高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象学习导航学案.docx

2.1.4 函数的奇偶性-2.1.5 用计算机作函数的图象自主整理1.函数的奇偶性(1)定义:设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD且g(-x)=g(x),则称g(x)为偶函数.(2)分类:根据函数奇偶性的定义,函数可分为:是奇函数但不是偶函数;是偶函数但不是奇函数;是奇函数又是偶函数;既不是奇函数也不是偶函数.(3)图象的对称性质:如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数.2.用计算机图形技术作函数图象的指令步骤(1)给自变量x赋值;(2)给出计算法则,求对应的y值;(3)由x和对应的y值组成有序数对集合;(4)建立直角坐标系,并根据有序数对,在直角坐标系中作出对应的点集;(5)通过这些点集描出函数的图象.注意:只要函数的表达式已知,就能画出函数的图象.高手笔记1.在奇函数和偶函数的定义中,都要求xD,-xD,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.2.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有意义,那么一定有f(0)=0.这个结论可以当作一个定理来使用.但要注意,反之结论是不成立的.3.存在有既奇且偶的函数,例如f(x)=.当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时,容易产生“非奇非偶”的错觉,万万不可草率下结论.4.设f(x)、g(x)的定义域分别是D1、D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.5.奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间-b,-a上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间a,b,-b,-a(0ab)上有相同的最大(小)值.6.记忆口诀:奇函数,偶函数,函数奇偶看f.同号偶,异号奇,非奇非偶不离奇.对折偶,旋转奇,图象重合在一起.名师解惑1.应如何理解函数的奇偶性?剖析:(1)定义中“定义域内的任意一个x”即x是定义域内任意的,不可只对部分特殊值满足条件.如f(x)=x2,x(-2,2,f(-1)=f(1),f()=f(),f(2)虽然存在,但f(-2)无定义,故f(-2)=f(2)不成立,所以此时f(x)是无奇偶性的.(2)定义中“都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”即遍布定义域内的所有x都满足f(-x)等于f(x)或-f(x).(3)通过对定义归纳出函数奇偶性的以下几个性质,从而完整地认识函数的奇偶性:对称性:奇偶函数的定义域关于原点对称;整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立;可逆性:f(-x)=f(x)f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数;等价性:f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;可分性:根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数.2.应如何判断函数奇偶性?剖析:(1)根据函数奇偶性定义判断,其基本步骤为:先看定义域是否关于原点对称,若函数没有标明定义域,应先找到使函数有意义的x的集合,因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据,如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数既不是奇函数,也不是偶函数.如函数f(x)=x4+1,x-1,2.由于它的定义域不关于原点对称,当10时,-x0,此时f(-x)=-x1+(-x)=-x(1-x)=-f(x);当x0,此时f(-x)=-x1-(-x)=-x(1+x)=-f(x);当x=0时,-x=0,此时f(-x)=0,f(x)=0,即f(-x)=-f(x).综上,f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.绿色通道根据奇函数以及偶函数的定义,判断是不是有关系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),前者是偶函数,后者是奇函数;如果这两个都不成立,则是非奇非偶函数.说一个函数是非奇非偶函数,只要说明它的定义域不合要求即可,而不必套用作差法进行检验.有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一.黑色陷阱要注意的是,有的函数既是奇函数又是偶函数,解题中容易忽视这一点.变式训练1.判断下列函数是否具有奇偶性:(1)f(x)=x3;(2)f(x)=2x4+3x2;(3)f(x)=x3+x;(4)f(x)=x+1.分析：按定义证明即可.解：(1)f(-x)=(-x)3=-f(x),所以f(x)是奇函数;(2)f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x),所以f(x)是偶函数;(3)f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),所以f(x)是奇函数;(4)f(x)=x+1中,既没有f(-x)=f(x),也没有f(-x)=-f(x),所以f(x)为非奇非偶函数.【例题2】关于下列命题:两个奇函数的和或差仍是奇函数,两个偶函数的和或差仍是偶函数;f(x)是任意函数,那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数;如果函数f(x)满足:|f(x)|=|f(-x)|,那么f(x)是奇函数或偶函数;函数f(x)+f(-x)是偶函数,函数f(x)-f(-x)是奇函数.其中正确的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：错误.如果这两个函数的定义域的交集是空集,那么它们的和或差没有意义;还有两个奇函数的差,或两个偶函数的差,可能既是奇函数又是偶函数,如f(x)=x(x-1,1),g(x)=x(x-2,2),可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的奇函数,它们的差只在区间-1,1上有意义且f(x)-g(x)=0,而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数.错误.一方面,对于任意一个函数f(x)而言,不能保证它的定义域关于原点对称;另一方面,对于任意一个分段函数不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),所以不能保证|f(-x)|=|f(x)|或|f(-x)|=|-f(x)|,所以|f(x)|不一定是偶函数.如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数f(|x|)是偶函数.错误.如函数f(x)=0,显然满足|f(x)|=|f(-x)|,但是它既是奇函数又是偶函数.正确.由函数奇偶性的定义易证.答案：A绿色通道此题是关于函数奇偶性考查的很好的一类题型,做这种选择题要注意充分地利用反例排除法.解题的关键是紧扣奇偶性定义,此外还应注意以下两点:(1)函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数,因为其定义域关于原点对称且既满足f(x)=f(-x)也满足f(x)=-f(-x);(2)在公共定义域内,奇函数与奇函数的和为奇函数,偶函数与偶函数的和为偶函数,奇函数与奇函数的积为偶函数,偶函数与奇函数的积为奇函数.变式训练2.f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数解析：A中F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x),即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数;B中F(x)=f(x)|f(-x)|,F(-x)=f(-x)|f(x)|,此时F(x)与F(-x)的关系不能确定,即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定;C中,F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数;D中F(x)=f(x)+f(-x),F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.答案：D【例题3】(2007广东中山高三期末统考,理19)已知f(x)是定义在(-,+)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)、f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.分析：(1)利用赋值法,令x=y=1,得f(1)的值,令x=y=-1,得f(-1)的值;(2)利用定义法证明f(x)是奇函数,要借助于赋值法得f(-x)=-f(x).解：(1)f(x)对任意x、y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),令x=y=1时,有f(11)=1f(1)+1f(1).f(1)=0;令x=y=-1时,有f(-1)(-1)=(-1)f(-1)+(-1)f(-1),f(-1)=0.(2)f(x)对任意x、y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1),将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x),函数f(x)是(-,+)上的奇函数.黑色陷阱不能直接用定义进行判断,可通过赋值,找出f(-x)与f(x)的关系.抽象函数常以函数方程的形式出现,求解这类问题通常让变量取一些特殊值或特殊式,以便寻求解题方法.变式训练3.已知函数y=f(x)(xR且x0),对于任意两非零实数x1、x2,恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),试判断函数f(x)的奇偶性.分析：对抽象函数奇偶性的判定,因无具体的解析式,因此需要利用给定的函数方程式,对变量x1、x2赋值,将其变成含有f(x)、f(-x)的式子加以判断.解：由题意知f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称.令x1=x2=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),即f(-1)=0.取x1=-1,x2=x,得f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x).函数f(x)是偶函数.【例题4】若f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,-x0,且f(x)=-f(-x)=-(-x)1-(-x)=x(1+x);当x=0时,f(0)=-f(0),即f(0)=0.当x0时,f(x)=x(1+x).绿色通道判断分段函数的奇偶性,应对x在各个区间上分别讨论,注意由x的取值范围确定应用相应的函数表达式,最后要综合得出在定义域内总有f(-x)=f(x)或f(-x)