浅议如何做好高中数学应用问题教学.doc

河北师范大学高等教育自学考试本科毕业论文题目: 浅议如何做好高中数学应用问题教学考生姓名: 高 鹏考生所在单位: 河北宁晋中学准考证号:导师姓名: 丁雁鸿专 业: 数学教育完成日期: 2010年 2 月20 日浅议如何做好高中数学应用问题教学高 鹏 （河北宁晋中学 055550）摘要： 数学应用是运用数学知识 、数学方法和数学思想来分析研究客观世界的种种表象并加工整理和获得解决问题的过程。培养学生的数学应用意识，发展学生的实践能力是新课程改革的基本理念。本文讨论如何做好高中数学应用问题教学。 关键词： 高中数学； 应用问题； 数学建模数学是现代文化的重要组成部分，数学思想方法渗透到几乎每一个学科领域和人们日常生活的每一个角落，人们越来越认识到“高科技本质上是数学技术”、“数学已经从幕后走到了台前，在某些方面直接为社会创造价值”。数学应用越来越被社会所重视。能够运用所学知识解决实际问题，使学生形成用数学的意识，这是把数学教育转到提高公民素质教育轨道的一个重要措施。因此，培养中学生的数学应用意识，使学生掌握提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产、生活中的数学问题，准确而灵活地运用数学语言研究和表述问题，是中学数学教育教学的迫切要求，在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养，使学生对数学有一个比较完整的了解，树立正确的数学观，加大应用问题的教学力度。 一、认清数学知识的实用性数学知识的应用是广泛的，大至宏观的天体运动，小至微观的质子、中子的研究，都离不开数学知识，甚至某些学科的生命力也取决于对数学知识的应用程度。马克思曾指出：“一门科学只有成功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步。”生活中充满着数学，数学教师要善于从学生的生活中抽象出数学问题，使学生感到数学就在自己身边，从而产生兴趣。比如，学完了利息的计算公式：利息=本金利率期数，就可以让学生把自己节省的钱存入银行，并且预算一定时间后得到的利息。教学中提倡通过丰富的实例引入相应的概念、结论，引导学生应用数学知识去解决问题，并且尽可能让学生在经历探索、解决问题的过程中去体会数学的应用价值，目的是帮助学生认识到数学与学生自身有关，与实际生活有关，产生“要用数学，能用数学”的积极情感，逐步形成应用数学的意识，并在运用中孕育创新意识。二、高中数学新课程标准重视应用问题 注重数学与实际的联系，发展学生的应用意识和创新意识，力求让学生对现使世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，是新课程标准的基本理念。高中数学新教材很多内容都是通过丰富的实例展开，这一方面，活生生的例子也会增强学生学习数学的兴趣，产生学习数学的积极性，使他们感受到数学离自己很近，数学用重要用途，一定要学好数学。新教材内容的选择和呈现形式反映了相应教学内容本质的同时也达到了引起学生兴趣的目的。兴趣是最好的老师，也是学习好数学的保证。高中数学新教材在很多方面都注重数学兴趣的培养，注重数学知识的运用。例如：每章序言大都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。如数学必修4第一章三角函数以现实生活中自然规律：“地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；月亮圆缺变化的周期性，即朔-上弦-望-下弦-朔”等现象的周期性变化作为章头序言，激发学生学习欲望，增加教材内容的趣味性。在内容的编排上，既用通俗易懂的语言陈述问题，又附以插图增强直观形象性、趣味性。如在圆锥曲线这一章的开头,就有圆锥面被平面所截的图示,让学生知道圆锥曲线名称的由来,它们离我们的生活很近。又如在函数的概念教学中，函数概念的引入结合实际问题，使学生感受再一次学习函数概念的必要性，以及函数与实际生活的联系，从情感上激活学习的欲望，同时感受函数的广泛应用；对于函数三种表示方法的教学，重点是从实际问题的背景中，让学生选择恰当的表示方法，体会不同方法在具体问题中的应用；还通过函数模型的具体应用问题，让学生进一步体验函数的广泛应用。如用“不同质量信函的邮资问题”表示分段函数，实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫。 为了使学生亲自体验数学知识的应用，灵活运用数学知识解决实际问题，加强学生学习的自主活动性，培养综合运用知识的能力,阅读材料中的问题生动有趣，贴近学生生活，有利于拓宽学生知识面。而研究性课题也是培养学生应用意识和创新能的重要内容。教材中多处安排了实习作业和研究性课题，让学生动手操作，优化方案，归纳概括，恰当建模，运用理论指导实践，提高数学应用意识。三、高中数学应用问题的解答程序与关键环节教学中首先应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模思想。结合应用题的特点，解题的常规思路是：将实际问题抽象、概括、转化 - 数学问题 - 解决数学问题 -回答实际问题,如下表：实际问题数学问题数学问题结论实际问题结论数学化转化为数学问题数学作答问题解决回到数学问题在教学中应该从学生的实际情况出发，以学生为主体，帮组学生探索出适合自己的背景分析、数据提炼的手段，帮助学生寻找到从众多的文字、数据中排除试题的情景干扰，抓住问题关键的方法，突破因情景不熟悉所造成的思维困难。关键是要把握四个环节，即：读：由于数学应用的广泛性及实际问题情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，舍弃与数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量关系。为此，引导学生从粗读到细研，冷静、慎密的阅读题目，明确问题中所含的量及相关量的数学关系。对学生生疏情景、名词、术语,教师应作必要的解释和提示，以帮助学生将实际问题数学化。这一环节是基础。 建：明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或含字母的代数式表示，它们之间存在着怎样的联系,将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型。熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一环。 解:求解数学模型，得到数学结论。即要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作优化过程。 答：将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题。 解决数学应用问题的关键是根据题意建立正确的数学模型，下面就几个类型的具体数学问题展开研究。四、高中数学常见应用问题与数学模型例析（一）以函数与不等式为模型的知识应用例1 占地218公顷的世博园，在世博会后作为一个旅游景点吸引四方宾客。按规定旅游收入除上缴25%的税收外，其余自负盈亏。目前世博园工作人员维持在400人，每天运营成本20万元（不含工作人员工资），旅游人数x与人均消费额t(元)的关系如下：（1）若游客在1000人到4000人之间，按人均消费额计算，那么每天的收入额是多少？（2）要是工作人员平均每天的工资不低于50元且维持每天正常运营（不负债），每天的游客不少于多少人？解： （1）旅游收入等于人数乘以人均额。设当天的旅游收入为，由，得.由知，从而 ，得（2）要使工作人员平均每人每天的工资不低于50元且维持每天正常运营，即每天的旅游收入上税后不低于220000元由得.由得.于是，代入关于的关系式可求的最小值，解得 点评：是定义在自然数子集上的函数，在第（1）问中，建立旅游收入关于的函数时，如果转化为关于的函数，则会遇到困难。另外，利用的范围，先确定的范围，再确定的范围，和分段求解不等式都是重要的方法。（二）以数列为模型的知识的应用例2 某地建造一条地铁线的总投资估算为128.7亿元。其中资本金投入40亿元。发行债券融资30亿元，剩下资金政府担保由银行贷款解决。债券的年利率为4.51%,银行贷款年利率为5%，每年付息一次。若第一年营运收入为1.6亿元，且收入平均每年增长20%，地铁每年的经营管理费为2.3亿元。（1）营运第几年开始，当年营运收入超过支出？（2）若地铁三年建成，第一年投入资本金，第二年投入融资债券，第三年投入银行贷款，地铁建成后，营运多少年才能盈利？ 这是一道投资策划背景的问题，考查学生数据分析并建立模型能力，教学时为帮助学生审题，我在指导学生阅读题时，提出以下要求： 粗读，题目中涉及到哪些关键语句，哪些有用信息.细想，问题中各量哪些是已知的，那些是未知的，存在怎样的关系？ 建模，启发学生分析这道题与学过的、见过的哪些问题有联系，它们是如何解决的？对此有何帮助？ 学生讨论后，得到问题的解析。解：(1)设第年开始超过支出. 第年营运收入为，支出为. 解得， 即第九年开始，营运收入超过支出。(2) 设第年开始盈利，年内的总收入为，年内的总成本包括以下几个方面：债券本息和：;银行贷款本息和:;营运管理费:;资本金：40亿元。要盈利则收入大于总成本，即整理得：。用计算器求得，时，.所以，即第20年开始盈利。 五、对高中数学应用问题教学的几点想法在平时的数学应用教学过程中发现，学生解答应用题时普遍存在两个问题：1 审题存在问题，读不懂题意，对于题中的量的关系搞不清楚。2 建模问题，对于题中所出现的各个量，不清楚用那部分知识来把他们联系在一起，怎么解决这些问题。这就要求我们教师做好以下几点：首先， 教师在教学重要指导学生用数学知识解决一些学生力所能及的实际问题，使学生亲身感受数学与现实生活、现实世界的联系，数学在现实生活中的应用价值。解应用题所需要的综合能力的形成和提高，不是单靠讲几道题、做几次练习就能一蹴而就的,数学应用题的教学应贯穿于整个高中数学教学的始终.要依纲（大纲）靠本（课本），统筹安排，随着教学进度，精心适时地切入应用题教学,特别是要做好应用题启蒙教育.在教学中，要运用各种教学手段吸引学生，例如可以让全班学生齐声朗读题目，通过师生问答和学生讨论，努力创造一种宽松、和谐的氛围，引导学生积极主动地参与到学习活动中来，使每个学生能最大限度地提高自己的应用数学的意识与能力. 还要注意适当地补充练习题和测试题.不过，引进的题目一定要有针对性和计划性，切忌盲目性和随意性，也不要搞题海战术。课下，学生可以通过网络搜索一些与生活密切相关的应用问题，相互交流解决。 其次，在应用问题的教学和指导中，应重视介绍数学知识的根源。有一首诗写到“问渠那得清如许，为有源头活水来”。一般情况下，数学知识的产生不外乎实际的需要和数学内部的需要，高中阶段所学的知识大都是来源于实际生活，许多的数学知识都有具体直接的应用，例如，在学习圆锥曲线时，可以发动学生从实际情景中去发现圆锥曲线的现实背景（如行星运行的轨道、抛物运动的轨迹、探照灯的镜面等），以及圆锥曲线在现实世界中的应用，并用圆锥曲线的有关知识解释、解决一些实际问题，在此基础上让学生感受和体验数学的应用价值。 再次，教师自身要学会从实际当中发现一些数学问题，并在教学活动中关键是搜集一些适合学生参与的“好的问题”，教师在选择这些问题时，应特别注意以下几点：应努力选择与学生的生活实际相关的问题，并减少对问题不必要的人为加工和刻意雕琢;数学建模问题应努力表现出建模的全过程，而不仅仅是解决问题本身；数学建模选用的问题最好有较为宽泛的数学背景，题目难度要多层次，以便于不同水平的学生的参与。六、总结综上所述，在数学应用问题教学中构建学生的数学建模意识与素质教学所要求的培养学生的创造性思维能力是相辅相成，密不可分的。要真正培养学生的应用能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中应立足于“做”而不是“讲”,立足于学生对问题的分析，对解决问题的理解，而不仅仅以有正的解答为满足。必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉的在学习过程中构建数学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学。在应用问题教学中还应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，使学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台。参考文献： 1 严士健 张奠宙 王尚志主编，普通高中数学课程标准（实验）解读，江苏教育出版社2004.32 章建跃主编，普通高中课程标准实验教科书（必修）数学 第四册，人民教育出版社，2009.9.3 钱珮玲主编，普通高中课程标准实验教科书（必修）数学 第一册，人民教育