薛定谔方程的一般讨论毕业论文.doc

上饶师范学院本科毕业论文（设计）系别： 物理与电子信息学院 专业： 物理学 班级： 09物（1） 学号： 09020130 学生姓名： 吴 江 指导教师姓名： 吴 波 二一三年五月摘 要：本文通过对使用不同方法建立薛定谔方程的分析和讨论，给出不同建立方法的优点与不足。同时对薛定谔方程的一般性质作出讨论，进一步分析其作用。最后通过实矩阵形式下的波函数建立薛定谔方程。关键词：波函数；哈密顿雅可比方程；薛定谔方程；实矩阵 目 录0 引言.11 薛定谔方程的建立.1 1.1从粒子波函数引进薛定谔方程.1 1.2尝试法引进薛定谔方程.3 1.3类比法引进薛定谔方程.4 1.4数学运算建立薛定谔方程.52 薛定谔方程基本性质的讨论.9 2.1波函数与态叠加原理.9 2.2概率流密度与概率的定域守恒.9 2.3薛定谔方程的一般解法.10 2.4势场点和奇点处波函数的性质.11 2.5能量平均值下限问题.12 2.6能谱分界点问题.123 实矩阵形势下薛定谔方程的建立.134 总结.155 致谢.166 参考文献.17吴江：薛定谔方程的一般讨论 0.引言 薛定谔方程是量子力学的重要基本方程，目前，许多量子力学教材和参考书对于薛定谔方程的建立都是用微分或算符的方式建立，并且多处强调量子力学的建立与经典物理学之间有着不可跨越的鸿沟，或者说，在量子力学领域，经典物理已经完全不适用。本文通过对建立薛定谔方程的不同方法的讨论，给出了各类方法的特点，同时通过数学运算建立薛定谔方程的方法，说明了量子力学与经典物理学之间并无绝对鸿沟。本文试图通过这种方式，以期能够更好的增进初学者对薛定谔方程的理解，更加全面的还原薛定谔方程的清晰面貌。薛定谔方程的建立1.1 从粒子波函数引进薛定谔方程 此处要建立的是描写波函数随时间变化的方程，所以这个方程是波函数满足的含有对时间微分的方程，并同时满足：方程是线性的；方程的系数不应含状态的参量。用平面波描写自由粒子的波函数 这就是所需建立的方程的解。将式对时间求偏微商，得 将式坐标求二次偏微商，得 将、式相加，得 由自由粒子的动量与能量关系 ，同时比较式 、式得到自由粒子波函数满足的微分方程： 对、两式变形，得 其中为拉普拉斯算符： 通过、两式，得到粒子能量E和动量算符与下列算符相当 ； 设粒子在势场中的势能为，则粒子的动量与能量的关系是 两边同乘波函数并代入式中，得满足的微分方程是 此方程即为所需建立的薛定谔方程。 这种通过对自由粒子的波函数进行偏微商所建立的薛定谔方程有以下几处疑点：第一、平面波所描写的自由粒子波函数为何是而非或？或者说为何不是它们的线性组合？这很容易在初学者印象中形成一种束缚，那就是，平面波所描写的自由粒子波函数就是。很明显，如果波函数包括三角函数形态，那么这种方法无法建立所需的薛定谔方程。第二、我们很清晰的看到此方法使用到了这个物理经典公式，然而有的学者说：“这些现象揭露了经典物理学的局限性，突出了经典物理学与微观世界规律性的矛盾。”对此，初学者不禁要问，薛定谔量子力学是自成一家的量子力学与经典物理不相容，还是对经典物理的创新？关于这点，本文将在后面做一些简述。同时，我们也可以看到，这种处理方法并未使用到薛定谔的波动力学方程，只是建立出来的方程与薛定谔方程形式一致，这不免让人感觉有强借薛定谔名号之嫌。当然，也无法否认这种建立薛定谔方程的方法理解起来快速、有效、易懂，能够很好的适应初学者的理解。 1.2 尝试法引进薛定谔方程 自由粒子的波函数是一平面波，它有以下四种表达式或它们的线性组合表达式：，。满足这些波函数的方程必须符合：德布罗意关系导出的；方程是线性方程且符合叠加原理；系数不含动量、能量等状态参量。观察，其中的指数为1，的指数为2对比，得出：所需建立的方程必包含和因此可以设所求的方程为 将上文所述四种波函数依次代入式中，得：其中三角函数形式波函数不能满足方程，两种复数形式波函数满足方程。设波函数为 则 综合、两式得： 两边同乘，得 即自由粒子的三维薛定谔方程。这种建立方法的立论与前一种方法差不多，关键在于引入了平面波函数表达形式，并且通过得布罗意关系导出的推出了较符合薛定谔波动力学方程的，同时由此方筛选出了合理的波函数，解决了前一种方法的部分不足。在一定程度上，更适合初学者的理解。然而，的引出在逻辑上不甚严密，说服力不强。尤其是关系式不常见，不易理解。1.3 类比法引进薛定谔方程从通常的力学走向波动力学的一步，就像光学中用惠更斯理论来代替牛顿理论所迈进的一步相类似，我们可以构成这种象征性的比例式： 在光波波长的数量级微小范围内，几何光学将被波动力学所代替，那么，试想：在原子或分子大小的微小范围内，波动力学将代替牛顿力学而决定微观体系的运动。在介质中，光的波动方程是 其中由于力学与光学的近似，波动力学基本方程类似于波动光学的波动方程： 在势场中， 综合、式，得 把式代入到式中，得 即定态薛定谔方程 相较之前一种建立方法，这种类比法在逻辑上依然有所欠缺，但是这种方法的确一脉相承于薛定谔建立薛定谔方程的方法。波动方程几乎是直接接对比波动光学的方程而给出，给人予非常突然的感觉。但是如果读者可以接收这种波动方程的给出方法，这将是建立薛定谔方程最快捷的方法了。在名义上也是真正的符合薛定谔方程的。1.4 数学运算建立薛定谔方程 立论前提：哈密顿雅可比方程和哈密顿原理；量子客体具有波粒二象性。考虑到哈密顿雅可比方程 是波动力学方程的一种表现形式。其中是哈密顿函数，是作用函数是由 定义的。对于能量守恒体系，体系的哈密顿量就是体系的能量即 其中表示都要用、，来代替把变形至 然后代入式中，得 由式可推得 综合式、式即为式在能量守恒体系中，作用函数可以分离变量为 其中为常数通过，则式可得 对式进行变换，令 这是考虑到后面推导要涵括波粒二象性的需要。则 把式代入式中，得 注意到上式中仍是经典力学状态的哈密顿函数，故上式并非量子力学方程。下面着重考虑如何把波动性糅合进式中经典哈密顿函数为 结合式、式，可得 把式、式、式代入式中得 此方程仅是一个对单粒子适用的经典哈密顿雅可比方程，在经典力学中，波动性质只能在连续介质中体现。在连续性介质中，动力学方程为 其中是哈密顿变分算符，类似于微分算符，它满足：它作用在空间坐标上时或必须满足运动学约束条件则式可演变为 要使上式成立，且、为任意值所以有 引入拉格朗日密度，为动能密度与势能密度之差则 综上所述，对于一个具有波粒二象性的量子客体，我们得到了两个不同形式的动力学方程。即从粒子性角度所得的式和从波动性角度所得的式。根据前面的立论，我们承认单个量子客体同时具有波动性和粒子性双重性质。故而可令式等于式，即 由哈密顿算符的性质：一、对自变量的变分都为零，对函数变分不为零 二、函数在具有积分上下限时值不变，其变分为零对式进行变形，即变分算符与积分算符互换有: 把式、式、式、式代入式中得： 要使式恒成立则 由于式中式任意的，要使此式恒成立则必有 即 或 为哈密顿算符，形式上与经典力学哈密顿函数相似，只需令： 即具有波粒二象性的单个量子客体普遍成立的动力学方程薛定谔方程这种数学运算建立薛定谔方程最大的缺点就是复杂冗长，数学知识要求高，对于初学者学习薛定谔方程并不合适，最合适的还是用在对薛定谔方程的更一深层次的理解方面。通过分析其建立过程，发现它具有很强的逻辑性 ，而且最为突出的是处理方式的特别。我们可以看到这种方法立足于经典物理，通过一步步引导，建立了明确包含波粒二象性的薛定谔方程。这使得我们对薛定谔方程的出现具有清晰的视界，而且这种独树一帜的从经典物理的基础上引导，更深一层次的告诉我们：经典物理与量子力学之间并无不可跨越的鸿沟，甚至说经典物理的部分性质已经细微渗入到量子力学中。这值得我们深思：经典物理与量子力学究竟是什么关系？ 小 结 回顾以上四种建立薛定谔方程的方法，它们的共同点就是都承认波粒二象性，最终目标都得到了薛定谔方程。至于何种方法更为适宜，本文认为应该根据不同的知识层面来论断。在此，必须指明一点，现行的大多数量子力学教材中的薛定谔方程，其真实物理理念绝非薛定谔所认同的。大多数专著都采用了避而不谈其物理观念的方式，例如：“它反映了微观粒子的波粒二象性，我们在这里不对这种关系作进一步分析。”细究之下发现，现行教材多采用的是哥本哈根学派观点，即以波尔、海森伯为代表的哥本哈根学派认为量子力学对微观状态的描述是完备的，波函数用于准确描写单个体系的状态。然而，薛定谔在波粒二象性问题上，根本不同意哥本哈根学派否认一个微观客体同时是一个粒子又是一种波的观点。由此可见，现行的量子力学的基本方程都是强行打上薛定谔量子力学的标记，而其物理观念却为薛定谔所坚决反对。 2.薛定谔方程基本性质的讨论 2.1 波函数与态叠加原理 首先，引入周世勋版本的量子力学教程中的两个概念：一、波函数是用来描述一个微观体系的量子态；二、态叠加原理是波函数的线性叠加。通过查找，我们发现目前大多数有关量子力学的专著中，量子力学的波函数都是在建立薛定谔方程的过程中引入的。然而，波恩关于波函数的概率解释是从理论计算结果与实验比较而得到的。因此，必须搞清楚：波函数的几率解释并非附加在薛定谔方程上的独立假设，而是能够从构造的薛定谔方程中推导出来的。更加详细的态叠加原理的表述是，“波的相想干叠加性”与“波函数完全描述一个微观体系的状态。” 例如：对某一时刻而言，设用描述体系所处的状态，在此状态下测量力学量所得的结果为。在所描述状态下测量力学量的结果为，则在所描述状态下，测量力学量所得结果可能为，也可能为。假如态是含时间的变量函数，则态叠加原理还包括：设和分别描述粒子所处的两个可能态，则它们的线性叠加也代表粒子所处的某个状态。 2.2 概率流密度与概率的定域守恒 薛定谔方程为 左乘以，得 对式取复共轭 对左乘，得 由，得 即 其中为概率密度，表示单位体积中的粒子数目，为概率密度，表示单位时间通过与垂直的单位面积的粒子数目。在空间内取一封闭面S，体积为V对式作体积积分 左侧利用高斯定理，得 上式表明单位时间内在体积V中发现粒子的概率增加量，等于粒子由外界进入V内的概率。若令V，即在全空间， 即在全空间，薛定谔方程有如下性质：对任意局部空间而言，粒子数目定域守恒； 对全空间而言，总粒子数守恒。 2.3 薛定谔方程的一般解法 对薛定谔方程的求解问题，大多数都无法精确求解，除了一些简单的问题，例如：一维无限深势阱中的粒子、氢原子、线性谐振子等。对于多粒子体系，粒子之间有相互作用，只有在某种程度上忽略这种相互作用才能得到近似解。下面简介一下一维自由粒子情况下的薛定谔方程的一般解法。第一步：设波函数的初始值是通过分离变量 则有 即有 其中 第二步：把式代入式中得 即 令等式等于则得 ； 即 代入初始条件得 将展开成与左侧一样的傅里叶积分形式，并与之对比得 因此，可得 把代入上式得 此即一维自由粒子的薛定谔方程一般解。2.4 势场点和奇点处波函数的性质 我们知道，波函数在空间应该满足单值、有限、连续这三个条件。下面对此做三点讨论：倘若出现了粒子所在势场本身存在突变的情况，那么连续性的条件同样应该的得到满足，而且在突变处波函数及波函数的导数都应该满足连续性。倘若势场在某一界面突变为无穷大，那么在这个界面上的波函数导数将不再满足连续性。因为在的区域内，粒子根本不可能进入，也即，的导数不再连续。 倘若势场到处有限，但在某一点趋向无穷大。如果时该势场比更慢地趋向无穷大，则在原点附近的薛定谔方程中与其他项相比可以忽略不计，从而得到和自由运动相同的解，也即波函数的有限性条件仍能保持。2.5 能量平均值下限问题 设是函数的最小值。由于粒子的哈密顿量等于动能算符和势能算符之和，任一态中的能量平均值。同时可证明对总有，证明如下：设一个态平均动能，即 无解，故则 故对任意的态，有2.6 能谱分界点问题 考虑一个处于外场中的粒子，该场消失于无穷远处，定义在无穷远处为零。那么对应能量的所有定态都是束缚态，能量的负本征值是离散谱。这是因为连续谱的定态对应于系统的无限运动。对此我们可以作如下讨论得知：连续谱本证函数的叠加形式为 使式对某一时间间隔求平均值，并令时间间隔则的平均值也趋于，即这种结果只对应于无限空间内运动才成立。 若在整个空间内都是正值，在无穷远处，则有，这种情况对应于连续谱，即粒子作无限运动。3.实矩阵形式下的薛定谔方程建立 在此之前的分析中我们发现，薛定谔方程的建立没有从矩阵角度进行的，此处用实矩阵形势下的波函数给出一种新的建立薛定谔方程的方式。 通过得知，虚数单位和实属单位1可用实矩阵表示，如下： 则波函数的实矩阵形式为 将式对时间求偏微商，得 将式对求一阶偏微商，得 将式对求二阶偏微商，得 为了下面的运算简便，作如下的替换令式中， 令式中， 则式为 式为 由自由粒子的动量与能量 同时综合式和式，得 在式两侧去除符号并同时乘以即 为了使得上式更加明晰，接下来探讨一下M、N的关系 把式中的即代入中即有 即 推广至三维空间， 即自由粒子的三维薛定谔方程。我们这种方法依然具有从粒子波函数引进薛定谔方程方法的缺点，但是我们能够很好的给出不一样的建立视角，很好的增加读者对矩阵形式下的薛定谔方程的了解。4. 总结 本文通过对薛定谔方程建立的分析与讨论，给出了不同建立方法的优势与缺陷，这将有助于针对不同知识层面的读者，更好地了解薛定谔方程。同时本文通过对薛定谔方程背后的诸多性质进行了分析探讨，以此来增进读者对薛定谔方程的进一步了解。如果想对薛定谔方程具有清晰的全面的了解，不能够仅凭一家之言，而应该对多种方法进行分析讨论。本文最后通过实矩阵形式下的波函数建立了薛定谔方程，虽然不具有很大的新意，却是另一种不同的语言去表述薛定谔方程，也许这样的矩阵方法的使用在探讨量子力学的其他一些知识时，可以发现量子力学的一些新优点。 当然，本文对薛定谔方程的探讨只是初步的，未来可以更多的针对薛定谔方程建立的历史、薛定谔方程的解以及薛定谔方程的不同表现形式来展开讨论。致 谢： 首先要感谢指导老师吴波老师的辛勤指导，老师在百忙之中对于我的论文的写作总是给予积极的意见，同时让我独自思考，解决问题。另外在准备研究生复试和论文写作的双重压力