2012《夺冠之路》数学文人教版一轮复习课件：（海南专用）第7章7.2平面向量的数量积

1 第二课时 平面向量的数量积 第七章平面向量 1 两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b 作OA a OB b 则 叫a与b的夹角 2 1 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b 它们的夹角是 0 则数量 叫a与b的数量积 记作a b 即有 且规定0与任何向量的数量积为 2 AOB 0 a b cos a b a b cos 0 2 两个向量的数量积的性质 设a b为两个非零向量 且a与b的夹角为 e是与b同向的单位向量 1 e a a e 2 a b 3 当a与b同向时 a b 当a与b反向时 a b 特别地 a a 4 cos 5 a b a b 3 a 2 a b a b a b 0 a cos 3 投影定义 叫做向量b在向量a的方向上的投影 投影也是一个数量 不是向量 当 为锐角时投影为正值 当 为钝角时投影为负值 当 为直角时投影为0 当 0 时 投影为 b 当 180 时 投影为 b 4 b cos 4 平面向量数量积的运算律交换律 数乘结合律 分配律 5 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a x1 y1 b x2 y2 设i是x轴上的单位向量 j是y轴上的单位向量 那么a b 所以a b 5 x2i y2j x1i y1j a b c a c b c a b a b a b a b b a x1x2 y1y2 6 平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 那么 a 7 1 设a x1 y1 b x2 y2 a b 2 两向量a b的夹角的余弦 0 cos 6 x1 x2 2 y1 y2 2 x1x2 y1y2 0 1 下列各结论中正确的个数是 0 0 0 0 a 0 a b a b A 1B 2C 3D 4 7 错 数乘向量 两者之间不需要 且实数与向量的乘积为向量 错 a b a b cos a b a b cos a b 错 a b 0 a 0或b 0或a b 8 B 2 已知a b均为单位向量 它们的夹角为60 那么 a 3b 因为a b均为单位向量 且它们的夹角为60 所以所以故选C 9 C 3 若 a b 1 a b 且2a 3b与ka 4b也互相垂直 则k的值为 A 6B 6C 3D 3因为2a 3b与ka 4b垂直 a与b垂直 且 a b 1 所以 2a 3b ka 4b 2ka2 12b2 3k 8 a b 2k 12 0 所以k 6 10 B 4 若 a 1 b 且a a b 则向量a与b的夹角 因为a a b 所以a a b 0 即 a 2 a b 0 又 a 1 所以a b 1 所以 a b cos 1 所以所以 11 5 在 ABC中 a 5 b 8 C 60 则BC CA的值为 如图 由题知 BC CA 120 BC a 5 CA b 8 所以BC CA 5 8 cos120 20 12 20 1 数量积的定义 1 设a 5 7 b 6 4 则a b 2 已知e1 e2是夹角为60 的两个单位向量 若a 2e1 e2 b 3e1 2e2 则a b的夹角是 3 已知A 7 4 B 3 5 则 4 已知a 2 3 b 4 7 则a在b上的投影值为 13 2 120 5 已知 a 2 b 1 a与b之间的夹角为 3 那么 a 4b 的值为 2 平行与垂直 1 设 a 3 b 2 且a b与a b垂直 则 2 已知a 1 2 b x 1 则当x 时 a 2b 2a b 当x 时 a 2b 2a b 14 15 题型1 数量积的概念设a b c是任意的非零平面向量 且相互不共线 则下列命题 a b c c a b 0 a b a b b c a c a b不与c垂直 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4 b 2 16 其中是真命题的有 A B C D 对于 b与c是不共线的两个非零向量 且a b与c a不能都为零 故 错误 对于 由三角形两边之差小于第三边知 正确 对于 由数量积的运算法则 得 b c a c a b c b c a c c a b c 0 所以 b c a c a b c 故 错误 对于 3a 2b 3a 2b 9a2 4b2 9 a 2 4 b 2 故 正确 从而选D D 17 评注 判断上述问题的关键是掌握向量的数量积的含义 向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律 例如 由a b 0并不能得出a 0或b 0 特别是向量的数量积不满足结合律 即 a b c a b c 18 若平面四边形ABCD满足 则该四边形一定是 A 正方形B 矩形C 菱形D 梯形由得四边形ABCD为平行四边形 又因为所以所以AC BD 所以平行四边形ABCD为菱形 C 19 题型2 向量的夹角 1 已知a b是两个非零向量 且a 3b与7a 5b垂直 a 4b与7a 2b垂直 试求a与b的夹角大小 1 因为a 3b与7a 5b垂直 所以 a 3b 7a 5b 0 即7a2 16a b 15b2 0 又因为a 4b与7a 2b垂直 所以 a 4b 7a 2b 0 即7a2 30a b 8b2 0 得46a b 23b2 即2a b b2 代入 可得a2 b2 即 a b 设a与b的夹角为 则又因为 0 所以 20 2 已知 a 2 b 3 a和b的夹角为45 求使向量a b与 a b的夹角是钝角时 的取值范围 2 由已知 得因为a b与 a b的夹角是钝角 所以 a b a b 0 且a b与 a b不共线 由 得a b 2 a2 b2 a b 0 把a b 3 a2 b2 a 2 b 2 2 9 11 21 代入得3 2 11 3 0 解得又若a b与 a b共线 则有a b a b 即 1且 解得 1或 1 所以a b与 a b不共线时 有 1 综上知 的取值范围是 22 评注 数量积的定义和性质是解决垂直问题与夹角问题的重要方法 1 题中通过垂直的充要条件 得到 a b 这是本题的突破口 在等式2a b b2中 不能 约去 b 得出 2a b 注意这一点与实数乘法不同 23 2 题中 向量的夹角范围是 0 并且注意a2 a 2及夹角公式的应用 同时 a与b的夹角是钝角 可以得到a b 0 但这并不是a与b的夹角为钝角的充要条件 因为a与b的夹角是180 时也有a b 0 因此第二问要排除掉a与b反向的情形 想一想 若a与b的夹角是锐角时又要注意什么呢 24 25 已知平面向量a 1 2 b 1 1 且a与a b的夹角为锐角 求实数 取值范围 因为a与a b均不是零向量 且夹角为锐角 所以a a b 0 又a b 1 2 a 1 2 所以1 2 2 0 即当a与a b共线时 2 1 2 0 得 0 所以 的取值范围是 26 题型3 向量的平行与垂直如图 在矩形ABCD中 a b M N分别是AB CD的中点 2 1 1 求证 与共线 2 求证 3 求 a 3b 的值 4 若向量a 2b与a b垂直 求 的值 5 若点P从点A出发按逆时针方向沿矩形运动一周回到A点 试求当 取得最大值时点P的位置 27 建立如图所示的直角坐标系 则a 2 0 b 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 a 3b 2 3 a 2b 2 2 a b 2 28 1 证明 因为 1 1 所以与共线 2 证明 因为 1 1 1 1 1 1 0 所以 3 因为a 3b 2 3 所以 a 3b 29 4 因为向量a 2b与a b垂直 所以 a 2b a b 2 2 2 4 2 0 得 2 5 设P点从A点出发运动的路程为x 则 当0 x 2时 x 0 当2 x 3时 2 x 2 当3 x 5时 5 x 1 当5 x 6时 0 6 x 30 2xx 0 2 4x 2 3 10 2xx 3 5 0 x 5 6 故当 最大时 2 x 3 即P点在线段BC上 所以 31 评注 向量的平行与垂直问题 是高考的热门话题 即若a b a b R 且 0 若a b a b 0要牢记 另外有关向量的问题能建立坐标系求解的 往往优先考虑用坐标运算 会使题目变得思路清晰易懂 但计算量有时会较大 本题也可不用建系法 直接用几何法求解 而对于函数的最值问题 要用函数的思想和数形结合法来解决 32 已知a b c是同一个平面内的三个向量 其中a 1 2 1 若 c 2 且c a 求c的坐标 1 设c x y 因为 c 2 所以x2 y2 2 所以x2 y2 20 因为c a a 1 2 所以2x y 0 即y 2x 由y 2x解得x 2或x 2x2 y2 20 y 4y 4 所以c 2 4 或c 2 4 33 2 若 b 且a 2b与2a b垂直 求a与b的夹角 2 因为 a 2b 2a b 所以 a 2b 2a b 0 即2a2 3a b 2b2 0 所以2 a 2 3a b 2 b 2 0 因为 a 2 5 b 2 2 将它们代入 中 得2 5 3a b 2 0 所以a b 34 因为 a b 所以cos 1 因为 0 所以 35 题型4 综合应用 2009 江门调研考试 如图 已知点A 1 1 和单位圆上半部分上的动点B 1 若求向量 2 求的最大值 36 方法1 设B x y 则 x y 且x2 y2 1 1 因为 1 1 且所以x y 0 y 0 由 得 2 当 共线且同向时 的值最大 所以 当时 37 方法2 因为点B在单位圆上 故设 cos sin 0 1 因为所以即cos sin 0 得tan 1 所以所以 2 当时 取最大值即的最大值为 38 评注 在本题的方法2中 由于动点在单位圆的上半部分 故可设该动点的坐标为 cos sin 且 0 这样将问题转化为与三角函数有关的问题 进而获得解决 39 四边形ABCD中 6 1 x y 2 3 1 若 试求x与y满足的关系式 2 满足 1 的同时又有 求x y的值及四边形ABCD的面积 因为 x y 所以 x 4 y 2 x 4 y 2 1 因为 所以x y 2 y x 4 0 化简得x 2y 0 40 2 因为 x 6 y 1 x 2 y 3 又 则 x 6 x 2 y 1 y 3 0 化简得x2 y2 4x 2y 15 0 联立x 2y 0 x2 y2 4x 2y 15 0 解得x 6或x 2y 3y 1 41 因为 则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形 当x 6y 3时 0 4 8 0 此时 S四边形ABCD 16 当x 2y 1时 8 0 0 4 此时 S四边形ABCD 16 运用向量的数量积应该注意以下几个方面 1 两向量的数量积是一个数 而不是一个向量 并且数量积是向量间的一种乘法 与以前所学的乘法是有区别的 书写时要区分开 42 2 当a 0时 a b 0不能推出b一定是零向量 因为当a b a 0 时 a b 0 3 用向量的数量积可解决有关长度 角度和垂直的问题 4 对于实数ab bc b 0 a c 但对于向量 由a b b c不能得到a c 5 数量积只适合交换律 加法分配律 数乘向量结合律 不适合乘法结合律 即 a b c不一定等于a b c 因 a b c表示与c共线的向量 而a b c 表示与a共线的向量 43 1 2009 浙江卷 已知向量a 1 2 b 2 3 若向量c满足 c a b c a b 则c 设c x y 由已知得方程组 44 D 2 2009 辽宁卷 平面向量a与b的夹角为60 a 2 0 b 1 则 a 2b 由已知得 a 2