高三数学复习——数列.doc

高三数学高三数学 数列问题的题型与方法 基本知识点 基本知识点 1 数列定义及其相关概念 通项公式 前项和 与的关系 递推关系式 n an n S n a n S 2 1 1 1 nSS nS a nn n 2 等差 等比数列的基本运算 性质及其运用 定义 通项公式 q a a daa n n nn 1 1 等比 等差 kn kn n n knn qaaqaa dknaadnaa 1 1 1 1 等比 等差 前项和 n 1 1 1 1 1 2 22 1 2 11 1 1 2 1 1 q q qaa q qa qna S n d an ddnn na aan S n n n n n 等比 等差 等差中项 即 等比中项 即 2 ab A 2Aab Gab 2 Gab 若 则pqrs 相等 下标和相等 两项积等比 相等 下标和相等 两项和等差 srqp srqp aaaa aaaa 数列是以为公差的等差数列 则也是等差数列 公差为 n ad 232 nnnnn SSSSS 2 n d 数列是以为公比的等比数列 则也是等比数列 公比为 n aq 232 nnnnn SSSSS n q 3 数列通项公式的求解问题 一般有以下三种类型 已知与的关系式 求通项 解决方法 利用求解 n a n S 2 1 1 1 nSS nS a nn n 给出数列递推公式求通项 证明 猜想数学归纳法 归纳 或例如迭加 乘 迭代法 两边取对数 例如 两边取倒数 例如 整体求解 例如 构造新数列 例如 1 1 0 1 1 1 2 1 1 22 1 1 nf a a nfaa aa a a a aa BABAaa n n nn nn n n n nn nn 高三数学高三数学 4 数列求和 公式法 除基本的等差 等比求和公式外 还有 22222 1 1 123 1 21 6 n k knn nn 倒序相加法 例如等差求和公式的推导 错位相减法 例如等比求和公式的推导 更一般的 适用于等差等比的数列 数列 nnnn cca b 其中为等差数列 为等比数列 n a n b 裂项相消法 例如 为已知常数 1 n a a n n 21 21 n a a nn a 分组求和法 例如 其中分别可以求和 nnnn ccab nn ab 典型例题 典型例题 类型类型 1 1 1 nfaa nn 解法 把原递推公式转化为 利用累加法累加法 逐差相加法逐差相加法 求解 1 nfaa nn 1 1 例例 已知数列满足 求 n a 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 n a 2 2 变式变式 2004 全国 I 个理 22 本小题满分 14 分 已知数列 且a2k a2k 1 1 K a2k 1 a2k 3k 其中 k 1 2 3 1 1 aan中 I 求a3 a5 II 求 an 的通项公式 类型类型 2 2 nn anfa 1 高三数学高三数学 解法 把原递推公式转化为 利用累乘法累乘法 逐商相乘法逐商相乘法 求解 1 nf a a n n 3 3 例例 已知 求 3 1 a nn a n n a 23 13 1 1 n n a 4 4 变式变式 2004 全国 I 理 15 已知数列 an 满足a1 1 n 2 则 1321 1 32 nn anaaaa an 的通项 1 n a 1 2 n n 类型类型 3 3 其中 p q 均为常数 qpaa nn 1 0 1 ppq 解法 待定系数法 把原递推公式转化为 其中 再利用换元法换元法转化为等比数 1 tapta nn p q t 1 列求解 5 5 例例 已知数列中 求 n a1 1 a32 1 nn aa n a 变式变式 递推式 解法 只需构造数列构造数列 消去消去带来的差异差异 nfpaa nn 1 n b nf 高三数学高三数学 类型类型 4 4 其中 p q 均为常数 或 其中 n nn qpaa 1 0 1 1 qppq 1 n nn aparq p q r 均为常数 6 6 例例 已知数列中 求 n a 6 5 1 a 1 1 2 1 3 1 n nn aa n a 类型类型 5 5 递推公式为 其中 p q 均为常数 nnn qapaa 12 解法一 待定系数法 先把原递推公式转化为其中 s t 满足 112nnnn saatsaa qst pts 7 7 例例 已知数列中 求 n a1 1 a2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 n a 8 8 变式变式 2006 福建 文 22 本小题满分 14 分 已知数列满足 n a I 证明 数列是等比数列 II 求数列的通项公 1221 1 3 32 nnn aaaaa nN 1nn aa n a 式 IIIIII 若数列 若数列满足满足证明证明是等差数列是等差数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n b 12 111 44 4 1 nn bbbb n anN n b 类型类型 6 6 递推公式为与的关系式 或 n S n a nn Sf a 高三数学高三数学 解法 这种类型一般利用与消去 或 2 1 1 1 nSS nS a nn n 11 nnnnn afafSSa n S 2 n 与消去进行求解 1 nnn SSfS 2 n n a 9 9 例 例 已知数列前 n 项和 1 求与的关系 2 求通项公式 n a 2 2 1 4 n nn aS 1 n a n a n a 2 应用类型 4 其中 p q 均为常数 的方法 上式两边同乘以 n nn qpaa 1 0 1 1 qppq 得 由 于是数列是以 2 为首项 2 为公差的等 1 2 n 222 1 1 n n n n aa1 2 1 4 1 21 111 aaSa n na 2 差数列 所以nnan n 2 1 222 1 2 n n n a 10 10 变式变式 05 江西 文 已知数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn Sn 2 3求数列 2 3 1 3 2 1 21 1 SSn n 且 an 的通项公式 11 11 类型类型 7 7 banpaa nn 1 001 a p 解法 这种类型一般利用待定系数法待定系数法构造等比数列 即令 与已知递推式 1 1 yxnapynxa nn 比较 解出 从而转化为是公比为的等比数列 yx yxnan p 例例 设数列 求 n a 2 123 4 11 nnaaa nnn a 高三数学高三数学 类型类型 8 8 r nn paa 1 0 0 n ap 解法解法 这种类型一般是等式两边取对数两边取对数后转化为 再利用待定系数法待定系数法求解 qpaa nn 1 例 已知数列 中 求数列 n a 2 11 1 1 nn a a aa 0 a 的通项公式 n a 数列练习数列练习 1 1 1 2009 广东卷文 已知等比数列 n a的公比为正数 且 3 a 9 a 2 2 5 a 2 a 1 则 1 a A 2 1 B 2 2 C 2 D 2 2 2 2 2009 广东卷理 已知等比数列 n a满足0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则当1n 时 2123221 logloglog n aaa A 21 nn B 2 1 n C 2 n D 2 1 n 3 3 3 2009 安徽卷文 已知 n a为等差数列 则等于99 105 642531 aaaaaa 20 a A B C D 1 137 4 4 4 2009 福建卷理 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 且 3 S 6 1 a 4 则公差等于d A B 5 3 C D 12 3 5 5 5 2009 辽宁卷文 已知 n a为等差数列 且 则公差0 12 347 aaa d 高三数学高三数学 A B C D 2 2 1 2 1 2 6 6 6 2009 辽宁卷理 设等比数列 n a 的前项和为 n S 若 6 3 S S 3 则 6 9 S S n A B C D 2 3 7 3 8 3 7 7 7 2009 宁夏海南卷理 等比数列 n a的前项和为 n S 且 4 1 a 2 2 a 3 a成等差数列 若 1 a 1 则n 4 S A B C D 781516 8 8 8 2009 宁夏海南卷文 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 已知 2 11 0 mmm aaa 21 38 m S 则m A B C D 3820109 9 9 9 2009 安徽卷理 已知 n a为等差数列 1 a 3 a 5 a 105 246 aaa 99 以 n S表示 n a的前n项和 则 使得 n S达到最大值的n是 A B C D 21201918 10 10 10 2009 浙江理 文 设等比数列 n a的公比 1 2 q 前n项和为 n S 则 4 4 S a 11 11 11 2009 浙江文 设等差数列 n a的前n项和为 n S 则 4 S 84 SS 128 SS 1612 SS 成等差数列 类比以 上结论有 设等比数列 n b的前n项积为 n T 则 4 T 16 12 T T 成等比数列 12 12 12 2009 江苏卷 设 n a是公比为q的等比数列 1q 令1 1 2 nn ban 若数列 n b有连续四项 在集合 53 23 19 37 82 中 则6q 13 13 13 2009 山东卷文 在等差数列 n a中 6 7 253 aaa 则