明确方向 科学备考(北京高考数学研讨会资料)人教版.ppt

明确方向科学备考2008 1 5北京 一 基本情况与命题趋势 1 2007年数学高考的主要特点可以概括为 稳定 过渡 创新 在实施统一考试 分省命题的第四年 稳定成为十分显著的基本形势 高考的命题更加趋向科学 规范 充实和成熟 随着实施高中新课程标准的数学教学的省 市和自治区范围逐步扩大 思考并实践数学高考向课程标准卷的过渡 必然成为近几年高考命题关注的热点 在不断积累经验 相互学习借鉴的过程中 命题力求有所创新 又成为努力追求的目标之一 2 稳定 过渡 创新也是2008年数学高考的基本趋势 因此 深入研究高考 明确复习方向 实施科学备考 提高复习效率 应当成为新一轮复习备考的基本方针 二 关注学科特点重视数学实质 1 概念性强数学是由概念 命题组成的逻辑系统 而概念是基础 数学中每一个术语 符号和习惯用语都有着具体的内涵 解题时首先要透彻理解概念的含义 弄清不同概念的区别和联系 例1设a b r 集合 1 a b a 则b a a 1b 1c 2d 1 1 a b a a 0a b 0 a 1 b 1 例2中学数学中存在许多关系 比如 相等关系 平行关系 等等 如果集合a中元素之间的一个关系 满足以下三个条件 1 自反性 对于任意a a 都有a a 2 对称性 对于任意a b a 若a b 则有b a 3 传递性 对于a b c a 若a b b c 则有a c 则称 是集合的一个等价关系 例如 数的相等 是等价关系 而 直线的平行 不是等价关系 自反性不成立 请你再列出三个等价关系 例3如果有穷数列a1 a2 am m为正整数 满足条件 a1 am a2 am 1 am a1 即ai am i 1 i 1 2 m 我们称其为 对称数列 例如 数列1 2 5 2 1与数列8 4 2 2 4 8都是 对称数列 1 设 bn 是7项的 对称数列 其中b1 b2 b3 b4是等差数列 且b1 2 b4 11 依次写出 bn 的每一项 2 设 cn 是49项的 对称数列 其中c25 c26 c49是首项为1 公比为2的等比数列 求 cn 各项的和s 3 设 dn 是100项的 对称数列 其中d51 d52 d100是首项为2 公差为3的等差数列 求 dn 前n项的和sn n 1 2 100 2 充满思辨性这个特点源于数学的抽象性 系统性和逻辑性 数学是思维型的学科 逻辑推理是基本的研究方法 为了正确解答数学试题 要求考生具备一定的观察 分析和推断能力 例4对于向量a b和实数 下列命题中真命题是a 若a b 0 则a 0或b 0b 若 a 0 则 0或a 0c 若a2 b2 则a b或a bd 若a b a c 则b c 反例a 0 1 b 1 0 c 1 0 a b 0 但a 0 且b 0a2 b2 1 但a b 且a ba b a c 0 但b c 例5平面 平面 的一个充分条件是 存在一条直线a a a 存在一条直线a a a a 存在两条平行直线a b a a b a b 存在两条异面直线a b a a b a b 例6命题 对任意的x r x3 x2 1 0 的否定是a 不存在x r x3 x2 1 0b 存在x r x3 x2 1 0c 存在x r x3 x2 1 0d 对任意的x r x3 x2 1 0 3 量化突出数学试题中定量性占有较大的比重 要把概念 法则 性质寓于计算之中 在运算中考查对算理 运算法则的理解程度 灵活运用的能力及准确严谨的科学态度 例7下列四个数中最大的a ln2 2b ln ln2 c d ln2 0 ln2 1 ln ln2 0 ln2 2 ln2 例8一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上 已知正三棱柱的底面边长为2 则该三角形的斜边长为 例9若不等式组表示的平面区域是一个三角形 则a的取值范围是a a b 0 a 1c 1 a d 0 a 1或a 4 解法多样一般数学试题的结果虽确定唯一 解法却多种多样 这有利于考生发挥各自的特点 灵活解答 真正显现其水平 例10设p为双曲线上的一点 f1 f2是该双曲线的两个焦点 若 pf1 pf2 3 2 则 pf1f2的面积为a b 12c d 24 例11在r上定义的函数f x 是偶函数 且f x f 2 x 若在区间 1 2 上是减函数 则f x a 在区间 2 1 上是增函数 在区间 3 4 上是增函数b 在区间 2 1 上是增函数 在区间 3 4 上是减函数c 在区间 2 1 上是减函数 在区间 3 4 上是增函数d 在区间 2 1 上是减函数 在区间 3 4 上是减函数 思路一f x f 2 x f 1 x f 1 x f x 的图象关于直线x 1对称思路二f 2 x f x f x f 2 x f x f x 是周期函数 t 2 例12函数的一个单调增区间是a b c d 方法一方法二 三 揭示内在联系构建知识网络 对数学知识的考查 既要全面又突出重点 注重学科的内在联系和知识的综合性 从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题 在知识网络的交汇点设计试题 使对数学知识的考查达到必要的深度 1 函数与导数 方程 不等式 例13已知二次函数f x ax2 bx c的导数为f x f 0 0 对于任意实数x 有f x 0 则的最小值为 3 2 f x ax2 bx c f x 2ax b f 0 b 0f x ax2 bx c 0恒成立 a 0 b2 4ac 0 例14设函数f x ex e x 1 证明 f x 的导数f x 0 2 若对所有x 0 都有f x ax 求a的取值范围 2 数列与函数 不等式 例15若数列 an 的前n项和sn n2 10n 则此数列的通项公式为an 数列 nan 中数值最小的项是第项 例16设数列 an 的首项a1 0 1 1 求 an 的通项公式 2 设 证明bn bn 1 其中n为正整数 3 平面三角与平面向量 例17如图 在 abc中 bac 120 ab 2 ac 1 d是边bc上一点 dc 2bd 则 例18设函数f x a b 其中向量a m cos2x b 1 sin2x 1 x r 且y f x 的图象经过点 1 求实数m的值 2 求函数f x 的最小值及此时x值的集合 4 空间图形与平面图形 例19在正方体上任意选择4个顶点 它们可能是如下各种几何形体的4个顶点 这些几何形体是 矩形 不是矩形的平行四边形 有三个面为等腰直角三角形 有一个面为等边三角形的四面体 每个面都是等边三角形的四面体 每个面都是直角三角形的四面体 例20四棱锥s abcd中 底面abcd为平行四边形 侧面sbc 底面abcd 已知 abc 45 ab 2 1 证明sa bc 2 求直线sd与平面sab所成角的大小 5 解析几何与函数 向量 例21设f为抛物线y2 4x的焦点 a b c为该抛物线上三点 若 则a 9b 6c 4d 3 例22如图 有一块半椭圆形钢板 其长半轴长为2r 短半轴长为r 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状 下底ab是半椭圆的短轴 上底cd的端点在椭圆上 记cd 2x 梯形面积为s 1 求面积s以x为自变量的函数式 并写出其定义域 2 求面积s的最大值 6 计数与概率 统计 例23从5张100元 3张200元 2张300元的奥运预赛门票中任取3张 则所取3张中至少有2张价格相同的概率为 例24某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动 该校合唱团共有100名学生 他们参加活动的次数统计如图所示 1 求合唱团学生参加活动的人均次数 2 从合唱团中任意选两名学生 求他们参加活动次数恰好相等的概率 3 从合唱团中任选两名学生 用 表示这两人参加活动次数之差的绝对值 求随机变量 的分布列及数学期望e 四 强调数学思想淡化特殊技巧 数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括 它蕴涵在数学知识发生 发展和应用的过程中 考查时要从学科整体意义和思想含义上立意 注意通性通法 淡化特殊技巧 例25 abc中 内角 边 设内角b x 周长为y 1 求函数y f x 的解析式和定义域 2 求y的最大值 例26如图 等腰 abc的底边 高cd 3 点e是线段bd上异于点b d的动点 点f在bc边上 且ef ab 现沿ef将 bef折起到 pef的位置 使pe ae 记be x v x 表示四棱锥的体积 1 求v x 的表达式 2 当x为何值时 v x 取得最大值 3 当v x 取得最大值时 求异面直线ac与pf所成角的余弦值 正方形abcd abef的边长都是1 且平面abcd abef互相垂直 点m在ac上移动 点n在bf上移 若 1 求mn的长 2 当a为何值时 mn的长最小 3 当mn的长最小时 求面mna与面mnb所成的二面角的大小 例27已知d是 abc中ab边上一点 若 则 a b c d 例28设a b c均为正数 且 则 a b c c b a c a b b a c 例29在平面直角坐标系xoy中 已知 abc的顶点a 4 0 和c 4 0 顶点b在椭圆上 则 例30从班委会5名成员中选出3名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委员 其中甲 乙二人不能担任文娱委员 则不同的选法共有种 例31已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3 a 如果函数y f x 在区间 1 1 上有零点 求a的取值范围 例32设等差数列 an 的公差d不为0 a1 9d 若ak是a1与a2k的等比中项 则k a 2b 4c 6d 8 例33直角 abc中 cd是斜边上的高 则下列等式不成立的是a b c d 例34将杨辉三角中的奇数换成1 偶数换成0 得到如图所示的0 1三角数表 从上往下数 第1次全行的数都为1的是第1行 第2次全行的数都为1的是第3行 第n次全行的数都为1的是第行 第31行中1的个数是 五 深化能力立意 倡导理性思维 数学是一门思维的科学 思维能力是数学学科能力的核心 数学高考把思维能力的考查放在重要的位置 1 空间想象能力 对空间形式的观察 分析 抽象和处理的能力 主要表现为识图 画图和对图形的想象 数学高考对空间想象能力提出了三个方面的要求 能根据条件做出正确的图形 根据图形想象出直观形象 能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系 能对图形进行分解 组合与变换 会运用图形形象地揭示问题的本质 例35一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱 这个四棱锥的底面为正方形 且底面边长与各侧棱长相等 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等 设四棱锥 三棱锥 三棱柱的高分别为h1 h2 h3 则h1 h2 h3 a 1 1b 2 2c 2 d 2 例36已知某几何体的三视图 根据图中标出的尺寸 单位 可得几何体的体积是a 3b 3c 2000 3d 4000 3 2 抽象概括能力 从具体的 生动的实例 在抽象概括的过程中 发现研究对象的本质 从给定的大量信息材料中 概括出一些结论 并能应用于解决问题或做出新的判断 抽象是指舍弃事物非本质的属性 揭示其本质的属性 概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程 抽象和概括是相互联系的 没有抽象就不可能有概括 而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或某项结论 例37给出下列三个等式 f xy f x f y f x y f x f y 下列函数中不满足其中任何一个等式的是a f x 3xb f x sinxc f x log2xd f x tanx 例38设s是至少含有两个元素的集合 在s上定义了一个二元运算 即对任意的a b s 对于有序元素对 a b 在s中有唯一确定的元素a b与之对应 若对任意的a b s 有a b a b 则对任意的a b s 下列等式中不恒成立的是a b c d 3 推理论证能力 根据已知的事实和已获得的正确数学命题 论证某一数学命题的真实性的能力 推理是数学思维的基本形式 贯穿于数学学习与解题过程的始终 论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的正确性的一连串的过程 推理既包括合情推理 也包括演绎推理 论证方法既包括按形式划分的归纳法和演绎法 也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法 一般说来 运用合情推理探索和发现结论 再运用演绎推理进行证明 例39等差数列 an 的前n项和为sn a1 1 s3 9 3 1 求数列 an 的通项与前n项和sn 2 设n 求证 数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 例40在平面直角坐标系xoy中 经过点 且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点p和q 1 求k的取值范围 2 设椭圆与x轴正半轴 y轴正半轴的交点分别为a b 是否存在常数k 使得向量与共线 如果存在 求k值 如果不存在 请说明理由 4 运算求解能力 会根据法则 公式进行正确的运算和变形 能根据问题的条件 寻找与设计合理 简捷的运算途径 能根据要求对数据进行估计和近似计算 高考试题中 半数以上需要运算求解 有的证明问题也需借助于运算进行推理 运算能力包括分析运算条件 探究运算方向 选择运算公式 确定运算程序等 例41已知抛物y2 2px p 0 的焦点为f p1 x1 y1 p x2 y2 p x3 y3 在抛物线上 且2x2 x1 x3 则有a b c d 例42在直角坐标系xoy中 以o为圆心的圆与直线相切 1 求圆o的方程 2 圆o与x轴相交于a b两点 圆内的动点p使 pa po pb 成等比数列 求的取值范围 5 数据处理能力 会收集数据 整理数据 分析数据 能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息 并做出判断 数据处理能力主要依据统计和统计案例中的方法对数据进行整理 并解决给定的实际问题 例43某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支 该公司对这些灯管的使用寿命 单位 小时 进行了统计 统计结果如下表所示 1 将各组的频率填入表中 2 根据上述统计结果 计算灯管使用寿命不足1500小时的频率 3 该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支 若将上述频率作为概率 试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率 例44在生产过程中 测得纤维产品的纤度 表示纤维粗细的一种量 共有100个数据 将数据分组如右表 1 在答题卡上完成频率分布表 并在给定的坐标系中画出频率分布直方图 2 估计纤度落在中的概率及纤度小于1 40的概率是多少 3 统计方法中 同一组数据常用该组区间的中点值 例如区间的中点值是1 32 作为代表 据此 估计纤度的期望 6 应用意识 主要采用应用问题的形式 主要过程是依据现实的生活背景 提炼相关的数量关系 将实际问题转化为数学问题 构造数学模型 并加以解决 要求考生能理解对问题陈述的材料 并对所提供的信息资料进行归纳 整理和分类 将实际问题抽象为数学问题 应用相关的数学方法解决问题并加以验证 能用数学语言正确地表达和说明 应用问题的命制坚持 贴近生活 背景公平 控制难度 的原则 切合中学数学教学的实际 应用问题的难度符合考生的水平 例45测量河对岸的塔高ab时 可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d 现测得 并在点c测得塔顶a的仰角为 求