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计算流体力学复习题1. 用待定系数法，用三点构造一阶导数值 的差分近似，这里、为已知的正整数。【解答】所求的差商近似，表达式应为通过泰勒展开，可有比较上式两边，得到确定系数、 的方程组，解得从而得到差商近似的表达式由于、，所以差分近似具有二阶精度。2.考虑对流方程 ，（1）用特征线法构造方程的单侧三点迎风格式；（2）分析这一格式的截断误差；（3）分析这一格式的格式粘性。【解答】（1）根据迎风原则，应选用 、 构造单侧三点迎风格式。记 ，则由三点插值公式，有所以，所求的差分格式为（2）将格式改写成通过泰勒展开，得到因此，格式的截断误差为由此可知，格式无条件相容并具有一阶精度。（3）由原方程，知 ， ， 所以取，有因此，格式粘性为零。3. 考虑方程 ，（1）用 Taylor 展开法推导方程的 Lax-Wendroff 格式；（2）将方程改写成守恒形式，并写出其守恒形式的 Lax 格式。【解答】（1）按时间自变量的泰勒展开由原方程， ，所以用中心差分近似上式中的一阶和二阶空间导数，并冻结系数，就得到Lax-Wendroff格式（2）将方程改写成守恒形式则守恒形式的 Lax 格式为4.考虑热传导方程 ，（1）证明下述三层隐式格式是条件相容的（2）分析下述两层格式的平均稳定性（）【解答】（1）通过泰勒展开，得到格式的截断误差判断相容性。当 ， 时，如果 ，才能有 ，所以格式是条件相容的。（2）记 ，将格式改写成设舍入误差 ，则有记，求出增长因子由 ，有即 和 。其中第一个不等式显然成立；第二个不等式当 ，即 时总是成立的，而当 时给出 。因 的最大值为1，故应有5. 用von Neumann方法分析下列差分格式的平均稳定性【解答】记 ，将格式改写成设舍入误差 ，则有增长因子6. 对守恒形式的双曲型方程 ，其两步格式的一般形式为（其中的 和 均为常数， ）证明：当（为常数）时该格式还原成 Lax-Wendroff 格式【解答】略。7. 考虑方程组 ，其中 ， ，构造此方程组的迎风格式。考虑三种情况： (1)；(2)；(3)。【解答】计算雅可比矩阵 的特征值，结果是 ，第一种情形： ，此时 ， ，迎风格式为第二种情形： ，此时 ， ，迎风格式为第三种情形： ，此时 ， 。为进行分裂，需求出两个特征值对应的特征向量 ， 于是，有矩阵 ，它的列，就是上述特征向量，即 ，其逆矩阵为 。此
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