理论力学习题答案-谢传峰、王琪-高等教育出版社.pdf

1 静力学部分静力学部分 1 3 试画出图示各结构中构件 AB 的受力图 FAx FA y FB a a FA FB FB FD FD FBx FBy FBx FC FB FC FBy PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 2 1 4 试画出两结构中构件 ABCD 的受力图 1 5 试画出图 a 和 b 所示刚体系整体合格构件的受力图 1 5a 1 5b FAx FA y FD FBy FA FBx FB FA FAx FA y FDx FDy W TE FCx FC y W FAx FA y FBx FB y FCx FC y FDy FBx FBy TE N FB FD FA N FA FB FD PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 3 1 8 在四连杆机构的 ABCD 的铰链 B 和 C 上分别作用有力 F1和 F2 机构在图示位置平衡 试求二力 F1和 F2之间的关系 解 杆 AB BC CD 为二力杆 受力方向分别沿着各杆端点连线的方向 解法解法 1 解析法解析法 假设各杆受压 分别选取销钉 B 和 C 为研究对象 受力如图所示 由共点力系平衡方程 对 B 点有 0 x F 045cos 0 2 BC FF 对 C 点有 0 x F 030cos 0 1 FFBC 解以上二个方程可得 221 63 1 3 62 FFF 解法解法 2 几何法几何法 分别选取销钉 B 和 C 为研究对象 根据汇交力系平衡条件 作用在 B 和 C 点上的力构成封闭的力多 边形 如图所示 对 B 点由几何关系可知 0 2 45cos BC FF 对 C 点由几何关系可知 0 1 30cosFFBC 解以上两式可得 21 63 1FF 2 3 在图示结构中 二曲杆重不计 曲杆 AB 上作用有主动力偶 M 试求 A 和 C 点处的约束力 解 BC 为二力杆 受力如图所示 故曲杆 AB 在 B 点处受到约束力的方向沿 BC 两点连线的方向 曲 FAB FBC FCD 60o F1 30o F2 FBC 45o F2 FBC FAB B 45o y x FCD C 60o F1 30o FBC x y 0 45 0 30 FB PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 4 杆 AB 受到主动力偶 M 的作用 A 点和 B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆 AB 保持平衡 AB 受力如图所示 由力偶系作用下刚体的平衡方程有 设力偶逆时针为正 0 M 0 45sin 10 0 MaFA a M FA354 0 其中 3 1 tan 对 BC 杆有 a M FFF ABC 354 0 A C 两点约束力的方向如图所示 2 4 四连杆机构在图示位置平衡 已知 OA 60cm BC 40cm 作用在 BC 上力偶的力偶矩 M2 1N m 试 求作用在 OA 上力偶的力偶矩大小 M1和 AB 所受的力 AB F 各杆重量不计 解 机构中 AB 杆为二力杆 点 A B 出的约束力方向即可确定 由力偶系作用下刚体的平衡条件 点 O C 处的约束力方向也可确定 各杆的受力如图所示 对 BC 杆有 0 M 030sin 2 0 MCBFB 对 AB 杆有 AB FF 对 OA 杆有 0 M 0 1 AOFM A 求解以上三式可得 mNM 3 1 NFFF COAB 5 方向如图所示 2 6 等边三角形板 ABC 边长为 a 今沿其边作用大小均为 F 的力 321 FFF 方向如图 a b 所示 试 分别求其最简简化结果 FB FC FA FO O FA FB FB FC C x y FR MA FR FR d y PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 5 解 2 6a 坐标如图所示 各力可表示为 jFiFF rrr 2 3 2 1 1 iFF rr 2 jFiFF rrr 2 3 2 1 3 先将力系向 A 点简化得 红色的 jFiFFR rrr 3 kFaMA rr 2 3 方向如左图所示 由于 AR MF rr 可进一步简化为一个不过 A 点的力 绿色的 主矢不变 其作 用线距 A 点的距离ad 4 3 位置如左图所示 2 6b 同理如右图所示 可将该力系简化为一个不过 A 点的力 绿色的 主矢为 iFFR rr 2 其作用线距 A 点的距离ad 4 3 位置如右图所示 简化中心的选取不同 是否影响简化中心的选取不同 是否影响最后最后的简化结果 的简化结果 2 13 图示梁 AB 一端砌入墙内 在自由端装有滑轮 用以匀速吊起重物 D 设重物重为 P AB 长为 l 斜绳与铅垂方向成 角 试求固定端的约束力 法法 1 解 整个结构处于平衡状态 选择滑轮为研究对象 受力如图 列平衡方程 坐标一般以水平向右为 x 轴正向 竖直向上为 y 轴正向 力偶以逆时针为正 0 x F 0sin Bx FP 0 y F 0cos PPFBy 选梁 AB 为研究对象 受力如图 列平衡方程 0 x F 0 BxAx FF 0 y F 0 ByAy FF 0 A M 0 lFM ByA P B FBx FBy P MA FBx FBy FAx FA y PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 6 求解以上五个方程 可得五个未知量 AByBxAyAx MFFFF 分别为 sinPFF BxAx 与图示方向相反 cos1 PFF ByAy 与图示方向相同 lPMA cos1 逆时针方向 法法 2 解 设滑轮半径为 R 选择梁和滑轮为研究对象 受力如图 列平衡方程 0 x F 0sin PFAx 0 y F 0cos PPFAy 0 A M 0 2 tan sin cos R PRlPRlPM A 求解以上三个方程 可得 AAyAx MFF 分别为 sinPFAx 与图示方向相反 cos1 PFAy 与图示方向相同 lPMA cos1 逆时针方向 2 18 均质杆 AB 重 G 长 l 放在宽度为 a 的光滑槽内 杆的 B 端作用着铅垂向下的力 F 如图所示 试求杆平衡时对水平面的倾角 解 选 AB 杆为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 A M 0coscos 2cos lF l G a ND 0 y F 0cos FGND 求解以上两个方程即可求得两个未知量 D N 其中 3 1 2 2 arccos lGF aGF 未知量不一定是力 未知量不一定是力 2 27 如图所示 已知杆 AB 长为 l 重为 P A 端用一球铰固定于地面上 B 端用绳索 CB 拉住正好 靠在光滑的墙上 图中平面 AOB 与 Oyz 夹角为 绳与轴 Ox 的平行线夹角为 已知 NPmcma o 200 45 4 3 tan 4 0 7 0 试求绳子 MA P FAx FA y P A NA ND D PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 7 的拉力及墙的约束力 解 选杆 AB 为研究对象 受力如下图所示 列平衡方程 0 y M 0tansincostan 2 1 cFcFcP BCBC NFBC6 60 0 x M 0sin 2 1 aFcFaP BCB NFB100 由 0 y F 和 0 z F 可求出 AzAy FF 平衡方程 0 x M 可用来校核 思考题 思考题 对该刚体独立的平衡方程数目是几个 2 29 图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑 连接处皆为铰链 已知力F作用在平面 BDEH 内 并与对角线 BD 成 o 45角 OA AD 试求各支撑杆所受的力 解 杆 1 2 3 4 5 6 均为二力杆 受力方向沿两端点连线方向 假设各杆均受压 选板 ABCD 为研 究对象 受力如图所示 该力系为空间任意力系 采用六矩式平衡方程 0 DE M 045cos 0 2 F 0 2 F 0 AO M 045cos45cos45cos 000 6 aFaF FF 2 2 6 受拉 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 8 0 BH M 045cos45cos 0 6 0 4 aFaF FF 2 2 4 受压 0 AD M 045sin45cos 00 61 aFaFaF FF 2 21 1 受压 0 CD M 045sin 0 31 aFaFaF FF 2 1 3 受拉 0 BC M 045cos 0 453 aFaFaF 0 5 F 本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程 但求解代数方程组非常麻烦 类似本题的情况 采用六矩式方程比较方便 适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量 避免求解联立方程保证一个方程求解一个未知量 避免求解联立方程 2 31 如图所示 欲转动一置于 V 形槽中的棒料 需作用一力偶 力偶矩 cmNM 1500 已知棒 料重 NP400 直径 cmD25 试求棒料与 V 形槽之间的静摩擦因数 s f 解 取棒料为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 0 0 O y x M F F 0 2 045sin 045cos 21 1 0 2 2 0 1 M D FF NpF NpF 补充方程 22 11 NfF NfF s s 五个方程 五个未知量 s fNFNF 2211 可得方程 0222 2 MfDpfM SS 解得 491 4 223 0 21 SS ff 当 491 4 2 S f 时有 0 1 2 1 2 2 2 1 忽略板重 试求铰链支座 A 及 B 的约束力 解 取整体为研究对象 由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零 因此有 0 A M 0 MMFM BA 即B F 必过 A 点 同理可得A F 必过 B 点 也就是A F 和B F 是大小相等 方向相反且共线的一对力 如图所示 取板 AC 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 C M 045cos45sin 00 MbFaF AA 解得 ba M FA 2 方向如图所示 3 20 如图所示结构由横梁BCAB 和三根支承杆组成 载荷及尺寸如图所示 试求 A 处的约束力及 杆 1 2 3 所受的力 解 支撑杆 1 2 3 为二力杆 假设各杆均受压 选梁 BC 为研究对象 受力如图所示 其中均布载荷 可以向梁的中点简化为一个集中力 大小为 2qa 作用在 BC 杆中点 列平衡方程 0 B M 0245sin 0 3 MaqaaF 2 2 3 qa a M F 受压 选支撑杆销钉 D 为研究对象 受力如右图所示 列平衡方程 0 x F 045cos 0 31 FF qa a M F2 1 受压 0 y F 045sin 0 32 FF 2 2 qa a M F 受拉 选梁 AB 和 BC 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 FA FB FCx FCy FBx FBy F3 D F3 F2 F1 x y FAx FAy F3 F2 MA PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 13 P FAx FAy N1 N2 N1 T 0 x F 045cos 0 3 FFAx 2 qa a M FAx 与假设方向相反 0 y F 0445sin 0 32 qaPFFFAy qaPFAy4 0 A M 0345sin242 0 32 MaFaqaaPaFMA MPaqaMA 24 2 逆时针 3 21 二层三铰拱由 DGBCAB 和EG四部分组成 彼此间用铰链连接 所受载荷如图所示 试求 支座 BA 的约束力 解 选整体为研究对象 受力如右图所示 列平衡方程 0 A M 022 aFaFBy FFBy 0 B M 022 aFaFAy FFAy 0 x F 0 FFF BxAx 1 由题可知杆 DG 为二力杆 选 GE 为研究对象 作用于其上的力汇交于点 G 受力如图所示 画出力的三角形 由几何关系可得 FFE 2 2 取 CEB 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 C M 045sin 0 aFaFaF EByBx 2 F FBx 代入公式 1 可得 2 F FAx 3 24 均质杆 AB 可绕水平轴 A 转动 并搁在半径为r的光滑圆柱上 圆柱放在光滑的水平面上 用 不可伸长的绳子 AC 拉在销钉 A 上 杆重 16N rACrAB2 3 试求绳的拉力和杆 AB 对销钉 A 的作用力 FAx FAy FBx FBy FE FG FE FG F FCy FCx FE FBy FBx PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 14 解 取杆 AB 为研究对象 设杆重为 P 受力如图所示 列平衡方程 0 A M 060cos 2 3 3 0 1 r PrN 93 6 1 NN 0 x F 060sin 0 1 NFAx 6 NFAx 0 y F 060cos 0 1 PNFAy 5 12NFAy 取圆柱 C 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 x F 030cos30cos 00 1 TN 93 6NT 注意 由于绳子也拴在销钉上 因此以整体为研究对象求得的注意 由于绳子也拴在销钉上 因此以整体为研究对象求得的 A 处的约束力不是杆处的约束力不是杆 AB 对销钉的作对销钉的作 用力 用力 3 27 均质杆 AB 和 BC 完全相同 A 和 B 为铰链连接 C 端靠在粗糙的墙上 如图所示 设静摩擦因 数 353 0 s f 试求平衡时 角的范围 解 取整体为研究对象 设杆长为 L 重为 P 受力如图所示 列平衡方程 0 A M 0cos 2 2sin2 L PLFN tan2 P FN 1 取杆 BC 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 B M 0coscos 2 sin LF L PLF sN PFS 2 补充方程 Nss FfF 将 1 式和 2 式代入有 2 tan s f 即 0 10 3 30 如图所示机构中 已知两轮半径量 cmR10 各重 NP9 杆 AC 和 BC 重量不计 轮与地 面间的静摩擦因数 2 0 s f 滚动摩擦系数 cm1 0 今在 BC 杆中点加一垂直力F 试求 平 衡时F的最大值 max F 当 max FF 时 两轮在 D 和 E 点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩 解 取整体为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 0 y x F F 02 0 PFFF FF NEND SESD 由题可知 杆 AC 为二力杆 作用在杆 BC 上的力有主动力F 以及 B 和 C 处的约束力B F 和 AC F FAx FAy FN Fs P P FBx FBy FN Fs P FAC PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 15 由三力平衡汇交 可确定约束力B F 和 AC F 的方向如图所示 其中 3 1 tan 杆 AC 受压 取轮 A 为研究对象 受力如图所示 设 AC F 的作用线与水平面交于 F 点 列平衡方程 0 A M 0 DSD MRF 0 F M 0 DND MRPF 取轮 B 为研究对象 受力如图所示 设B F 的作用线与水平面交于 G 点 列平衡方程 0 B M 0 RFM SEE 0 G M 0tan RFPM NEE 解以上六个方程 可得 FPFND 4 1 FPFNE 4 3 FFF SESD 4 1 FRMM ED 4 1 若结构保持平衡 则必须同时满足 NDD FM NEE FM NDsSD FfF NEsSE FfF 即 P Rf Pf f Pf P R P R F s s s s 4 31 4 1 4 3 4 4 min 因此平衡时F的最大值 36 0 max F 此时 091 0 NFF SESD 91 0cmNMM ED 3 35 试用简捷的方法计算图中所示桁架 1 2 3 杆的内力 解 由图可见杆桁架结构中杆 CF FG EH 为零力杆 用剖面 SS 将该结构分为两部分 取上面部分为 研究对象 受力如图所示 列平衡方程 FAC FND FSD MD F FNE FSE ME FB G F2 F3 F1 S FG FH S PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 16 0 C M 0346cos 1 GH FFF 58 14 1 kNF 受拉 0 x F 0sin 31 H FFF 3 31 3 F 受拉 0 y F 0cos 12 G FFF 67 41 2 F 受压 3 38 如图所示桁架中 ABCDEG 为正八角形的一半 GBGCAEAD 各杆相交但不连接 试求杆 BC 的内力 解 假设各杆均受压 取三角形 BCG 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 x F 0 CD FF FFCD 受压 取节点 C 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 0 y x F F 0sin45sin 0cos45cos 0 0 CGBC CGCDBC FF FFF 其中 22 21 tan 解以上两个方程可得 FFBC586 0 受压 3 40 试求图中所示桁架中杆 1 和 2 的内力 解 取整体为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 A M 0322 aFaFaFB FFB5 2 FG FEG FCD FAB FBC FCD FCG C FAy FAx FB F1 F3 F4 F5 F2 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 17 用截面 S S 将桁架结构分为两部分 假设各杆件受拉 取右边部分为研究对象 受力如图所示 列 平衡方程 0 C M 03 2 aFaFaFB FF 6 7 2 受拉 0 X F 02 21 FFF FF 6 5 1 受拉 4 1 力铅垂地作用于杆 AO 上 11 5 6DOCOBOAO 在图示位置上杠杆水平 杆 DC 与 DE 垂 直 试求物体 M 所受的挤压力M F 的大小 解 1 选定由杆 OA O1C DE 组成的系统为研究对象 该系统具有理想约束 作用在系统上的主动力为 M FF 2 该系统的位置可通过杆 OA 与水平方向的夹角 完全确定 有一个自由度 选参数 为广义坐标 3 在图示位置 不破坏约束的前提下 假定杆 OA 有一个微小的转角 相应的各点的虚位移如下 AOrA BOrB COrC 1 DOrD 1 CB rr ED rr rA rB rD PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 18 代入可得 EA rr 30 4 由虚位移原理 0 i FW 有 0 30 EMEMA rFFrFrF 对任意 0 E r 有 FFM30 物体所受的挤压力的方向竖直向下 4 4 如图所示长为 l 的均质杆 AB 其 A 端连有套筒 又可沿铅垂杆滑动 忽略摩擦及套筒重量 试 求图示两种情况平衡时的角度 解 4a 1 选杆 AB 为研究对象 该系统具有理想约束 设杆重为 P 作用在杆上的主动力为重力 2 该系统的位置可通过杆 AB 与 z 轴的夹角 完全确定 有一个自由度 选参数 为广义坐标 由几何关系可知 tan a h 杆的质心坐标可表示为 cos 2tan la zC 3 在平衡位置 不破坏约束的前提下 假定杆 AB 逆时针旋转一个微小的角度 则质心 C 的虚 位移 sin 2 sin 2 la zC 4 由虚位移原理 0 i FW 有 0 sin 2 sin 2 la PzP C 对任意 0 有 0sin 2 sin 2 la 即杆 AB 平衡时 3 1 2 arcsin l a PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 19 解 4b 1 选杆 AB 为研究对象 该系统具有理想约束 设杆重为 P 作用在杆上的主动力为重力 2 该系统的位置可通过杆 AB 与 z 轴的夹角 完全确定 有一个自由度 选参数 为广义坐标 由几何关系可知 sin R zA 杆的质心坐标可表示为 cos 2sin lR zC 3 在平衡位置 不破坏约束的前提下 假定杆 AB 顺时针旋转一个微小的角度 则质心 C 的虚 位移 sin 2 cos sin 2 lR zC 4 由虚位移原理 0 i FW 有 0 sin 2 cos sin 2 lR PzP C 对任意 0 有 0sin 2 cos sin 2 lR 即平衡时 角满足 0sincos2 3 lR 4 5 被抬起的简化台式打字机如图所示 打字机和搁板重 P 弹簧原长为2 a 试求系统在 角保持平 衡时的弹簧刚度系数值 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 20 解 1 选整个系统为研究对象 此系统包含弹簧 设弹簧力21 F F 且21 FF 将弹簧力视为主动 力 此时作用在系统上的主动力有21 F F 以及重力P 2 该系统只有一个自由度 选定 为广义坐标 由几何关系可知 sin azz BA 3 在平衡位置 不破坏约束的前提下 假定有一个微小的虚位移 则质心的虚位移为 cosazzz BAC 弹簧的长度2 sin2 al 在微小虚位移 下 2 cosal 4 由虚位移原理 0 i FW 有 0 2 coscos 22 aFPalFzP C 其中 22 sin2 2 a akF 代入上式整理可得 0 2 2 cossin2 cos2 a kaP 由于 0 a 对任意 0 可得平衡时弹簧刚度系数为 2 cossin2 cos2 a P k 4 6 复合梁 AD 的一端砌入墙内 B 点为活动铰链支座 C 点为铰链 作用于梁上的力 kNFkNFkNF3 4 5 321 以及力偶矩为 mkNM 2 的力偶 如图所示 试求固定端 A 处 的约束力 解 解除 A 端的约束 代之以 AAyAx MFF 并将其视为主动力 此外系统还受到主动力 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 21 MFFF 321 的作用 系统有三个自由度 选定 A 点的位移AA yx 和梁 AC 的转角 为广义坐 标 1 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0 0 0 AA yx 如图所示 由虚位移原 理 0 i FW 有 0 AAx xF 对任意 0 A x 可得 0 Ax F 2 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0 0 0 AA yx 如下图所示 由虚位移 原理 0 i FW 有 0 332211 MyFyFyFyF AAy 1 由几何关系可得各点的虚位移如下 AC yyyy 31 AC yyy 3 1 3 1 2 AC yy 3 1 3 1 代入 1 式 0 3 1 3 1 321 AAy yMFFFF 对任意 0 A x 可得 4 kNFAy 方向如图所示 3 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0 0 0 AA yx 如上图所示 由虚位移 原理 0 i FW 有 0 332211 MyFyFyFM A 2 有几何关系可得各点的虚位移如下 2 1 y 3 3 C yy 2 y 代入 2 式 0 32 321 MFFFM A 对任意 0 可得 7mkNM A 逆时针方向 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 22 4 7 图示结构上的载荷如下 mkNq 2 力 kNF4 1 力 kNF12 2 其方向与水平成 o 60 角 以及力偶 其力偶矩为 mkNM 18 试求支座处的约束力 解 将均布载荷简化为作用在 CD 中点的集中载荷 3 F 大小为 q6 1 求支座 B 处的约束力 解除 B 点处的约束 代之以力B F 并将其视为主动力 系统还受到主动力 MFFF 321 的作用 如图所示 在不破坏约束的前提下 杆 AC 不动 梁 CDB 只能绕 C 点转动 系统有一个自由度 选转 角 为广义坐标 给定虚位移 由虚位移原理 0 i FW 有 0150cos45cos 33 0 22 0 yFyFMrF BB 1 各点的虚位移如下 26 B r 9 2 y 3 3 y 代入 1 式整理可得 0 3 2 39 6 32 FFMFB 对任意 0 可得 6 18kNFB 方向如图所示 2 求固定端 A 处的约束力 解除 A 端的约束 代之以 AAyAx MFF 并将其视为主动力 系统还受到主动力 MFFF 321 的作 用 系统有三个自由度 选定 A 点的位移AA yx 和梁 AC 的转角 为广义坐标 2a 求 Ax F PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 23 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0 0 0 AA yx 此时整个结构平移 如上图所 示 由虚位移原理 0 i FW 有 0120cos 0 2211 xFxFxF AAx 2 各点的虚位移如下 A xxx 21 代入 2 式整理可得 0 5 0 21 AAx xFFF 对任意 0 A x 可得 2 kNFAx 方向如图所示 2b 求 Ay F 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0 0 0 AA yx 此时梁 AC 向上平移 梁 CDB 绕 D 点转动 如上图所示 由虚位移原理 0 i FW 有 030cos 0 2233 MyFyFyF AAy 3 各点的虚位移如下 AC yyyy 2 1 2 1 32 A yy 6 1 3 1 2 代入 3 式整理可得 0 6 1 4 3 2 1 23 AAy yMFFF 对任意 0 A y 可得 8 3kNFAy 方向如图所示 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 24 2c 求A M 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0 0 0 AA yx 此时梁 AC 绕 A 点转动 梁 CDB 平移 如上图所示 由虚位移原理 0 i FW 有 0120cos 0 2211 xFxFM A 4 各点的虚位移如下 3 1 x 6 2 C xx 代入 4 式整理可得 0 33 21 FFMA 对任意 0 可得 24mkNM A 顺时针方向 4 8 设桁架有水平力1 F 及铅垂力2 F 作用其上 且 KEDKBECEDCAD o 30 试求杆 1 2 和 3 所受的力 解 假设各杆受拉 杆长均为 a 1 求杆 1 受力 去掉杆 1 代之以力1 P 系统有一个自由度 选 AK 与水平方向的夹角 为广义坐标 如上图所示 在不破坏约束的条件下给定一组虚位移 此时三角形 ADK 形状不变 绕 A 点转动 因此有 KArDAr KD 且 arar KD 3 滑动支座 B 处只允许水平方向的位移 而杆 BK 上 K 点虚位移沿铅垂方向 故 B 点不动 三角形 BEK 绕 B 点旋转 EBrE 且 arr DE 对 刚 性 杆 CD 和 杆 CE 由 于 ECrDCr ED 因 此 0 C r 由 虚 位移 原 理 0 i FW 有 060cos60cos 0 1 0 11 ED rPrPF 代入各点的虚位移整理可得 0 2 11 aPF 对任意 0 可得 2 1 1 F P 受压 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 25 2 求杆 2 受力 去掉杆 2 代之以力2 P 系统有一个自由度 选 BK 与水平方向的夹角 为广义坐标 如上图所示 在不破坏约束的条件下给定一组虚位移 杆 AK 绕 A 点转动 因此有 KArK 且 arK3 同理可知 B 点不动 三角形 BEK 绕 B 点旋转 EBrE 且 arE arr DE 杆 AD 绕 A 点转动 DArD 由刚性杆 DE 上点 E 的虚位移可确定 D 点位移方向如图所示 且 arr ED 同理可知 0 C r 由虚位移原理 0 i FW 有 0120cos150cos120cos 0 2 0 2 0 1 KDD rPrPrF 代入各点的虚位移整理可得 0 32 21 aPF 对任意 0 可得 6 3 1 2 F P 受压 3 求杆 3 受力 去掉杆 3 代之以力 3 P 系统有一个自由度 选 AK 与水平方向的夹角 为广义坐标 如上图所示 在不破坏约束的条件下给定一组虚位移 三角形 ADK 绕 A 点转动 KArDAr KD 且 arar KD 3 同理可知 B 点不动 EBrE 且 arr DE 0 C r 由虚位移原理 0 i FW 有 0120cos150cos60cos 0 3 0 3 0 1 KED rPrPrF 代入各点的虚位移整理可得 0 32 31 aPF PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 26 对任意 0 可得 6 3 1 3 F P 受拉 4 12 杆长 2b 重量不计 其一端作用铅垂常力F 另一端在水平滑道上运动 中点连接弹簧 如图 所示 弹簧刚度系数为 k 当 0 y 时为原长 不计滑块的重量和摩擦 试求平衡位置y 讨论此平 衡位置的稳定性 解 F 大小和方向不变 常力也是有势力 取杆和弹簧构成的系统为研究对象 该系统为保守系统 有 一个自由度 选 为广义坐标 如图所示 取 0 为零势能位置 则系统在任意位置的势能为 F VVV 弹 cos1 2 cos1 2 1 cos22 cos 2 1 22 2 Fbkb bbFbbk 由平衡条件 0 d dV 可得 0sin 2 cos1 Fkbb 有 0sin 和 02 cos1 Fkb 即 0 和 kb F2 1cos 也就是 0 y 和 2 FkbF k y 两个平衡位置 为判断平衡的稳定性 取势能 V 的二阶导数 2coscos 2 2 2 2 kbbFkb d Vd 当 0 时 02 2 2 时 0 2 2 d Vd 即 2 FkbF k y 是稳定平衡位置 2 当 kb F2 1cos 且 Fkb 时 0 2 2 d Vd 即 2 FkbF k y 是不稳定平衡位置 4 15 半径为r的半圆住在另一半径为R的半圆柱上保持平衡 如图所示 试讨论对无滑动的滚动扰 动的稳定性 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 27 解 取半径为 r 的半圆柱为研究对象 圆心为 C 半圆 柱作纯滚动 有一个自由度 取两个半圆心连线与 y 轴夹角 为广义坐标 作用在半圆柱上的主动力为重 力 系统为保守系统 如图所示 其中 3 4r h 由 于半圆柱作纯滚动 有 Rr 1 取坐标原点为零势能位置 则半圆柱在任意位置的势能 为 cos 3 4 cos r rRmgmgzV C 代入 1 式有 cos 3 4 cos r rRr rRmgV sin sin 3 4 r rR rRmg d dV 由平衡条件 0 d dV 可得 0 为平衡位置 势能 V 的二阶导数 cos cos 3 4 2 2 r rR r rR rRmg d Vd 由上式可得当rR 1 4 3 0 是稳定的 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 28 动力学部分动力学部分 1 3 解 运动方程 tanly 其中 kt 将运动方程对时间求导并将 0 30 代入得 3 4 coscos 22 lklkl yv 9 38 cos sin2 2 3 2 lklk ya 1 6 证明 质点做曲线运动 所以质点的加速度为 nt aaa 设质点的速度为v 由图可知 a a v vy n cos 所以 y v va a n x y o a n a v y v PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 29 将 cvy 2 n v a 代入上式可得 c v a 3 证毕 1 7 证明 因为 n 2 a v v aa va sin n 所以 va 3 v 证毕 1 10 解 设初始时 绳索 AB 的长度为L 时刻t时的长度 为s 则有关系式 tvLs 0 并且 222 xls 将上面两式对时间求导得 0 vs xxs s 22 由此解得 x sv x 0 a a 式可写成 svxx 0 将该式对时间求导得 2 00 2 vvsxxx b 将 a 式代入 b 式可得 3 22 0 22 0 x lv x xv xax 负号说明滑块 A 的加速度向上 取套筒 A 为研究对象 受力如图所示 根据质点矢量形式的运动微分方程有 gFFamm N 将该式在 yx 轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程 t a y z o a n a x o v o v F N F gm y PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 30 N FFym Fmgxm sin cos 其中 2222 sin cos lx l lx x 0 3 22 0 y x lv x 将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得 2 3 22 0 1 x l x lv gmF 1 11 解 设 B 点是绳子 AB 与圆盘的切点 由于绳子相对圆盘无滑动 所以RvB 由于绳子始终处于 拉直状态 因此绳子上 A B 两点的速度在 A B 两点连线上的投影相等 即 cos AB vv a 因为 x Rx 22 cos b 将上式代入 a 式得到 A 点速度的大小为 22 Rx x RvA c 由于xvA c 式可写成 RxRxx 22 将该式两边平方可得 222222 xRRxx 将上式两边对时间求导可得 xxRxxRxxx 22322 22 2 将上式消去 x 2后 可求得 A x O A v A x O B v B R PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 31 222 42 Rx xR x d 由上式可知滑块 A 的加速度方向向左 其大小为 222 42 Rx xR aA 取套筒 A 为研究对象 受力如图所示 根据质点矢量形式的运动微分方程有 gFFamm N 将该式在yx 轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程 mgFFym Fxm N sin cos 其中 x Rx x R 22 cos sin 0 222 42 y Rx xR x 将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得 2 5 2 5 22 52 22 242 Rx xRm mgF Rx xRm F N 1 13 解 动点 套筒 A 动系 OC 杆 定系 机座 运动分析 绝对运动 直线运动 相对运动 直线运动 牵连运动 定轴转动 根据速度合成定理 rea vvv x A v A O N F B R gm F y a v e v r v PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 32 有 ea cosvv 因为 AB 杆平动 所以 vv a 由此可得 e cosvv OC 杆的角速度为 OA ve cos l OA 所以 l v 2 cos 当 0 45 时 OC 杆上 C 点速度的大小为 l av l av avC 2 45cos 02 1 15 解 动点 销子 M 动系 1 圆盘 动系 2 OA 杆 定系 机座 运动分析 绝对运动 曲线运动 相对运动 直线运动 牵连运动 定轴转动 根据速度合成定理有 r1e1a1 vvv r2e2a2 vvv 由于动点 M 的绝对速度与动系的选取无关 即 a1a2 vv 由上两式可得 r1e1 vv r2e2 vv a 将 a 式在向在 x 轴投影 可得 0 r2 0 e2 0 e1 30cos30sin30sinvvv 由此解得 sm b OMvvv 4 0 93 30cos 30sin 30tan 30tan 02 0 12 0 e1e2 0 r2 32 0 2e2 OMv smvvvvM 529 0 2 2r 2 e2a2 e1 v e2 v r2 v r1 v x PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 33 1 17 解 动点 圆盘上的 C 点 动系 O1A 杆 定系 机座 运动分析 绝对运动 圆周运动 相对运动 直线运动 平行于 O1A 杆 牵连运动 定轴转动 根据速度合成定理有 rea vvv a 将 a 式在垂直于 O1A 杆的轴上投影以及在 O1C 轴上投影得 0 e 0 a 30cos30cosvv 0 r 0 a 30sin30sinvv Rvv ae Rvv ra 5 0 2O1 e 1 R R C v 根据加速度合成定理有 C aaaaa r n e t ea b 将 b 式在垂直于 O1A 杆的轴上投影得 C aaaa 0n e 0t e 0 a 30sin30cos30sin 其中 2 a Ra 2 1 n e 2 Ra r1 2vaC 由上式解得 2 t e 1 12 3 2R a 1 19 解 由于 ABM 弯杆平移 所以有 MAMA aavv 取 动点 滑块 M 动系 OC 摇杆 定系 机座 a v e v r v a a t e a n e a r a C a a v e v r v PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 34 运动分析 绝对运动 圆周运动 相对运动 直线运动 牵连运动 定轴转动 根据速度合成定理 rea vvv 可求得 m s2222 ea bvvvv AM m s2 er bvv rad s 3 24 5 1 22 1 1 AO vA 根据加速度合成定理 C aaaaaa r n e t e n a t a 将上式沿 C a 方向投影可得 C aaaa t e 0n a 0t a 45sin45cos 由于 22 1 n a m s 3 16 la 2t e m s1 ba 2 r m s82 vaC 根据上式可得 2t a 231527 3 16 s m a 2 t a 1 rad s1610 l a 1 20 解 取小环 M 为动点 OAB 杆为动系 运动分析 绝对运动 直线运动 相对运动 直线运动 牵连运动 定轴转动 由运动分析可知点的绝对速度 相对速度和牵连速度的方向如图所示 其中 r r OMv2 60cos 0 e 根据速度合成定理 n a a r a t a a C a n e a t e a a v M O A B r v e v PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 35 rea vvv 可以得到 rrvv3260tan2tan 0 ea r v v4 60cos 0 e r 加速度如图所示 其中 2 0 2 2 e 2 60cos r r OMa 2 r 82 rvaC 根据加速度合成定理 C aaaa rea 将上式在 x 轴上投影 可得 C aaa coscos ea 由此求得 2 a 14 ra 1 21 解 求汽车 B 相对汽车 A 的速度是指以汽车 A 为参考系观察汽车 B 的速度 取 动点 汽车 B 动系 汽车 A Ox y 定系 路面 运动分析 绝对运动 圆周运动 相对运动 圆周运动 牵连运动 定轴转动 汽车 A 绕 O 做定轴转动 求相对速度 根据速度合成定理 rea vvv 将上式沿绝对速度方向投影可得 rea vvv 因此 aer vvv x C a a a M O A B r a e a O x y e v a v r v y n r a PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 36 其中 A A BB R v Rvvv ea 由此可得 m s 9 380 r BA A B vv R R v 求相对加速度 由于相对运动为圆周运动 相对速度的大小为常值 因此有 2 2 rn rr m s78 1 B R v aa 1 23 质量为m销钉 M 由水平槽带动 使其在半径为r的固定圆槽内运动 设水平槽以匀速v向上运 动 不计摩擦 求图示瞬时 圆槽作用在销钉 M 上的约束力 解 销钉 M 上作用有水平槽的约束力F和圆槽的约束力 O F 如图所示 由于销钉 M 的运动是给定 的 所以先求销钉的加速度 在利用质点运动微分方程求约束力 取销钉为动点 水平槽为动系 由运动分析可知销钉的速度图如图所示 根据速度合成定理有 rea vvv 由此可求出 coscos e a vv v 再根据加速度合成定理有 rea aaa 由于绝对运动是圆周运动 牵连运动是匀速直线平移 所以0 e a 并且上式可写成 r n a t a aaa 因为 2 22 an a cosr v r v a 所以根据上式可求出 3 2 n a t a cos sin tan r v aa 根据矢量形式的质点运动微分方程有 gFFaamm O n a t a 将该式分别在水平轴上投影 cos cossin n a t aO Faam x O M r O v gm O F M r O v gm F r a e v a v r v M r O n a a M r O t a a PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 37 由此求出 4 2 cosr mv FO 1 24 图示所示吊车下挂一重物 M 绳索长为l 初始时吊车与重物静止 若吊车从静止以均加速度a 沿水平滑道平移 试求重物 M 相对吊车的速度与摆角 的关系式 解 由于要求重物相对吊车的速度 所以取吊车为动系 重物 M 为动点 根据质点相对运动微分方 程有 er FgFa mm 将上式在切向量方向投影有 cosFsinmgmlmatr e 因为 ee mamaF d d d d d d d d tt 所以上式可写成 cossin d d mamgml 整理上式可得 dcosdsindagl 将上式积分 cag l sincos 2 2 其中c为积分常数 由初始条件确定 因为相对速度 lv r 上式可写成 cag l v sincos 2 2 r 初始时0 系统静止 0 ea vv 根据速度合成定理可知0 r v 由此确定gc 重物相 对速度与摆角的关系式为 a M t e a gm e F F PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 38 sin 1 cos 2 2 r aglv 1 26 水平板以匀角速度 绕铅垂轴 O 转动 小球 M 可在板内一光滑槽中运动 如图 7 8 初始时 小球相对静止且到转轴 O 的距离为 O R 求小球到转轴的距离为 O RR 时的相对速度 解 取小球为动点 板为动系 小球在水平面的受力如图所示 铅垂方向的力未画出 根据质点相 对运动微分方程有 C mFFFa er 将上式在 r v上投影有 cos d d e rt r F t v mma 因为 2 e mRF t R R v t v d d d d d d rr cos d d r v t R 所以上式可写成 cos d d cos 2 r r mR R v mv 整理该式可得 2r r d d R R v v 将该式积分有 cRv 222 r 2 1 2 1 初始时 O RR 0 r v 由此确定积分常数 22 2 1 O Rc 因此得到相对速度为 22 rO RRv 1 27 重为 P 的小环 M 套在弯成 2 cxy 形状的金属丝上 该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度 转动 如图所示 试求小环 M 的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力 R Ro O C F e F R Ro F r v O x y M x y M F e F P PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 39 解 解 取小环为动点 金属丝为动系 根据题意 相对平衡位置为0 r a 因为金属丝为曲线 所以 0 r v 因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置 小环受力如图所示 其中PFF e 分别为 约束力 牵连惯性力和小环的重力 根