青岛大学概率论课件概率第三章.ppt

第三章连续型随机变量及其分布 本章内容提要 1 分布函数2 概率密度及联合分布3 随机变量函数的分布4 随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差 相关系数 一定义与性质 为随机变量的分布函数 定义1设 是定义在样本空间 上的随机变量 称函数 3 1随机变量的分布函数 2 由分布函数可以计算以下概率 注 1 分布函数也可以定义为 3 离散型随机变量的分布函数 设 的分布列为 则其分布函数为 例1设随机变量的概率分布为 1 求的分布函数 2 求 1234P1 41 84 73 56 解 1 2 X Y 1 2 3 4 0 例2设随机变量 的分布函数为 求 例3等可能地向 a b 内投点 求点坐标 的分布函数 3 2连续型随机变量 2 性质 1 2 一 一维连续型随机变量的定义及性质 基本性质 1 定义 例1随机变量的密度函数为 求 1 常数a2 的分布函数 3几种常用的分布 1 均匀分布 2 指数分布 注1 参数的几何意义 指数分布的无记忆性 2 定理 设 服从参数为 的指数分布 则 3 分布 注1 2 例2假设一大型设备在任何长为t的时间间隔内发生故障的次数 若T表示相邻两次故障之间的时间间隔 求 T的分布函数 一次故障修复之后设备无故障运行8小时的概率 在设备无故障运行小时的情况下 再无故障运行8小时的概率 4 正态分布 定义 图形 0 标准正态分布N 0 1 的分布函数 正态分布的概率计算 例4 例3 例5 例6设测量误差现进行100次的测量 求误差的绝对值超过19 6的次数不小于3的概率 例7某单位招聘155人 按考试成绩录取 共有526人报名 假设报名者的考试成绩已知90分以上的有12人 60分以下的有83人 若从高分到低分依次录取 某人的成绩为78分 问此人能否被录取 1定义 设是二维随机变量 称二元函数 为的分布函数 或称为的联合分布函数 2性质 一联合分布及边际分布函数 3 3多维随机变量及其分布 二 二维连续型随机变量 1定义 2的性质 3边际分布密度 例2设二维随机变量 具有密度函数 试求 1 常数C 2 分布函数 3 边际分布 三 两个常用分布 1均匀分布 其中G是平面上的一区域 则称 服从区域G上的均匀分布 注 2二维正态分布 1 密度函数 2 边际分布 2 独立的充要条件 四 随机变量的独立性 1 定义 定理1 定理2 n维随机变量的独立性 定义 定理3 3 4随机变量函数的分布 一 一维连续型随机变量函数的分布 问题 已知 的密度函数 是可测函数 定理1 教材p129 解 函数是严格单调上升函数 其反函数 故 例1 例3 例2 注 上两例中所用的方法称为分布函数法 例4 例5 设随机变量X的分布函数为严格单增的连续函数 证明 二 二维随机变量函数的分布 X 1和的分布 X Y x y z 例6设 相互独立 服从相同的分布N 0 1 求 密度函数 解 由卷积公式 结论 结论 1 分布具有可加性 关于第一个参数 例7 例8 2差的分布 3积的分布 4商的分布 例9 例10 教材P138 139页 教材P136 137页 例11 例12 例13 三 随机变量函数的分布 定理 假设变换 满足 存在逆变换 例16 例17 例18 3 4随机变量的数字特征契贝晓夫不等式 一数学期望 1定义 离散型 连续型 注 2几个常用分布的期望 1 均匀分布 2 指数分布 3 正态分布 4 分布 3随机变量函数的期望 连续型 4二维随机变量的期望 定义 4 5二维随机变量函数的期望 例3假定国际市场上每年对我国某种商品的需求量是一个随机变量设为 吨 它服从 2000 4000 上的均匀分布 每售出这种商品1吨 可为国家挣得外汇3万元 但假若销售不出去而屯积于仓库则每吨净亏损1万元 问应组织多少货源 才能使国家的收益最大 例1设随机变量 服从拉普拉斯分布 其概率密度为 6期望的性质 二方差 1定义 2计算公式 3常用分布的方差 1 均匀分布 2 指数分布 3 正态分布 4 分布 4方差的性质 例4 三契贝晓夫不等式 注 1 契贝哓夫不等式进一步揭示了方差的意义 2 不等式的估计是粗造的 推论 四协方差 1定义 2计算公式 注 3性质 例5设 的密度为求 例6设 试求 4协方差矩阵 定义 称 性质 1 对称性B B 2 非负定性协方差矩阵是非负定的 求协方差矩阵 解 五相关系数 1定义 2性质 引理 Cauchy Schwarz 不等式 3相关系数的概率意义 相关系数是度量线性相关程度的一个量 线性相关程度随的减小而减弱 注 解 解 由已知 所以 于是 六矩 1 k阶原点矩 定义 2 k阶中心矩 定义 3 混合矩 4 混合中心矩 例11设随机变量与的联合分布为 问 与是否相关 是否独立 例12 投资风险组合 设有一笔资金 总量为1 单位 如今要投资甲 乙两种政权 若将资金投资于甲证券 将余下的资金投资于乙证券 于是就形成一个投资组合 记为投资甲证券的收益率 为投资乙证券的收益率 已知的数学期望分别为 方差分别为 与的相关系数为 试求该投资组合的平均收益与风险 并求使投资风险最小的 条件分布与条件期望 一条件分布 2连续型的条件密度 称 1条件分布函数 条件分布函数 y的条件下 的条件密度 x的条件下 的条件密度 求 二条件数学期望 1定义 离散型 连续型 解 由例2可知在 y的条件下 的条件分布为 3条件期望性质 2预测问题 3 7特征函数 一定义 定义1 为 的特征函数 注 计算公式 例1求下列随机变量的特征函数 例2求下列分布的特征函数 例3求 的特征函数 二特征函数的基本性质 性质1 性质2 例4求正态分布的特征函数 性质3 性质4 注 特征函数的一致连续性 非负定性及 0 1是其基本性质 性质5 特征函数与矩的关系 例5求分布的期望与方差 P176页 三逆转公式及唯一性定理 定理1 逆转公式 定理2分布函数由其特征函数唯一确定 推论 设 是连续型的随机变量 密度函数为p x 四随机变量和的特征函数 定理3 推广 例6 求 求 例8 例9 结论 特征函数小结 一定义 二性质 1 2 一致连续 非负定 3 4 三唯一性定理 四和的特征函数 习题课随机变量的数字特征 1数学期望 一维 二维 函数的期望 条件期望 2方差 3期望与方差的性质 4协方差与相关系数 性质 1 2 3 定义与计算 相关系数 性质