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近世代数观点下的初等数学2009年11月第28卷第11期绵阳师范学院JournalofMianyangNormalUniversityNov.20O9V01.28No.11近世代数观点下的初等数学唐再良(绵阳师范学院数学与信息科学学院,四川绵阳621000)摘要:文章应用近世代数的观点,通过具体实例对初等数学中的基本内容进行了深刻分析,讨论了初等数学中若干基本知识与近世代数的内在联系,为数学教学改革提供了若干有意义的参考依据.关键词:近世代数观点;数系扩充;运算;函数;初等数学问题;同构与同态中图分类号:G420文献标识码:A文章编号:1672-612x(2009)l1-0134-060引言数学中数的概念,在历史上不断得以发展.人们不仅研究了这些数之间的加,减,乘,除等运算,而且发现这些运算遵守诸如交换,结合,分配等规律.数学家们把具有这些运算并满足这种规律的实数或复数全体,称为实数域或复数域.随着生产和数学自身的发展,一些与通常的数很不相同的量如向量,张量,矩阵以至更抽象的元素在数学中陆续出现,它们都具有与数相类似的运算.这些广义的数,以可以进行运算为其特征.于是,数学家们研究的重点也逐渐从数本身的性质转移到它们之间的运算上来,依据运算规律的不同而得到了不同的代数体系,并给予种种个别的名称,如群,环,域以及环上的模,域上的代数等等,这便形成了以研究群,环,域,格,向量空间等性质和结构为主要内容的数学学科近世代数.随着现代科技的不断进步,特别是电子计算机的飞速发展与推广,近世代数的基本思想,基本理论与方法已经渗透到科学领域的各个方面与实际应用的各个部门,其中近世代数在编码和信息安全方面的应用更被认为是近几十年来纯粹数学应用的一个成功而光辉的典范.从教育的数学角度看,初等数学的内容绝大部分都是属于代数的,一些最基本的数学概念(如数系,运算等)以及一些初等数学的难题(如三等分角等),如果没有近世代数的知识是不可能彻底搞清楚的;同时,近世代数又是初等代数的继续和发展,它与初等数学的联系非常紧密:一方面,近世代数中的抽象理论以初等数学为基础;另一方面,按照近世代数的观点,初等数学中许多不同的问题能统一到相同的概念之下.因此,用近世代数的观点去讨论初等数学的知识,问题和方法,无论是在提高人们的数学素养方面,还是在数学教学改革等方面都是十分有意义的.对此,已有不少学者从不同角度进行过深入探讨,并取得了一些有意义的成果.但对此内容的系统讨论,尚待深入.本文拟在这些成果的基础上,应用近世代数的观点,通过具体实例对初等数学中的基本内容进行深入系统分析和深化认识,揭示初等数学的基本知识与近世代数的内在联系,从而为数学教学的改革和创新探索等方面提供若干有意义的参考依据.1近世代数理论下的初等数学知识德国着名数学家克莱因曾经告诫我们,只有在完全不是初等数学的理论体系中,才能深刻地理解初等数学.如对数的存在唯一性,数学归纳法的可靠性,多项式因式分解概念等,仅用初等数学眼光来看都是模糊的.这是初等数学的局限性.另一方面,初等数学是近世代数的基础,许多初等数学的内容都是近世代数中的模型.如初等代数中的代数式,方程,数系,函数等,都是数学模型,在近世代数中进一步抽象为集合与映射空间,群等现代数学概念.数学的本质,数学的作用,也就是抽象与概括.从大量不同的对象之间,找出其相同之处,从而得到它们之间的逻辑联系和数量关系,组成一个统一的结构体.近世代数正是在初等数学的基础上发展起来的,许多初等数学无法解答的问题在近世代数中得以解决.如用近世代数中变换群的观点来考察平面解析几何,就可以在理论上解释平面解析几何的一个特性,即在平面解析几何中,研究几何问题时,为什么可以适当地选取坐标系,也就是说平面上几何问题的代数表达式,与其坐标的选择无关问题.从近世代数变换群的观点来看,坐标系的平移和旋转变换与点的平移和旋转变换,只不过是同一个代数变换式的不同的几何解释而已.由此可以得出凡是用来表示图形的几何量和几何关系的代数表达式,它们的值在坐标变换下都是不变的,它们都是坐标变换下的不变量.下面我们应用近世代数的观点,通过对数系,运算,函数等初等数学知识的具体分析,从近世代数的知识,思想方法和观点上阐释初等数学的性质,揭示出两者之间的异同及内在联系,进而加深对初等数学的基本概念和基本内容的理解,从而在更高的层次上深化对初等数学知识的认识.1.1数系数系和初等数学的任何一个分支,任何一块内容都有联系,蕴含有集合思想,公理化思想,结构思想,极限思想等许多重收稿日期:2009-08-31作者简介:唐再良(1958一),男,教授,主要研究方向:环论与符号计算.第11期唐再良:近世代数观点下的初等数学?135?要的数学思想.历史发展中数系形成的过程是:自然数集添加正分数正有理数集鋈!算术数集堂堕骂实数集鎏复数集在初等数学中,关于数系形成的过程的介绍是:自然数集扩火自然数集鋈塑堡坌鏊算术数集添负有理数添负有理数有理数集有理数集鱼塑实数集鋈复数集而以近代结构观点和比较严格的公理体系加以整理建立起来的数系理论,它的过程是:自然数集一整数集一有理数集一实数集一复数集.可见,第一条线是着眼于历史上数的形成过程,它与初学数学的人认识数的思维过程有相吻合之处;第二条线建立数的概念的顺序,主要从初学数学者的认知角度,更多地依据了人们的认识规律;第三条线是从数学代数结构理论的角度出发,主要考虑数的理论逻辑要求,形成代数系统.用近世代数的群,环,域这些重要代数体系的观点来对数系再认识,就会对数的发展,内部结构,性质等有一个更系统,完整的认识.1.I.1自然数集N自然数是最简单,最基本的数,皮亚渚四条公理揭示了自然数的根本性质.在给出加法运算,乘法运算的定义之后,可以证明(N,+,?)是具有加法运算,乘法交换律和加法,乘法结合律以及分配律的代数系统.在N中,序关系(<)是利用自然数的加法来定义的,可以证明<满足反对称性,传递性,可比性以及最小数原理,所以(N,<)不仅是一个全集,而且是一个良序集.在(N,+,?)中,方程a+x=b,a?X=b不一定有解.因此,在N中,加法,乘法的逆运算都不封闭,对于减法要限制实行,对于除法则分两种情况讨论:a整除b和带余除法.1.1.2从N到有理数Q的扩充定理可换半群(A,+)可扩充的充分必要条件是运算+是可消去的.证明必要性:若a+c=a+b,a,b,CA,设(B,+)是(A,+)的扩充,则在(B,+)中,a+x=a+b有唯一解X=b,又由a+c=a+b,知c满足a+x=a+b,所以b=c充分性:如果运算可消去,则在集合AxA上定义关系一:(a,b)一(c,d)甘a+d=b+e易证是等价关系,等价关系将AXA划分成等价类,用B表示商集AA/,在商集B上定义加法运算:(a,b)+(C,d)=(a+c,9b+d)可以证明这个定义是合理的,即运算结果与等价关系中代表元的选取无关.定义从A到B的映射f:Af:B为f(a)=(a+b,b),Va,bEA,易证f是一一的且保持A中的运算不变,所以A与B中的某一子集同构.在B中方程(a,b)+X=(c,d)有唯一解:X=(c+b,a+d)所以在B中+的逆运算可畅通无阻,(B,+)是(A,+)的扩充.根据这个定理,有同样的原理和方法,自然数加法半群(N,+)可扩充为整数加法群(z,+),自然数乘法半群(N,?)可扩充为正有理数乘法群.1.1.3从有理数域Q到实数域R的扩充从Q扩充到R,扩充的原则和步骤如下:(1)定义含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域,R的元素称为实数.如果实数域R存在,容易证明它应当是由所有有理数基本列组成的序域.(2)构造设M是所有有理数基本列的集合.在M中定义等价关系,加法,乘法及序如下:对任意a,bEM.1.a一b当且仅当lim(a一b)=0;2.a+b=a+b;3.a?b=a?b;4.a<b当且仅当存在有理数8>0,noN,使当n>no时,b一a>&由有理数的性质知,上述基本列的加法,乘法满足结合律,交换律和分配律.所定义的基本列的序,是全序.作商集M/=Ro,在中定义等价类的加法,乘法及序如下:对任意,13R0,aE理,bEp,1.若a+bE,贝0规定+13=y;2.若a?bP,则规定仅?13=p;3.若a<b,则规定d<B.不难验证,这样定义的运算及序与代表元的选取无关;rto中加法,乘法满足结合律,交换律和分配律,且是阿基米德?136?绵阳师范学院(自然科学版)第28卷序域.(3)嵌入设R是中所有有理常数列af所代表的类的集合,R是中其余的类所组成的集合,则=R,t.JR.作映射f:R一Q,使f(a)=a.则f是同构映射,因而(R.;+,?,<)与(Q;+,?,<)同构.作集合R=Qt.jR2,R中的运算由f的扩张决定.则R是通常所说的实数域.R:中的实数,称作无理数.有时为了方便,将正实数集合记为R.1.1.4从实数集到复数集的扩充从实数集向复数集的扩充,扩充的原则和步骤同前:(1)定义含有实数域R和i(i具有性质i=一1)的最小域C,称为复数域.即1.域(R;+,?)是(C;+,?)的子域;2.iIi=一lC_C;3.若域(C;+,-)满足上述1.与2.,则(C;+,?)是(C;+,?)的子域.域c中元素叫做复数.如果复数域c存在,则c具有形式C=a+bila,bR,i=一1因此,所有在此定义下的复数域c是同构的.即复数域c若存在,则在同构的意义上是唯一的.(2)构造作集合C.=(a,b)la,bR,在c.中定义加法+和乘法?如下:对任意实数对(a,b),(c,d)C.,规定(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)(C,d)=(acbd,ad+bc)容易证明,(C.;+,?)是域.与前节构作整数环Z,有理数域Q不同,这里无需再定义等价关系和作商集.(3)嵌入令c.=cuc,其中c=(a,0)IaR,C:由c.中其余元素组成.作映射f:Rc.,使对每一aR,都有f(a)=(a,0).易知f是(R;+,?)到(C.;+,?)的同构映射,故(R;+,?)是(C.;+,?)的子域.令C=RuC:,C中的运算由f的扩张决定,则C就是通常所说的复数域,且由于(0,1)(0,1)=(一1,0)所以i=(0,1),i=一1.1.1.5复数系的建立在实数集R的基础上引进新的数,从而产生新的数系,希望在新的数系中,方程X=a(aR)总有解,也就是解决自乘运算的逆运算的问题.下面通过介绍代数扩充的办法得到复数域的过程.实际上,实数域R上的不可约多项式最多是二次的,不妨设为X+px+q(P一4q<0),它的一个根a是R上的代数元.由于(X+px+q)是Rx中的主理想,所以R(a)同构于商域Rx3/(X+px+q),R(a)=aa+bla,bR.1.1.6数系的进一步扩充在数系的扩充过程中,数的范围不断扩大,数的结构逐渐完善,数的性质有所增加,但有时也失去一些原有性质.例如,N扩充到z,失去了良序性等.当复数域再扩充到四元数,八元数,十六元数等等时,数的一些基本性质,如乘法交换律,甚至连乘法的结合律都要失去,与数的传统概念就相去很远了.因此,通常所说的数,都是指实数或复数.由于高斯代数基本定理的保证,复数域上的任何代数扩充都同构于自身,复数域上的超越扩充C(X)与R(X)代数性质相同.如果放弃部分域公理乘法交换律,便可以从C扩充到四元数体H,四元数体可以看成是复数域上的二维空间或实数域上的四维空间;如果把R看成是H的主理想,则H/R同构于R中的普通向量积结构,其中i,j,k看成是坐标轴上的单位向量.把代数运算进一步抽象,运算对象从数扩充到向量,矩阵,变换,乃至抽象元素,则形成形形色色的代数结构,这些便成为高等代数(或抽象代数)研究的内容.1.2运算运算,这是一个贯穿数学始终的概念.在初等数学加法运算规则中,我们知道可以任意的取两个整数(或分数),其中任意一个都可以作为被加数,并且还可以交换加数与被加数的位置再进行计算,所得结果一定相等.但在减法运算中却规定:被减数小于减数,否则将无法进行运算.同样地,在除法运算中得考虑:被除数必须是除数的整数倍,除数不能为零,除数与被除数的位置不能随便交换等.这是为什么呢?首先,初学者只认识了非负整数,非负整数集合Nu0,关于数的加法封闭,关于数的减法不封闭:任取非负整数集合中的两个数做加法后结果仍在该集合中,而对于减法其结果却不在这个集合中,所以初学者不知道计算出的结果是什么数.事实上,(N,+)是半群,运算满足结合律,任意3个数a,b,C相加,有a+b+C=(a+b)+c=a+(b+C),因而N中任意有限个数相加也都有意义.又(N,+)是交换半群,那么N中任意有限多个数相加可以任意交换顺序.同样,(N,X)构成封闭并且可交换的半群,但对除法不构成封闭.要使两个数的除法的结果也在N中,则被除数是除数的整数倍,并且除数不能为第11期唐再良:近世代数观点下的初等数学?137?零.而学习了正分数以后,数集扩大为非负有理数集,正有理数集合关于数的乘法构成群,任取两个正有理数相乘,相除的结果仍在正有理数中,群(Q,)是交换群,乘法运算满足结合律,交换律,Q中任意有限个数相乘可以任意加括号,可以任意调换顺序,但是除法不满足交换律和结合律.1其次,乘除法的这种不协调性在群(Q,X)中可以统一起来.其中由于除法相当于乘法的逆运算,即nm=n=nm1m,其中看作m,而(Q,)为乘法群,因此m也在Q中,对除法封闭且满足交换律,结合律.m初等数学内容分阶段介绍了有理数的运算,实数的运算,复数的运算.以加法为例,有理数集合Q,实数集合R,复数集合c,整数集合z关于加法运算都封闭,(Q,+),(R,+),(c,+),(z,+)都是代数系;加法运算满足结合律,交换律;有零元素0;每个数a都有一个相反数一a作为a的逆元,这些共同的性质使得(Q,+),(R,+),(C,+),(z,+)都构成交换群.初等数学中考虑的是两个数怎样去进行运算;近世代数中考虑的数的集合关于一种运算具有什么性质,与其他代数结构有什么关系.前者考虑个体,后者考虑整体,后者必须以前者为基础.用群论的观点,(Q,+),(R.+),(c,+),(z,+)具有交换群的一切性质.如果考虑数的加法和乘法,则(Q,+,?),(R,+,?),(c,+,?),(z,+,?)都是环(其中除(Z,+,?)外都是域),具有环的一切性质.如设a,b是环R的两个任意元,则(一a)b=a(一b)=一ab,(一a)(一b)=ab,这一性质就是我们熟知的符号法则正乘负得负,负乘负得正.由于(Q,+,?),(R,+,?),(c,十,-),(z,+,?)都是环,则有相关的运算性质(详见初等数学相关书籍介绍).1.3函数方程和函数是初等数学的中心内容,同时方程又是函数的特例,对函数知识的理解直接关系着对初等数学知识的理解.在近世代数的观点下,初等数学中的函数实质是一个映射.例如指数函数y=a(a#0,a>0)是实数集R到整实数集R的映射,即VXR存在唯一的aR使叮:xa.由Y=a的单调性可知盯是单射,当a>0是,从图像上看,随着X的增大Y的值无限增大,随着x的减少y的值无限的趋近于0.换句话说,对于任意的一个YER,存在XER使得仃(X)=Y.这说明叮是满射因而是双射,存在逆映射or-1是R到R的双射,叮I1就是指数函数的反函数对数函数Y=log:(a0,a>0),即:xlo是双射说明对数函数的图像也是单调的,并且函数值可以取任意实数.2近世代数观点下的初等数学问题站在近世代数的高度,运用近世代数的知识,思想和方法,从不同的角度重新去审视,分析和解决初等数学中的问题.这些问题可以是与初等数学内容密切相关但又未能完全解决,而应用所学近世代数知识可以解决的理论,方法问题,也可以是初等数学中已经解决,而运用近世代数的知识,从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念,理论实质及其背景,还可以借助于近世代数的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题(尽管这些问题可以用初等的方法来解决),并用近世代数的观点给予解释等等,这会使初学者对初等数学的本质,以及与近世代数之间的内在联系,有更深刻的认识.问题1设a=cos0+isin0,求X一a=0的根.r1.1用近世代数的观点来解释是:陪集aU3的元素即为x一a3=0的根(其中U,=1,0)2I(1)=二).LJ问题2求(1+i)的展开式中奇数项的和.用近世代数的观点来看,U=xclx:1l1.(u,?)是(c,?)的正规子群,1+i一24Yu.要讨论2u.中的数1+的性质,可以先考查中的元素a的性质;a的阶lI=8,=一1等.问题3设PQ与圆0相切于Q当Q在圆周上移动时,求切线PQ的另一个端点P的轨迹.用近世代数的观点可以这样理解:设圆0半径为l,以0为原点建立坐标系,如图3,则圆0为单位圆.Q对应的复数U,设0P的长为r,则P对应的复数BrU,其中U=XCllXI=1,所以P点的轨迹是以0为圆心,0P为半径的圆周.问题4多项式求值.给定一个多项式,例如f(X),求f(X)在X=a处的值是初等数学中常遇到的问题.假设还有一个多项式g(X),再求f(X)g(X),f(X)g(X)的值时,我们大多数为了计算的简化,总是先进行化简然后在代值进行计算,这时产生一个问题:先分别代值再加减,乘除的结果是不是也和它相等呢?答案是肯定的.py,D.用近世代数的观点解释如下:整系数的一元多项式z(X)关于多项式的加法和乘法构成一个环,设a是一个固定的数,整系数的a的多项式的集合za关于多项式的加减也构成环.设是z(x)到za的映射,Vf(X)Z(X),盯(f(X)=f(a),Vg(x)z(x),叮(g(x)=g(a),则盯是z(x)到z(a)的满射,并且,Vf(x),g(x)z(x),则有O1(f(x)+g(x)=盯(f(x)+盯(g(x)(1)叮(f(x)g(x)=Er(f(x)or(g(x)(2)?138?绵阳师范学院(自然科学版)第28卷因此,叮是zX到za的同态满射.由等式(1),(2)可知道无论先化简还是先求值,计算的结果都相同.因此,在为了简化运算的过程中,我们可以把多项式先进行化简,再把值代入进行计算.问题5(O6四川高考理第16题)非空集合G关于运算.满足:(1)对任意的a,bEG都有abG,(2)存在eG都有aOb=boa=a则称G关于运算0为融洽集.现给出下列集合和运算:0)G=非负整数,o为整数的加法.G=偶数,o为整数的乘法.G=平面向量,O为平面向量的加法.G=二次三项式,o为多项式的加法.G=虚数,o为复数的乘法.其中G关于运算.为融洽集的是.(写出所有融洽集的序号)由近世代数知识易知,本问题是以近世代数中群的定义为背景而编拟的一个问题,由群的判断方法知,只需验证所给集合是否符合融洽集定义即可.问题6(07陕西理第12题)设集合S=,A.,A,A3,在s上定义运算0为:oAj=A,其中k为i+j被4除的余数,i,j=0,1,2,3.则满足关系式(xox)OA=Ao的x(xES)的个数为()(A)1(B)2(c)3(D)4本题用初等数学知识理解很抽象,但用近世代数知识分析又很简单.本问题其实是以近世代数中的运算系统为背景而命的一个题目,旨在考查学生在瞬间运用一个新的运算法则去解题的能力.问题7(2008年高考福建卷(理)第16题)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,bR,都有a+b,ab,ab,旦P(除数b#0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域,数集F=a+bIa,bQ也是数域.a有下列命题:整数集是数域;若有理数集QC_M,则数集M必为数域;数域必为无限集;存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是.(把你认为正确的命题序号填上)本问题由近世代数知识易知,它是以近世代数中的域为背景的一个题目,主要考查了学生对给出的概念的理解和简单的应用能力.解题关键就是对域的理解.3近世代数思想方法下的初等数学方法数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的认识,是数学的精华,它是贯穿于数学学科的不同分支,不同层次的数学知识之中的.我们知道,同态与同构就是近世代数理论中的重要思想方法.所谓同态与同构思想,就是当解决一个问题甲很困难时,通过一个关系变换,转化为另一个易于解决的问题乙,当解决完问题乙后,再根据相应的关系转换成问题甲需要的结果.这种思想方法不仅是近世代数理论研究的主要方法,而且在初等数学中也有很广泛的运用.例如把指数,指数函数的性质推广到对数,对数函数中,在研究指数发生困难时,可以化为对数加以解决,再利用反对数关系把结果化为指数问题.初等数学的很多问题以及解题方法都是利用的这种思想方法,利用某种规律的不变性,把问题进行相应的转化.3.1求一些表达式的值初等数学中求函数的值域是一个重点问题也是一个难点问题,对于求它的方法有很多,这些方法的思维源泉就是利用同态与同构的数学思想将其转化为所熟悉或者是很容易求解的问题来解之.例3.1.1设x,yR且3x+2y=6x,求Xy的范围直接求解有些困难,利用同态与同构的思想,将问题转化为熟悉的椭圆(x一1)+=1问题来处理就容易多了.J23.2求一些特殊方程的解对于有些特殊方程的解的问题利用初等数学的知识根本是没有办法解的,但是利用同态与同构的数学思想就能转化为另一个熟悉的初等数学问题,从而将问题解决.例3.1.2求方程sinx=2根的个数在初等数学里,对于sinx:2这样的方程的根是没有直接给出求根的公式或定理的,但是并不是用所学的知识就不能解决,此时可以利用同态与同构的数学思想转化为另一个熟悉的问题.将求方程sinx=2根的个数问题转化成求熟悉的函数Y=sinx与函数Y:=2的交点个数问题,对于Y.,Y是初等数学重点研究的函数,画出图像后只需要观察图像交点的情况就能得出答案.3.3求解立体几何中的问题立体几何的问题是初等数学的一个难点也是一个重点,因为它讨论的是在空间中的一些点,线,面之间的关系,需要很强的空间想象能力,我们常将立体问题转化为平面几何问题来处理,从而使问题得到简化,这正是利用了同态与同构的数学第11期唐再良:近世代数观点下的初等数学?139?思想.3.4求解恒成立问题恒成立问题在初等数学中的地位是非常的重要的,在初等数学的各种考试中它都占有很大的比例.就这个问题本身来说它是很复杂的.恒成立顾名思义它是对于很多都成立,直接去求它是有困难的,因为很多题目的背景都不是我们所熟悉的,这里就需要用同态与同构的数学思想去寻找与它相关并且是我们熟悉的知识来解决.例3.3.1为使不等式x+6xy+9y+lOx+ay+b>0对于任意的实数x,Y恒成立,试求实数a,b应该满足的条件.咋一看好像没有什么头绪,但是利用同态与同构的数学思想将问题转化为关于二次不等式X+(6y+10)X+9y+ay+b>0的解的问题就简单多了.3.5求解不等式问题不等式在初等数学中占有很高的地位,因为它可以和很多的知识相结合,所以它是很多知识的交汇点,当然解决这类问题是有一定困难的,这里就需要用同态与同构的数学思想去寻找与它相关并且是我们熟悉的知识来解决这些难的问题.例3.4.1已知函数f(x)=In(1+x)一x,g(X)=xlnx.,设0<a<b,证明0<g(a)g(b)一2g()<(ba)In2.厶其实要证明的不等式是很复杂的,但是利用同态与同构的数学思想将问题转化为求函数F(x)=g(a)+g(x)一2g()的最值问题就很容易了.参考文献:1(德)克莱因着.高观点下的初等数学M.上海:复旦大学出版社,2008:9.2徐德余,唐再良等.近世代数M.四川:四川大学出版社,2006:10