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利用图表分析法确定最优化方案 江苏省通州市刘桥中学 226363 吴 锋 函数是数量化地表达变化与对应思想 的数学工具 通过数或形定量地描述变量之 间的对应关系 在一次函数中 利用图表分析 法可帮助同学们解决好一类最优化方案的选 择的实际问题 1 调运方案最优化问题 人教版八年级教材一次函数应用部分有 一道调运问题 题目如下 例1 A 城有肥料 200 吨 B 城有肥料 300 吨 现要把这些肥料全部运往 C D 两 乡 从 A 城往C D 两乡运肥料的费用分别为 每吨 20元和 25元 从 B 城往C D 两乡运肥 料的费用分别为每吨 15 元和 24 元 现 C 乡 需要肥料 240吨 D 乡需要肥料 260 吨 怎样 调运总运费最少 评析 此题的特点是涉及数据多 关系 交错繁杂 必须理清思路 抓住头绪 方能解 决好问题 教材在分析这一问题时 是通过列 表方式对题中数据进行整理 并采用函数形 式进行解答 其实 在教学过程中 如果能再 结合相关示意图 并把相关数据一一列举到 图中 达到另一种意义上的 数 形 结合 可直观形象的去理解各数据的实际意义 起 到提纲挈领的作用 通过下图 A 城 B 城与C 乡 D 乡的供 需关系一目了然 图中的箭头指向可看作是 肥料的走向去处 A B 城到 C D 乡的运费 单价也是一清二楚 然后 设从 A 城运往 C 乡肥料量为x 吨 并根据供需量将其它各线 路上的运量用含字母 x 的式子一一表示 出 在计算总运费时 只需将各条线路上的运 费单价与所运肥料吨数相乘 最后相加即可 当求出 x 的值后 可结合上表回答具体调运 方案 肥料的数量及走向变得明朗清晰 具体 解题过程如下 解 设总运费为 y 元 A 城运往C 乡的 肥料量为 x 吨 则运往 D 乡的肥料量为 200 x 吨 B 城运往C D 乡的肥料量分别为 240 x 吨与 60 x 吨 由题意可得 y 20 x 25 200 x 15 240 x 24 60 x 化简得 y 4x 10400 0 x 200 当 x 0 时 y 有最小值是 10400 因此 从 A 城运往C 乡 0 吨 运往 D 乡 200 吨 从 B 城运往C 乡240吨 运往 D 乡60 吨 此时 总运费最少 总运费最小值为 10400元 与之相类似 同属调运问题的还有一道 习题 如 例 2 某公司在 A B 两地分别有库存 机器 16 台和 12 台 现要运往甲 乙两地 其 中甲地15 台 乙地13台 从 A 地运一台到甲 地的运费为500元 到乙地为 400 元 从 B 地 运一台到甲地的运费为300元 到乙地为600 元 公司应设计怎样的调运方案 能使这些机 器的总运费最省 评析 初看这道题与前例几乎没有区 36中学数学杂志 初中 2006 年第 6 期 别 但如果将调运示意图画出 就能发现一个 决定性因素的变化 自变量取值范围的确定 不像例 1 那么直接 先画图如下 从图中容易看出 四地总的供需平衡 当 设从 A 地运x 台机器到甲地 则各线路 的运费 运量变得明了 因而当 设总运费为 y 元 后 根据示意图 参照前例的分析 就可 得到关系式 y 500 x 400 16 x 300 15 x 600 x 3 化简即 y 400 x 9100 本来题目解决到这儿 若想总 运费最省 只需取出 x 的最小值 但问题就在 这儿 自变量x 的取值范围是什么呢 是不是 0 x 16 显然不是 因为甲地只要 15 台 那是不是 0 x 15 其实也不是 要 解决这个问题 结合示意图就方便了许多 注 意到 A 地的供应量大于甲 乙地的需求量 在这种情况下 应由需求量来确定 x 的取值 范围 以小为准 例 1 供小于求 不存在矛 盾 因而得到不等式组 x 15 16 x 13 可求 得 3 x 15 此时也就可根据实际取 x 3 而非想当然的 x 0 求得 y 最小 值为 10300 元 具体解题过程可参照前例 2 原料使用最优化问题 在人教版八年级教师用书上 还出现了 一道原料使用的问题 这类题型近年中考中 也时有出现 题目如下 例3 某服装厂现有 A 种布料 70m B 种布料 52m 现计划用这两种布料生产 M N 两种型号的时装80套 已知做一套M 型号的 时装需要 A 种布料0 6m B 种布料0 9m 可 获利45元 做一套N型号的时装需要 A 种布 料 1 1m B 种布料0 4m 可获利 50元 若设 生产 N 型号的时装套数为 x 用这批布料生 产这两种型号的时装所获的总利润为 y 元 1 求y 与x 的函数关系式 并求出自变量 x 的取值范围 2 该服装厂在生产这批时装 中 当生产 N 型号的时装多少套时 所获利 润最大 最大利润是多少 评析 虽然题目看起来与前面的调运 问题联系不大 但这道题中同样也出现了较 多量及数据 因而同样可利用图表来整理数 据 而且也方便易行 对于第一个问题的函数 关系 根据题中已设好的未知数及相关条件 易得 y 45 80 x 50 x 化简即 y 5x 3600 这道题的难点在于确定自变量 x 的取值范围 对于这个问题 可用两种方法 进行分析 分析方法一 列表法 每套时装 用料 80 x 套 M 型时装 x 套 N 型时装 总用料量 A 种布料 共 70m 0 61 10 6 80 x 1 1x B 种布料 共 52m 0 90 40 9 80 x 0 4x 上表格形式简单 内容清晰 完成表格 并不困难 重要的是让学生理解求 x 范围的 关键在于两种型号的时装每种布料用量和不 能超过所提供的布料 由此得出两个不等式 0 6 80 x 1 1x 70 0 9 80 x 0 4x 52 解两个不等式即可求出 x 的取 值范围为 40 x 44 其实到这里问题也 就基本解决了 因为第二个问题可由刚才的 结论直接求得 分析方法二 画图法 和例 1 相比 这个示意图在结构上更为 简洁 每种型号的时装都用到两种布料 图中 箭头指向是该布料的使用情况 如 由 A 种 布料引出的两根箭头表示A 种布料分别用于 M 型时装每套 0 6m 用于 N 型时装每套 1 37中学数学杂志 初中 2006 年第 6 期 1m 而 M 型时装共生产 80 x 套 这样 A 种布料一共使用了 0 6 80 x 1 1x m 同理可得 B 种布料一共用了 0 9 80 x 0 4x m 通过这个示意图也很容易求出 x 的取值范围 具体解题过程如下 解 1 由题意得 y 45 80 x 50 x 化简可得 y 5x 3600 又 0 6 80 x 1 1x 70 0 9 80 x 0 4x 解之得 40 x 44 2 当 x 44时 y 5 44 3600 3820 所以当生产N 型号的时装44 套时 所获 利润最大 最大利润是 3820元 以上例题都涉及到初步的数学建模思 想 图表分析法只是其中冰山一角 新教材较 为倾向这类生活中的实际问题的解决 一方 面是为进一步突出函数数学模型应用的广泛 性和有效性 另一方面使同学们能在解决实 际问题的情境中运用所学数学知识 进一步 提高分析问题和解决问题的综合能力 如何将小数化为分数 山东省莒南县路镇一中 276600 李平升 大家知道 将一个分数化为小数 只要 用分子除以分母求商就可以了 那么怎样把 小数化为分数呢 1 有限小数化为分数 1 如果一个纯有限小数的位数是 n 通 常可先化分子为小数点后面的数字 分母为 10n的形式 然后再把这个分数化为最简分 数 例如 0 35 35 100 7 20 2 如果一个有限小数含有整数部分 小数部分的位数也为 n 则可把分子写成整 数 10n加小数点后面的数字 分母仍为10n 的形式 再把这个分数化为最简形式 例如 2 54 2 100 54 100 254 100 127 50 也可以先 把小数部分化为分数 再加上整数部分写成 带分数的形式 例如 2 54 2 27 50 2 循环小数化为分数 1 如果一个纯循环小数的循环节的位 数是 n 则可以按下列步骤化为分数 先化为 这样一个分数其分母是 n 个 9 组成的 n 位 数 分子是一个循环节组成的多位数 然后把 这个分数化成最简分数 例如 0 618618618 618 999 206 333 一 般 地 如 0 333 3 9 1 3 0 44