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矢量运算 矢量的概念起源于对运动和力的研究 力和速度等物理量需要用其大小和方向来表示 依据事物自身的规律 按矢量运算规则运算的量叫矢量 大小为矢量的模 记为 长度为零的矢量叫令矢量 长度为1的矢量叫单位矢量 记单位矢量用来表示空间的方向 大小相等 方向相反的矢量互为负矢量 如与 一 物理中矢量总有它的作用点 不同作用点的矢量相互运算 甚至是没有意义的 一些矢量是可以经过平行移动移到一点上再作运算 这种矢量叫自由矢量 二 矢量的加法与数乘规则 1 2 3 加法交换律 加法结合律 数乘结合律 数乘分配律 4 矢量可由单位矢量与标量数的乘积 可移到一条直线上的矢量 三 直角坐标中的矢量 位矢和速度 为三坐标轴的单位矢量 矢量与三个轴的夹角为 的单位矢量 矢量的方向余弦是该矢量同方向的单位矢量的坐标 例求矢量的方向余弦 解 按坐标轴分解后的矢量可用三个标量表示和运算 质点的位矢和位移 点的位矢 位移 例已知一质点的位矢为 求质点轨迹 矢量的微商 速度 位移 如果极限存在 此极限就是矢量函数在自变量为时的微商 记为 注意 矢量的微商仍是矢量 质点位置函数的时变率即质点的速度 速度为矢量 速度的方向 位置函数空间曲线的任意点切线方向 四 矢量的点乘 标量积 点乘运算规则 3 点乘的分配律 点乘的常用性质还有 五 矢量的叉乘 矢量积 一 叉乘的运算规则 在物理中常有两个相互垂直的矢量相互作用 呈现出某些特殊效应 例如动量矩 力矩及运动电荷伴存的磁场等 叉乘是描述这类效应的矢量运算 叉乘用表示 其积为矢量 所以叫矢量积 若是交角为的两个矢量 则叉乘定义为 是由叉乘符号规定的 两矢量所在平面的右手系法线方向的单位矢量 右手系 将右手拇指伸直 其余四指并拢指向的方向 并沿的计算方向弯向 拇指所指的方向就是的方向 设想有以和为一对邻边的平行四边形 其面积可表为 则 叉乘之值是以两矢量为邻边构成的平行四边形的面积 叉乘的运算规则 1 叉乘的反交换律 2 叉乘与数乘的结合律 3 叉乘的分配律 4 叉
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