面面平行，再由性质证得练一练2如图所示，设AB，CD为夹在两个平行平面，之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点求证：直线MP平面.证明：过点A作AECD交平面于E，连接DE，BE，AECD，AE、CD确定一个平面，设为，则AC，DE.由于，ACDE(面面平行的性质定理)取AE中点N，连接NP，MN，M、P分别为AB、CD的中点，NPDE，MNBE.又NP ，DE ，MN ，BE ，NP，MN.又NPMNN，平面MNP.MP 平面MNP，MP.讲一讲3如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD平面PBCl.(1)求证：lBC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论尝试解答(1)证明：因为ADBC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.又因为平面PBC平面PADl，所以lADBC.(2)平行证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，因为M，N分别是AB，PC的中点，所以MQAD，NQPD.而MQNQQ，ADPDD，所以平面MNQ平面PAD.因为MN 平面MNQ，所以MN平面PAD.在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：练一练3在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，点M是BC的中点，点N是AA1的中点求证：MN平面A1CD.证明：设点P为AD的中点，连接MP，NP.点M是BC的中点，MPCD.CD 平面A1CD，MP 平面A1CD，MP平面A1CD.点N是AA1的中点，NPA1D.A1D 平面A1CD，NP 平面A1CD，NP平面A1CD.MPNPP，MP 平面MNP，NP 平面MNP，平面MNP平面A1CD.MN 平面MNP，MN平面A1CD.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SASBSC，SG为SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明解SG平面DEF.证明如下：法一：连接CG交DE于H，DE是ABC的中位线，DEAB.在ACG中，D是AC的中点，且DHAG，H为CG的中点，FH为SCG的中位线，FHSG.又SG平面DEF，FH 平面DEF，SG平面DEF.尝试用另外一种方法解题法二：EF为SBC的中位线，EFSB，EF 平面SAB，SB 平面SAB，EF平面SAB.同理：DF平面SAB.又EFDFF，EF 平面DEF，DF 平面DEF，平面SAB平面DEF.又SG 平面SAB，SG平面DEF.1直线a平面，内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A至少有一条B至多有一条C有且只有一条 D没有解析：选B设内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行n条相交直线中有0条或1条直线与a平行2. 若平面平面，直线a，点B，则在内过点B的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一一条与a平行的直线解析：选D直线a与点B确定一个平面这个平面与有公共点B，则这两个平面就有一条通过B点的直线l，而由两平面平行的性质定理得la.3设m，n为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是()A若m，n，则mnB若m，m，则C若m，n，mn，则D若，m，n，则mn解析：选D A中m与n与同一平面平行，m，n还可能相交或异面；B中与可能相交；C中与可能相交，只有D正确4如图所示，在空间四边形ABCD中，MAB，N是AD的中点，若MN平面BDC，则AMMB_.解析：MN平面BDC，MN 平面ABD，平面ABD平面BDCBD，MNBD.又N是AD的中点，M是AB的中点，故有AMMB11.答案：115设m、n是平面外的两条直线，给出三个论断：mn；m；n.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：_.(用序号表示)解析：设过m的平面与交于l.m，ml，mn，nl，n，l，n.答案：(或)6如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是梯形，ABCD，ADDC，CD2，DD1AB1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点求证：AC平面BPQ.证明：连接CD1，AD1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，PQCD1，且CD1 平面BPQ，CD1平面BPQ.又D1QAB1，D1QAB，四边形ABQD1是平行四边形，AD1BQ，又AD1 平面BPQ，AD1平面BPQ.又AD1CD1D1.平面ACD1平面BPQ.AC 平面ACD1，AC平面BPQ.一、选择题1设a，b是两条直线，是两个平面，若a，a，b，则内与b相交的直线与a的位置关系是()A平行B相交C异面 D平行或异面解析：选Ca，a与内的直线没有公共点，所以，a与内的直线的位置关系是异面或平行，内与b平行的直线与a平行，内与b相交的直线与a异面2平面平面a，平面平面b，平面平面c，若ab，则c与a，b的位置关系是()Ac与a，b都异面 Bc与a，b都相交Cc至少与a，b中的一条相交 Dc与a，b都平行解析：选D如图：ab，且a，b，a，a且c，ac，bc.3下列说法正确的个数为()两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；两平行直线被两平行平面截得的线段相等A1 B2C3 D4解析：选B易知正确，不正确；若、a，则a与平行，故不正确4如图，P是ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于A，B，C，若PAAA23，则ABC与ABC面积的比为()A25B38C49 D425解析：选D由题意知，ABCABC，从而22.5若不在同一直线上的三点A、B、C到平面的距离相等，且A，则()A平面ABCBABC中至少有一边平行于CABC中至多有两边平行于DABC中只可能有一边与相交解析：选B若三点在平面的同侧，则平面ABC，有三边平行于.若一点在平