高中数学第一章函数概念1.3.1函数的基本性质课堂导学案.docx

1.3.1 函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例1】 证明函数y=x-在(0,+)上单调递增.思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意x1、x2(0,+)且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1-(x2-)=(x1-x2)+-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1+). 0x1x2, x1-x20,1+0. 因此（x1-x2）(1+1x1x2)0, f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). f(x)=x-在（0，+）上单调递增.温馨提示 1.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明. 2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形将f(x1)-f(x2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x1-x2)的因式;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论. 3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【例2】 f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，又f()f(),试判断f(-2)与f(2)的大小.思路分析：解决此题的关键是将f(-2)与f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小.解：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二次函数的对称轴. 又1,f()f(),可以得f(x)在1,+)上单调递增，二次函数的图象开口方向向上，f(x)在(-,1)上单调递减. 由于0与2关于x=1对称，f(2)=f(0). -2f(0),即f(-2)f(2).温馨提示 利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.二、函数的最值【例3】 求f(x)=x+的最小值.思路分析：该题函数f(x)由x与相加构成，x与具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于x的次数不一致，出现了相当于2倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.解法一：f(x)=x+的定义域为1,+,在1,+上x、同时单调递增，因此f(x)=x+在1,+上单调递增，最小值为f(1)=1+=1.解法二：f(x)=x+的定义域为1,+，令=t0,x=t2+1, f(x)=g(t)=t2+1+t=t2+t+1=(t+)2+(t0). 由于g(t)的对称轴t=-在0,+)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在0,+)上单调递增，当t=0时,g(t)min=1，f(x)的最小值为1.温馨提示 1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围. 2.利用单调性求最值，其规律为：若f(x)在a,b上单调递增，则f(a)f(x)f(b)，即最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在a,b上单调递减，则f(b)f(x)f(a)，即最大值为f(a),最小值为f(b).三、函数单调性的应用【例4】 (1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4上是减函数，求实数a的取值范围；(2)y=kx2-x+1在0,+)上单调递减，求实数k的取值范围.思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx2-x+1中的k是否为零要注意讨论.解：(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2，其对称轴为x=1-a，若要二次函数在(-,4上单调递减，必须满足1-a4,即a-3.如图所示. (2)k=0时，y=-x+1满足题意；k0时，抛物线开口向上，在0,+)上不可能单调递减；k0时，对称轴x=0在0,+上单调递减. 综上，k0.温馨提示 f(x)在（-,4上是减函数，只说明区间（-,4是函数f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集.各个击破类题演练1证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间（-，-）上是增函数.证明：设x1、x2(-,-)，且x1x,则f(x1)-f(x2)=ax12+bx1-ax22-bx2=(x1-x2)a(x1+x2)+b. x1,x2(-,-), x1+x2-b, a(x1+x2)+b0. x1-x20， f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). y=ax2+bx+c在（-,-上单调递增.变式提升1若函数f(x)=x+定义在(0,+)上，试讨论函数的单调区间.解析：设任意x1、x2(0,+)且x1x2, 则f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+) =(x1-x2)+ =(x1-x2)(1-) =(x1-x2). 由于x1-x20,只有x1x2-10或x1x2-10时，f(x)才具有单调性，而显然0x1x21时，有x1x21,x1x2-10,即f(x1)f(x2).f(x)在(0,1)上单调递减. 当1x11,从而x1x2-10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)在1,+上单调递增. 当0x11, 又f(x)在（0，+）上单调递减， f(a2-a+1)f().答案：f(a2-a+1)f()变式提升2如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f(2-t)，比较f(1),f(2),f(4)的大小.解析：f(2+t)=f(2-t), f(x)的对称轴为x=2. 故f(x)在2，+上是增函数，且f(1)=f(3). f(2)f(3)f(4), 即f(2)f(1)f(4).类题演练3已知函数f(x)=,x1,+，求函数f(x)的最小值.解析：f(x)=x+2, 设1x11,00, 又x2-x10, f(x2)-f(x1)0,f(x1)f(x2), f(x)在区间1，+上为增函数， f(x)在区间1，+上的最小值为f(1)=.变式提升3求函数f(x)=-x2+2ax+1在0,2上的最大值.解析：f(x)=-x2+2ax+1=-(x2-2ax+a2)+a2+1=-(x-a)2+a2+1. 由于f(x)的对称轴x=a对于0,2有三种位置关系，如下图所示. 当a2时，f(x)在0,2上单调递增，则最大值为f(2)=4a-3. 综上，f(x)在0,2上的最大值为 g(a)=类题演练4二次函数y=x2+mx+4在(-,-1上是减函数，在-1,+)上是增函数，则：（1）m的值是多少？（2）此函数的最小值是多大？解析：（1）由于y=x2+mx+4在（-,-1上是减函数，在-1，+）上是增函数，其对称轴为x=-1，故m=2. (2)