高中数学1.1.7柱、锥、台和球体的体积课件人教版必修二.ppt

1 1 7柱 锥 台和球体的体积 中国人民大学附属中学 取一摞纸张放在桌面上 如图所示 并改变它们的放置方法 观察改变前后的体积是否发生变化 从以上事实中你得到什么启发 一 祖暅原理 祖暅原理 幂势既同 则积不容异 也就是说 夹在两个平行平面间的两个几何体 被平行于这两个平面的任意平面所截 如果截得的两个截面的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 祖暅原理是推导柱 锥 台和球体积公式的基础和纽带 原理中含有三个条件 条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间 条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个平面 条件三是两个截面的面积总相等 这三个条件缺一不可 否则结论不成立 二 棱柱和圆柱的体积 柱体 棱柱和圆柱 的体积等于它的底面积s和高h的积 即v柱体 s h 底面半径是r 高为的圆柱体的体积的计算公式是s圆柱 r2h 三 棱锥和圆锥的体积 1 如果一个锥体 棱锥 圆锥 的底面积是s 高是h 那么它的体积是v锥体 sh 2 如果圆锥的底面半径是r 高是h 则它的体积是v圆锥 r2h 四 棱台和圆台的体积 1 v台体 其中s s 分别为台体上 下底面面积 h为台体的高 2 v圆台 r2 rr r2 h 其中r r分别为圆台的上 下底面的半径 高为h 台体 五 球的体积 v球 其中r为球的半径 柱体 锥体 台体的体积公式间的关系 例1 如图所示 在长方体abcd a b c d 中 用截面截下一个棱锥c a dd 求棱锥c a dd 的体积与剩余部分的体积之比 解 已知长方体可以看作是直四棱柱add a bcc b 设底面add a 的面积是s 高为h 则它的体积为v sh 因为棱锥c a dd 的底面面积是s 高是h 所以棱锥c a dd 的体积是vc a dd 所以棱锥c a dd 的体积与剩余部分的体积之比是1 5 例2 有一堆规格相同的铁制 铁的密度是7 8g cm3 六角螺帽共重5 8kg 已知螺帽底面是正六边形 边长为12mm 内孔直径为10mm 高为10mm 问这堆螺帽大约有多少个 取3 14 可用计算器 解 六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差 因此约有5 8 103 7 8 2 956 252 个 答 螺帽的个数约为252个 练习题 1 设六正棱锥的底面边长为1 侧棱长为 那么它的体积为 a 6 b c 2 d 2 b 2 正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 则它的体积是原来的 a b c d b 3 直三棱柱abc a1b1c1的体积为v 已知点p q分别为aa1 cc1上的点 而且满足ap c1q 则四棱锥b apqc的体积是 a b c d b 4 把一个大金属球表面涂漆 需油漆2 4kg 若把这个金属球熔化 制成64个半径相等的小金属球 设损耗为零 将这些小金属球表面涂漆 需用油漆kg 9 6 5 已知圆锥的母线长为8 底面周长为6 则它的体积是 6 一个正方体的所有顶点都在球面上 若这个球的体积是v 则这个正方体的体积是 7 若球的大圆面积扩大为原来的3倍 则它的体积扩大为原来的 a 3倍 b 9倍 c 27