2.3连续型随机变量及分布.ppt

概率论与数理统计 2 3连续型随机变量 概率论与数理统计 主要内容 一 连续型随机变量的概念 二 常见的连续型分布 一 连续型随机变量的概念 定义2 3 1如果对于随机变量的分布函数F x 存在非负函数p x 使得对于任意的实数x 有 则称为连续型随机变量 其中函数p x 称为的概率密度函数 简称概率密度 probabilitydensityfunction 注 连续型随机变量由其密度函数唯一确定 1 定义 分布函数与密度函数的几何意义 由定义知道 概率密度p x 具有以下性质 2 密度函数的性质 非负性 规范性 反过来 定义在R上的函数p x 如果具有上述两个性质 即可定义一个分布函数F x 3 F x 在R上连续 且在p x 的连续点处 有 对连续型随机变量 分布函数和密度函数可以相互确定 因此密度函数也完全刻画了连续型随机变量的分布规律 4 设为连续型r v 对任意的实数x有 这表明连续型随机变量取个别值的概率为0 这与离散型随机变量有本质的区别 顺便指出并不意味着是不可能事件 若是连续型随机变量 a 是不 若为离散型随机变量 注意 连续型 离散型 可能事件 则有 不可能事件 5 对任意 有 这一个结果从几何上来讲 落在区间中的概率恰好等于在区间上曲线y p x 的曲边梯形的面积 同时可发现整个曲线y p x 与x轴所围成的图形面积为1 连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关 例1设是连续型随机变量 其密度函数为 解 由密度函数的性质知 试求 1 常数c 2 分布函数F x 3 从而 于是 2 3 例2设是连续型随机变量 其密度函数为 解 由密度函数的性质知 试求 1 常数c 2 分布函数F x 3 从而 于是 2 3 于是 当时 当时 例3设是连续型随机变量 其分布函数为 试求密度函数 设密度函数为p x 则 3 常见的连续型分布 1 均匀分布 则称服从区间 a b 上的均匀分布 记为 U a b 若随机变量的密度函数为 的分布函数为 x p x a b b a 密度函数的验证 是密度函数 即落在 a b 内任何长为d c的小区间的概率与小区间的位置无关 只与其长度成正比 这正是几何概型的情形 进行大量数值计算时 若在小数点后第k位进行四舍五入 则产生的误差可以看作服从的r v 随机变量 应用场合 均匀分布的概率背景 例3 解 设A 方程有实根 则 若的d f 为 则称服从参数为 的指数分布 记作 的分布函数为 0为常数 2 指数分布 0 密度函数的验证 是密度函数 对于任意的0 a b 应用场合 用指数分布描述的实例有 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 寿命 分布的近似 指数分布的概率背景 例4假定打一次电话所用的时间 单位 分 服从参数的指数分布 试求在排队打电话的人中 后一个人等待前一个人的时间 1 超过10分钟 2 10分钟到20分钟之间的概率 解 由题设知 故所求概率为 2 若的密度函数为 3 正态分布 则称服从参数为 2的正态分布 记作 N 2 亦称高斯 Gauss 分布 其中为常数 p x 所确定的曲线叫作正态曲线 正态概率密度函数的几何特征 6 当固定 改变 的大小 时 p x 图形的形状不变 只是沿着x轴作平移变换 位置参数 形状参数 正态分布的分布函数 密度函数的验证 由数学分析知识可知 从而 是密度函数 正态分布是最常见最重要的一种分布 例如测量误差 人的生理特征尺寸如身高 体重等 正常情况下生产的产品尺寸 直径 长度 重量高度等都近似服从正态分布 正态分布的应用与背景 正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布 这可以由以下情形加以说明 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的 可以证明 如果一个随机指标受到诸多因素的影响 但其中任何一个因素都不起决定性作用 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质 这些性质是其它许多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布 正态分布下的概率计算 原函数不是初等函数 方法一 利用MATLAB软件包计算 方法二 转化为标准正态分布查表计算 一种重要的正态分布 标准正态分布N 0 1 分布函数记为 其值有专门的表供查 例5证明 证明 解 例6 对一般的正态分布 N 2 其分布函数为 正态分布标准化 从而 故 设 则 例7设 N 1 4 求P 0 1 6 解 例8已知 且P 2 4 0 3 求P 0 解一 解二图解法 由图 例93 原理 设 N 2 求 解 一次试验中 落入区间 3 3 的概率为0 9974 而超出此区间可能性很小 由3 原理知 当 标准正态分布的上 分位数z 设 N 0 1 0 1 称满足 的点z 为X的上 分位数 z 常用数据 若的密度函数为 4 分布 则称服从参数为的 分布 其中为常数 特别的 当时 随机变量的密度函数为 称服从自由度为n的 分布 记作 特别地 当时 就为参数为的指数分布 二 二维连续型随机变量分布及其密度函数 1 定义 2 联合密度函数的性质 除d f 的一般性质外还有下述性质 1 2 若G是平面上的区域 则 4 P a b 0 P a 0 P a 0 3 边缘分布函数与边缘密度函数 与离散型相同 已知联合分布可以求得边缘分布 反之则不能唯一确定 例10设的概率密度是 解 求边缘密度 分段函数积分应注意其表达式 y x y x2 在求连续型随机变量的边缘密度时 往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分 当联合密度是分段函数时 在计算积分时应特别注意积分限 例11设r v的联合密度函数为 其中k为常数 求 常数c 联合分布函数F x y 边缘密度函数与边缘分布函数 4 解 1 故 由 得 2 3 4 三 两种常用分布 1 均匀分布 设G是平面上的有界区域 面积为A 若r v 的联合密度函数为 则称服从区域G上的均匀分布 记作U G 注 1 若服从区域G上的均匀分布 则 G1 G 设G1的面积为A1 G 向平面上有界区域G内任投一质点 若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比 而与B的形状及位置无关 B 则质点的坐标在G上服从均匀分布 若 分布 其联合密度函数为 相应的边际密度 由此说明 矩形区域上的均匀分布其边际密度是一维的均匀分布 其他形式不一定成立 服从G上的均匀 2 边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的边缘分布仍为均匀分布 y x a0a 例12 设服从椭圆域上的均匀分布 求的边缘密度函数 解 由题知 X Y 的概率密度为 同理可得 与不服从均匀分布 二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布的 例13设 G上的均匀分布 p x y P 2 在平面上的落点到y轴距离小于0 3的概率 求 解 1 2 3 2 二维正态分布 若r v 的联合密度函数为 则称服从参数为 1 12 2 22 的正态分布 记作 N 1 12 2 22 其中 1 2 0 1 1 二维正态分布图 二维正态分布剖面图 解 例13 求二维正态分布的边缘密度 二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 均与 无关 逆命题成立吗 由边缘分布一般不能确定联合分布 请看下例 例14设的联合密度函数为 求边际密度函数 解 同理 即都是标准正态分布的随机变量 但却不是二维正态分布 但反之不真 二维正态分布性质 二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的 正态分布的联合分布未必是正态分布 但反之不真 联合分布和边缘分布的关系 我们与一维情形相对照 采用类比和转化的手段 介绍了二维随机变量的联合分布 边缘分布 由联合分布可以确定边缘分布 但由边缘分布一般不能确定联合分布 在什么情况下 由边缘分布可以唯一确定联合分布呢 四 随机变量独立性 注 1 2 随机