数学人教版九年级上册二次函数最值问题.pdf

二次函数 专题二 最值和特殊几何图形存在性问题二次函数 专题二 最值和特殊几何图形存在性问题 一 二次函数中几何图形最值问题 线段长度和与差 三角形或四边形的周长和面积等 一 二次函数中几何图形最值问题 线段长度和与差 三角形或四边形的周长和面积等 例 1 如图 在直角坐标系中 点 A 的坐标为 2 0 连结 OA 将线段 OA 绕原点 O 顺 时针旋转 120 得到线段 OB 1 求点 B 的坐标 2 求经过 A O B 三点的抛物线的解析式 3 在 2 中抛物线的对称轴上是否存在点 C 使 BOC 的周长最小 若存在 求出点 C 的坐标 若不存在 请说明理由 4 如果点 P 是 2 中的抛物线上的动点 且在 x 轴的下方 那么 PAB 是否有最大面积 若有 求出此时 P 点的坐标及 PAB 的最大面积 若 没有 请说明理由 练习 抛物线 y ax2 bx c 交 x 轴于 A B 两点 交 y 轴于 C 点 已知抛物线的对称轴为 x 1 B 3 0 C 0 3 1 求抛物线的解析式 2 在对称轴上是否存在一点 P 使得点 P 到 B C 两点距离之差最大 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 平行于 x 轴的一条直线交抛物线于 M N 两点 若线段 MN 的中点到 x 轴的距离刚好 等于的 MN 长的一半 求此这条直线的解析式 二 二次函数中特殊几何图形问题 直角三角形 等腰三角形 平行四边形 矩形等 二 二次函数中特殊几何图形问题 直角三角形 等腰三角形 平行四边形 矩形等 例 1 已知二次函数 y x 2 m2 8 x 2 m2 6 设抛物线顶点为 A 与 x 轴交于 B C 两点 问 是否存在实数 m 使 ABC 为等腰直角三角形 如果存在求 m 若不存在说明理由 练习 一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A m 2 0 B m 2 0 两点 记抛物线顶点为 C 且 AC BC 1 若 m 为常数 求抛物线的解析式 2 若 m 为小于 0 的常数 那么 1 中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点 3 设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点 问是否存在实数 m 使得 BOD 为等腰三角形 若存在 求出 m 的值 若不存在 请说明理由 例 2 如图所示 在平面直角坐标系 xOy 中 矩形 OABC 的边长 OA OC 分别为 12cm 6cm 点 A C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上 抛物线 y ax2 bx c 经过点 A B 且 18a c 0 1 求抛物线的解析式 2 如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm s 的速度向终点 B 移动 同时点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 2cm s 的速度向终点 C 移动 移动开始后第 t 秒时 设 PBQ 的面积为 S 试写出 S 与 t 之间的函数关系式 并写出 t 的取值范围 当 S 取得最大值时 在抛物线上是否存在点 R 使得以 P B Q R 为顶点的四边形是平 行四边形 如果存在 求出 R 点的坐标 如果不存在 请说明理由 练习 已知抛物线 y x 2 2x a a 0 与 y轴相交于点A 顶点为M 直线 y 0 5x a 分别 与 x 轴 y 轴相交于 B C 两点 并且与直线 AM 相交于点 N 1 填空 试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标 则M N 2 如图 将 NAC 沿 y 轴翻折 若点 N 的对应点 N 恰好落在抛物线上 AN 与 x 轴交 于点 D 连结 CD 求 a 的值和四边形 ADCN 的面积 3 在抛物线 2 2yxxa 0a 上是否存在一点P 使得以 P A C N 为顶点的四边形 是平行四边形 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 试说明理由 三 二次函数的图像和性质的综合运用三 二次函数的图像和性质的综合运用 例 1 如图 抛物线cbxxy 2 与 x 轴交与 A 1 0 B 3 0 两点 顶点为 D 交 y 轴 于 C 1 求该抛物线的解析式 2 在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M 使 MBC 是以 BCM 为直角的直角三角 形 若存在 求出点 P 的坐标 若没有 请说明理由 3 若 E 为抛物线 B C 两点间图象上的一个动点 不与 A B 重合 过 E 作 EF 与 x 轴垂 直 交 BC 于 F 设 E 点横坐标为 x EF 的长度为 L 求 L 关于 x 的函数关系式 关写出 x 的取值范围 当 E 点运动到什么位置时 线段 EF 的值最大 并求此时 E 点的坐标 4 在 3 的情况下直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 H 当 E 点运动到什么位置时 以 点 E F H D 为顶点的四边形为平行四边形 x y B C O D A M N N x y B C O A M N 备用图 练习 1 如图 已知抛物线 y ax 2 bx c 经过 O 0 0 A 4 0 B 3 3 三点 连结 AB 过点 B 作 BC x 轴交抛物线于点 C 1 求该抛物线的解析式 2 两个动点 P Q 分别从 O A 两点同时出发 以每秒 1 个单位长度的速度运行 其中 点 P 沿着线段 OA 向 A 点运动 点 Q 沿着折线 A B C 的路线向点 C 运动 设这两个动点 运动的时间为 t 秒 0 t 4 PQA 的面积记为 S 求 S 与 t 的函数关系式 当 t 为何值时 S 有最大值 最大值是多少 并指出此时 PQA 的形状 是否存在这样的 t 值 使得 PQA 是直角三角形 若存在 请直接写出此时的 P Q 两点 的坐标 若不存在 请说明理由 练习 2 如图 已知抛物线 C1 y a x 2 2 5 的顶点为 P 与 x 轴相交于 A B 两点 点 A 在 点 B 的左边 点 B 的横坐标是 1 1 求 P 点坐标及 a 的值 2 如图 1 抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称 将抛物线 C2 向右平移 平移后的 抛物线记为 C3 C3 的顶点为 M 当点 P M 关于点 B 成中心对称时 求 C3 的解析式 3 如图 2 点 Q 是 x 轴正半轴上一点 将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180 后得到抛物线 C4 抛物