课标通用高考数学一轮复习第九章解析几何9.8曲线与方程学案理.docx

9.8曲线与方程考纲展示考点1直接法求轨迹方程1.曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是_的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是_的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题答案：(1)这个方程(2)曲线上2求曲线方程的基本步骤典题1(1)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程；已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明：直线l过定点解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点|O1M|，又|O1A|，化简得y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.证明由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x，得k2x2(2kb8)xb20.其中32kb640.由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入，得2kb2(kb)(82kb)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.求动点P的轨迹方程解因为点B与点A(1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得，化简得x23y24(x1)故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)点石成金直接法求曲线方程时，最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系，则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性考点2定义法求轨迹方程典题2已知动圆C与圆C1：(x1)2y21相外切，与圆C2：(x1)2y29相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A.(1)求轨迹T的方程；(2)已知直线l：ykxm与轨迹T相交于M，N两点(M，N不在x轴上)若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解(1)设动圆C的半径为r，则|CC1|r1，|CC2|3r，|CC1|CC2|4.点C的轨迹是以C1，C2为焦点(c1)，长轴长为2a4的椭圆，点C的轨迹T的方程是1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将ykxm代入椭圆方程，得(4k23)x28kmx4m2120.x1x2，x1x2.以MN为直径的圆过点A，点A的坐标为(2,0)，0，即(x12)(x22)y1y20.y1kx1m，y2kx2m，y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.将代入，得7m216km4k20.或2，且都满足0.由于直线l：ykxm与x轴的交点为，当2时，直线l恒过定点(2,0)，不合题意，舍去，直线l：yk恒过定点.点石成金1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程2定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是几何形式的情况利用条件把待定系数求出来，使问题得解.如图，已知ABC的两顶点坐标A(1,0)，B(1,0)，圆E是ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程解：由题知|CA|CB|CP|CQ|AP|BQ|2|CP|AB|4|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)设曲线M：1(ab0，y0)，则a24，b2a223，所以曲线M的方程为1(y0)考点3代入法求轨迹方程典题32017山东泰安质检如图所示，动圆C1：x2y2t2,1t3，与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程解(1)设A(x0，y0)，则S矩形ABCD4|x0y0|，由y1得y1，从而xyx2.当x，y时，Smax6.从而t2xy5，t，当t时，矩形ABCD的面积取得最大值，最大值为6.(2)由椭圆C2：y21知，A1(3,0)，A2(3,0)，由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3)，直线A2B的方程为y(x3)由，得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y1.将代入得y21(x3，y0)点M的轨迹方程为y21(x3，y0)点石成金代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P(x，y)(2)寻求所求动点P(x，y)与已知动点Q(x，y)的关系(3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x，y.(4)将x，y代入已知曲线方程中化简求解.1.2017宁夏银川模拟动点A在圆x2y21上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是_答案：(2x3)24y21解析：设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x3,2y)，点A在圆上，将点A坐标代入圆的方程，轨迹方程为(2x3)24y21.2设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且2，.当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程解：设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0.由2，得(xx0，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x.故所求点N的轨迹方程是y24x.方法技巧求轨迹方程的三种方法：(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x，y的等式就得到曲线的轨迹方程(2)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程(3)代入法(相关点法)：所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动的如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法易错防范1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义2求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等 真题演练集训 12016新课标全国卷设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解：(1)因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC.所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得，点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，A到m的距离为，所以|PQ|24.故四边形MPNQ的面积为S|MN|PQ|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)22016湖北卷一种作图工具如图所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3 .当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点， AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系(1)求曲线C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由解：(1)设点D(t,0)(|t|2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，2，且|1，所以(tx，y)2(x0t，y0)，且即且t(t2x0)0. 由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t2x0，故x0，y0.代入xy1，可得1，故曲线C的方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ448. 当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm，由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.(*1)又由 可得P；同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|.(*2)将(*1)代入(*2)，得SOPQ8. 当k2时，SOPQ888；当0k2时，SOPQ88.因为0k2，则00)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果OMAB于点M，则点M的轨迹为_审题视角(1)点M的运动是由点A的运动引起的，而A的变动又和OA的斜率有关(2)若OA的斜率确定，A的坐标确定，M的坐标也确定，所以可以选OA的斜率为参数解析设点M的坐标为(x，y)，直线OA的方程为ykx，显然k0，则