2019-2020学年郑州市第五中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省郑州市第五中学高一上学期期中数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据集合的交运算，结合已知，进行求解.【详解】由集合的交运算，可得.故选：A.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2已知，若，则实数的值为（ ）AB2C0D1【答案】D【解析】先求，再判断的函数值的正负，代入对应的解析式求解.【详解】因为，故，又，故解得：.故选：D.【点睛】本题考查由函数值计算参数的值，涉及指数运算以及对数运算，属综合基础题.3函数的定义域为（ ）ABCD【答案】C【解析】对数的真数大于零，分母不为零，被开方数大于等于零，依据以上三点，列不等式求解.【详解】欲使函数有意义，则，即解得故选：C.【点睛】本题考查函数定义域的求解，涉及对数函数，被开方数非负，以及分母不为零.4若的定义域为，值域为，则的值域为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据函数的平移规则，结合原函数的值域求解.【详解】因为是将原函数，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，但是左右平移不改变值域，故的值域为.故选：A.【点睛】本题考查函数图像的上下平移和左右平移对函数值域的影响.5函数的零点所在的区间是（ ）ABCD【答案】C【解析】将选项中区间左右端点代入函数解析式，若发现两端函数值异号，则零点就在该区间.【详解】因为，而则，根据零点存在性定理可知函数零点所在区间为：.故选：C.【点睛】本题考查函数零点所在区间的确定，判断依据是零点存在性定理.6设，则的大小关系是（ ）ABCD【答案】B【解析】将与1和0进行比较，从而得出结果.【详解】，且，故，故选：B.【点睛】本题考查指数式和对数式大小的比较，一般地，先与1和0进行比较，即可区分.7设，幂函数，且，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】由是幂函数，求得参数的值，再求解不等式即可.【详解】因为是幂函数，故，解得，则，其在为单调增函数，则不等式等价于，解得.故选：B.【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及利用函数单调性求解不等式.8函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据函数的定义域，以及单调性，结合选项进行选择.【详解】因为定义域为R，故排除C、D选项；又，故，故排除B.故选：A.【点睛】本题考查由函数的解析式，选择函数的图像.一般地，要从定义域、值域、单调性、特殊点出发进行选择.9已知函数的最小值为3，则（ ）A6B7C8D9【答案】D【解析】判断函数的单调性，找到最小值点对应的自变量，代值计算即可.【详解】若在R上恒成立，则根据复合函数的单调性可知，区间单调递减，则单调递增，故，解得，此时满足在R上恒成立，若在R上不恒成立，则该函数没有最值.综上所述：.故选：D.【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性的判断，遵循同增异减的原则.10常见的三阶魔方约有种不同的状态，将这个数记为，二阶魔方有种不同的状态，将这个数记为，则下列各数与最接近的是（ ）（参考数据：）ABCD【答案】C【解析】根据题意，结合参考数据，应用对数运算法则，对数据进行估算.【详解】由题可知：=两边取对数可得故解得：，故与之最接近的为.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，涉及数据的估算；要结合参考数据进行处理，是解决本题的重要思路.11已知函数的最大值为，最小值为，则（ ）A1B2CD【答案】B【解析】对分离参数，构造一个奇函数，再进行求解.【详解】因为=1+不妨令，显然为奇函数，故，则.故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数最值之间的关系，本题的难点在于分离常数，构造奇函数.12设函数若有两个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】分段考虑函数的零点，结合一元二次方程根的分布，对参数进行讨论.【详解】为方便说明，不妨令，因为是单调函数，故其在定义域上的零点个数可以是0或1；对，因为，故其可以在定义域有1个零点，或2个零点；故当有两个零点，只有下面两种可能：当时，即时，在其定义域内有1个零点，此时只要保证在其定义域1个零点即可，等价于方程有1个根在区间，只需，即：，解得或且，解得，故当，即时，在其定义域内没有零点，此时只要保证在其定义域2个零点即可等价于方程有2个根在区间，只需，解得综上所述：.故选：C.【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，涉及二次方程根的分布，其难点是对参数进行分类讨论.二、填空题13已知函数的图象恒过点，则的坐标为_.【答案】【解析】根据函数平移，结合指数函数恒过定点即可求得.【详解】因为恒过定点，又函数是由向上平移2个单位得到，故恒过定点.故答案为：.【点睛】本题考查指数型函数恒过定点的问题，其一般思路为，根据函数图像变换进行求解.14已知集合，且，则实数的值为_.【答案】或【解析】根据题意得到方程解得答案.【详解】，则或故答案为：或【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题.15已知函数的定义域、值域都是，则_【答案】或.【解析】分析：分类讨论a的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解.详解：当时，易知函数为减函数，由题意有，解得：，符合题意，此时；当时，易知函数为增函数，由题意有，解得，符合题意，此时.综上可得：的值为或.故答案为：或.点睛：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为x|x0对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论16已知是定义在上的奇函数，且当时，则方程的所有实根之和为_.【答案】【解析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解.【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为在区间上，关于对称，且在区间上，关于对称，故其与直线的所有交点的横坐标之和为0.故所有根之和，即为当时的根，此时，解得.故答案为：.【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.三、解答题17计算（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】（1）根据指数运算法则，直接计算即可得出结果；（2）根据对数运算法则，直接计算即可得出结果.【详解】解：（1）原式=-4（2）原式.【点睛】本题主要考查指数运算以及对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.18已知集合.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）求解对数不等式，再求补集和交集即可；（2）先求并集，对集合C是否为空集进行讨论，分别求解.【详解】（1）函数在上单调递增，由得，.（2）.若，则，解得.若，则，解得.实数的取值范围为.【点睛】本题考查集合的运算，以及集合之间的包含关系，涉及对数不等式的求解.19已知函数的图象经过点.（1）求的值；（2）求函数的定义域和值域； （3）判断函数的奇偶性并证明.【答案】（1）1；（2）定义域为，值域为；（3）是奇函数，证明见详解.【解析】（1）将函数过的点的坐标代入函数解析式，求解参数；（2）利用分母不为零求定义域，采用不等式法求函数值域；（3）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断与之间的关系.【详解】（1）由题意知，解得.（2）因为.，的定义域为.，的值域为.（3）函数是奇函数.证明如下：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数，即证.【点睛】本题考查函数解析式，定义域和值域的求解，以及函数奇偶性的证明，涉及指数运算，属函数综合基础题.20某投资公司计划在甲、乙两个互联网创新项目上共投资1200万元，每个项目至少要投资300万元.根据市场分析预测：甲项目的收益与投入满足，乙项目的收益与投入满足.设甲项目的投入为.（1）求两个项目的总收益关于的函数.（2）如何安排甲、乙两个项目的投资，才能使总收益最大？最大总收益为多少？（注：收益与投入的单位都为“万元”）【答案】（1）；（2）甲项目投资500万元，乙项目投资700万元时，总收益最大，最大总收益为360万元.【解析】（1）根据题意，列出函数解析式，再根据题目要求，求解定义域；（2）将函数进行还原，转化为求解二次函数的最大值问题.【详解】（1）由题知，甲项目投资万元，乙项目投资万元.所以.整理得：依题意得解得.故.（2）令，则. 当，即时，的最大值为360.所以当甲项目投资500万元，乙项目投资700万元时，总收益最大，最大总收益为360万元.【点睛】本题考查函数模型的应用，涉及二次函数最大值问题，属函数应用基础题.21已知函数（1）若函数是偶函数，求的值， （2）若当时恒成立，求的取值范围.【答案】（1）-4；（2）【解析】（1）由函数是偶函数推得其对称轴为，据此求参数；（2）将恒成立问题转化为函数最值的问题，对对称轴和区间的相对位置展开讨论.【详解】（1）由题得，函数是偶函数，可得函数的图象关于对称，即，得.（2）因为当时，恒成立，所以.由题可知的对称轴为.当，即时，在上单调递增，此时，得，所以；当，即时在上单调递减，此时，得，不符合条件；当，即时，在上单调减，在上单调递增，此时，得，所以.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查由函数奇偶性求参数值，以及二次函数恒成立问题，涉及二次函数动轴定区间问题的处理.22设,函数 ,且求的最大值若方程在区间上存在实根,求出所有可能的值【答案】（1）3；（2）【解析】（1）由求得，分段考查函数值的取值范围可得最大值（2）由，分类讨论，分，和三类讨论其零点，其中可由得出，主要是的解都是成对出现的【详解】（1）由得,解得当时,当时,单调递减,所以的最大值为（