§33 导数的应用(二).ppt

3 3导数的应用 二 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 对函数的最大值与最小值的理解最值是一个整体性概念 是指函数在给定区间 或定义域 内所有函数值中最大的值与最小的值 在求函数的最值时 要注意以下几点 1 最值与极值的区别极值是指某一点附近函数值的比较 因此 同一函数在某一点的极大 小 值 可以比另一点的极小 大 值小 大 而最大 最小值是指在闭区间 a b 上所有函数值的比较 因而 在一般情况下 两者是有区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 2 最值与极值的求法的区别 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导的函数f x 它的极值可以通过检查导数f x 在每一个零点两侧的符号来求得 而f x 在 a b 上的最大 小 值 则可以通过将各极值与端点的函数值加以比较来求得 其中最大 小 的一个即为最大 小 值 3 当f x 为连续函数且在 a b 上单调时 其最大值 最小值在端点处取得 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各变量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 利用导数解决实际问题中的最值问题的注意事项 1 在求实际问题的最大 小 值时 一定要注意考虑实际问题的意义 不符合实际问题的值应舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使f x 0的情形 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 3 在解决实际优化问题时 不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示 还应确定函数关系式中自变量的取值范围 考点自测 1 下列命题中真命题是 A 函数的最大值一定是函数的极大值B 函数的极大值可能会小于这个函数的极小值C 函数在某一闭区间上的极小值就是D 函数在开发区间内不存在最大值和最小值 解析 极值是局部问题 而最值是整体问题 答案 B 2 函数f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是 A 2B 0C 2D 4 解析 f x 3x2 6x 令f x 0 得x 0 x 2 舍去 比较f 1 f 0 f 1 的大小知f x max f 0 2 答案 C 3 已知函数f x x4 2x3 3m x R 若f x 9 0恒成立 则实数m的取值范围是 解析 因为函数f x x4 2x3 3m 所以f x 2x3 6x2 令f 0 0 得x 0或x 3 经检验知x 3是函数的最小值点 所以函数的最小值为f 3 3m 不等式f x 9 0恒成立 即f x 9恒成立 所以3m 9 解得m 答案 A 4 已知函数f x x3 12x 8在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为M m 则M m 解析 f x 3x2 12 令f x 0 得x 2 f 3 1 f 3 17 f 2 8 f 2 24 则M 24 m 8 郙 m 32 答案 32 题型突破 题型一tixingyi应用导数求已知函数的最值 例1 2008 浙江高考题改编 已知a为实数 函数f x x2 x a 求f x 在区间 0 2 上的最值 解析 f x x2 x a x3 ax2 f x 3x2 2ax 3x x 令f x 0 得x1 0或x2 规律方法 先求函数f x 的导函数f x 并解方程f x 0 再对a进行分类讨论确定f x 的单调区间 进而求得f x 在 0 2 上的最大值和最小值 令f x 0 得x 3或x 1 令f x 0 得 3 1 且x 0 随x的变化 f x f x 的变化情况如下 f x 在 4 上的最大值为0 最小值为 2 2 g x 令x2 4x 3a 0 则 16 12a 当 0 即a 时 g x 0 故g x 没有极值点 当 0 即0 a 时 x1 2 x2 2 0 减区间为 x1 x2 0 增区间为 x1 x2 故有两个极值点x1 x2 题型二tixinger利用导数求解不等式恒成立问题 例2 设函数f x tx2 2t2x t 1 x R t 0 1 求f x 的最小值h t 2 若h t 2t m对t 0 2 恒成立 求实数m的取值范围 解析 1 f x t x t 2 t3 t 1 x R t 0 当x t时 f x 取最小值f t t3 t 1 即h t t3 t 1 2 令g t h t 2t m t3 3t 1 m 由g t 3t2 3 0 得t 1或t 1 不合题意 舍去 当t变化时 g t g t 的变化情况如下表 g t 在 0 2 内有最大值g 1 1 m h t 1 规律方法 不等式f x m 或 m 恒成立的问题可以转化为求函数f x 的最小 大 值问题 f x m恒成立 即m f x min f x m恒成立即f x max m 创新预测2设函数f x x2 ex xex 1 求f x 的单调区间 2 若当x 2 2 时 不等式f x m恒成立 求实数m 解析 1 函数f x 的定义域为 因为f x x ex ex xex x 1 ex 由f x x 1 ex 0得x0 则f x 的单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 2 由 1 知 f x 在 0 2 上 2 0 单调递减 在上单调递增 又f 2 2 f 2 2 e2 且2 2 e2 所以x 2 2 时 f x min 2 e2 故mm恒成立 题型三tixingsan利用导数求解实际问题 例3 用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为2 1 问 该长方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 解析 设长方体的宽为xm 则长为2xm 高为h 4 5 3x m 0 x 故长方体的体积为 V x 2x2 4 5 3x 9x2 6x3 0 x 从而V x 18x 18x2 18x 1 x 令V x 0 解得x 0 舍去 或x 1 因此x 1 当00 当1 x 时 V x 0 故在x 1处V x 取得极大值 并且这个极大值就是V x 的最大值 从而最大体积V V 1 9 12 6 13 3 此时长方体的宽为1m 长为2m 高为1 5m 故当长方体的长为2m 宽为1m 高为1 5m时 体积最大 最大体积为3m3 规律方法 在求实际问题中的最大值或最小值时 一般是先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数的最值的方法求解 注意结果应与实际情况相结合 用导数求解实际问题中的最大 小 值时 如果函数在区间内只有一个极值点 那么依据实际意义 该极值点也就是最值点 创新预测3某地政府为科技兴市 欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区 如图中阴影部分 形状为直角梯形QPRE 线段EQ和RP为两个底边 已知AB 2km BC 6km AE BF 4km 其中AF是以A为顶点 AD为对称轴的抛物线段 试求该高科技工业园区的最大面积 解析 以A为原点 AB所在直线为x轴 AD所在直线为y轴建立直角坐标系 如图 则A 0 0 F 2 4 由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y ax2 a 0 由4 a 22 得a 1 则AF所在抛物线的方程为y x2 又 E 0 4 C 2 6 EC所在直线的方程为y x 4 设P x x2 0 x 2 则PQ x QE 4 x2 PR 4 x x2 工业园区的面积S 4 x2 4 x x2 x x3 x2 4x 0 x 2 S 3x2 x 4 令S 0得x 或x 1 舍去 当x变化时 S 和S的变化情况如下表 由表格可知 当x 时 S取得最大值 即该高科技工业园区的最大面积为km2 对接高考 1 2009 福建质检 已知f x 是函数y f x 的导函数 且y f x 的图象如右图所示 则函数y f x 的图象可能是 解析 由导函数f x 的图象可知 f x 在x 0 2 上恒大于零 在x 2 上恒小于0 由函数的导数与函数的单调性关系可以知道 函数f x 在x 0 2 上单调递增 在x 2 上单调递减 结合选项可知选D 答案 D 2 2009 安徽皖南八校联考 函数y f x 在定义域 3 内可导 其图象如图所示 记y f x 的导函数为y f x 则不等式f x 0的解集为 解析 由函数y f x 在定义域 3 内的图象可得 函数y f x 的大致图象如图所示 由图象可得不等式f x 0的解集为 答案 3 2010 安徽蚌埠一中月考 已知a R 函数f x xln x a 1 x 1 若f x 在x e处取得极值 求函数f x 的单调区间 2 求函数f x 在区间 e2 e 1 上的最大值g a 解析 1 f x ln x a 由题意知f e 0 解得a 1 f x ln x 1 当x e 时 f x 0 当x e 0 时 f x 0 故函数f x 的单调增区间为 e 单调减区间为 e 0 2 f x ln x a 由f x 0得x e a 当x e a 时 f x 0 当x e a 0 时 f x 1时 e a e 1 函数f x 在区间上单调递增 f x max f e 1 综上所述 得 高效作业 一 选择题 1 2009 宁夏石嘴山一模 函数y 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值 最小值分别是 A 5 15B 5 4C 4 15D 5 16 答案 A 解析 令y 6x2 6x 12 0 得x 1 舍去 或x 2 故函数y f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最值可能是x取0 2 3时的函数值 而f 0 5 f 2 15 f 3 4 故最大值为5 最小值为 15 答案 B 解析 方法一 代入则可比较得f 2cos 最大 故选B 方法二 y x 2cosx 1 2sinx 令1 2sinx 0 且x 0 时 x 当x 时 f x 0 f x 单调递减 f x max f 3 已知f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2 2 上的最小值是 A 37B 29C 5D 以上都不对 答案 A 解析 令f x 6x2 12x 6x x 2 f x 在 2 0 上为增函数 在 0 2 上为减函数 当x 0时 f x m最大 m 3 从而f 2 37 f 2 5 最小值为 37 4 函数y 1 3x x3有 A 极小值 1 极大值1B 极小值 2 极大值3C 极小值 2 极大值2D 极小值 1 极大值3 答案 D 解析 由y 1 3x x3 得y 3x2 3 令y 0 即 3x2 3 0 得x 1 当x 1时 有y极大值 1 3 1 3 当x 1时 有y极小值 1 3 1 1 5 已知对任意实数x 有f x f x g x g x 且x 0时 f x 0 g x 0 则x0 g x 0B f x 0 g x 0D f x 0 g x 0 答案 B 解析 f x f x g x g x f x 为奇函数 g x 为偶函数 从而f x 为偶函数 g x 为奇函数 x 0且f x 0 g x 0 x0 f x f x 0 g x g x 0 选B 6 已知二次函数f x ax2 bx c的导数为f x f 0 0 对于任意实数x 都有f x 0 则的最小值为 A 3B C 2D 答案 C 二 填空题 7 2009 浙江五校联考 已知f x 2x3 6x2 a a为常数 在 2 2 上有最小值3 那么f x 在 2 2 上的最大值是 答案 43 解析 令f x 6x2 12x 0 则x 0或x 2 因f 0 a f 2 a 8 f 2 a 40 故a 40 3 a 43 f x 在 2 2 上最大值为f x max f 0 43 8 用边长为48cm的正方形铁皮做一无盖的铁盒时 在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形 然后把四边折起 就能焊成铁盒 所做的铁盒容积最大时 在四角截去的正方形的边长为 答案 8cm 解析 设截去的正方形边长为xcm 则铁盒的底面边长为 48 2x cm 高为xcm 其中x 0 24 容积V 48 2x 2x 0 x 24 V 2 48 2x 2 x 48 2x 2 12 x 8 x 24 令V 0 解得x 8或x 24 舍 在x 8处附近 当x0 x 8时 V 0 则在 0 24 内 当x 8时 函数取得最大值 即所做铁盒容积最大时 截去正方形的边长应为8cm 9 2009 天津摸底考试 已知函数f x x3 ax2 bx c x 2 2 表示过原点的曲线 且在x 1处的切线的倾斜角均为 有以下命题 f x 的解析式为f x x3 4x x 2 2 f x 的极值点有且只有一个 f x 的最大