2021高三数学北师大版（文）课后限时集训：圆锥曲线中的证明与存在性问题含解析.doc

教学资料范本2021高三数学北师大版（文）课后限时集训：圆锥曲线中的证明与存在性问题含解析编 辑：_时 间：_圆锥曲线中的证明与存在性问题建议用时：45分钟1(20xx全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A、B两点、线段AB的中点为M(1、m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点、P为C上一点、且0.证明：2|.证明(1)设A(x1、y1)、B(x2、y2)、则1、1.两式相减、并由k得k0.由题设知1、m、于是k.由题设得0m、故k.(2)由题意得F(1,0)设P(x3、y3)、则(x31、y3)(x11、y1)(x21、y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1、y3(y1y2)2m0.又点P在C上、所以m、从而P、|.于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|.2(20xx福州模拟)设抛物线E：y22px(p0)的焦点为F、直线xp与E交于A、B两点、ABF的面积为8.(1)求E的方程；(2)若M、N是E上的两个动点、|MF|NF|8、试问：是否存在定点S、使得|SM|SN|？若存在、求出S的坐标；若不存在、请说明理由解(1)依题意得F.由得yp、不妨设A(p、p)、B(p、p)、则|AB|2p .又F到直线AB的距离为、所以SABF2pp2.依题意得、p28、解得p4、所以E的方程为y28x.(2)法一：设M(x1、y1)、N(x2、y2)、MN的中点为C(x0、y0)、则x0、y0.由抛物线的定义、得|MF|NF|x12x22、因为|MF|NF|8、所以x1x24、所以x02.当x1x2时、y1y20、kMN、线段MN的垂直平分线为yy0(x2)、即y(x6)、所以线段MN的垂直平分线恒过定点S(6,0)；当x1x2时、线段MN的垂直平分线为x轴、它也过点S(6,0)综上、存在定点S(6,0)、使得|SM|SN|.法二：假设存在定点S、使得对E上满足条件的动点M、N恒有|SM|SN|、由对称性可知、点S必在x轴上、故可设S(t,0)、M(x1、y1)、N(x2、y2)由抛物线的定义、得|MF|NF|x12x22、因为|MF|NF|8、所以x1x24、由|SM|SN|、得、所以(x1t)28x1(x2t)28x2、即(x1x2)(82t)(x1x2)0、所以(6t)(x1x2)0、因为对满足条件的任意M、N恒成立、所以t6.故存在定点S(6,0)、使得|SM|SN|.法三：设M(x1、y1)、N(x2、y2)、MN的中点为C(x0、y0)由抛物线的定义、得|MF|NF|x12x22、因为|MF|NF|8、所以x1x24、故x02.当直线MN的斜率存在时、可设其方程为ykxb(k0)、由得ky28y8b0.6432kb、令0、得kb0)分别相交于A、B两点、且OAOB.(1)求抛物线C的方程；(2)试问：在x轴的正半轴上是否存在一点D、使得ABD的外心在抛物线C上？若存在、求点D的坐标；若不存在、请说明理由解(1)设A(x1、y1)、B(x2、y2)、由题意知、联立得x22px8p0、则x1x22p、x1x28p、从而y1y2(x14)(x24)x1x24(x1x2)16.OAOB、x1x2y1y22x1x24(x1x2)160、即16p8p160、解得p2、故抛物线C的方程为x24y.(2)设线段AB的中点为N(x0、y0)、由(1)知、x02、y0x046、则线段AB的中垂线方程为y6(x2)、即yx8.联立得x24x320、解得x8或x4、从而ABD的外心P的坐标为(4,4)或(8,16)假设存在点D(m,0)(m0)、若点P的坐标为(4,4)、|AB|4、|PA|4、则|DP|4.m0、m44.若点