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测量角度 新郑三中杨耀 应用举例3 前面我们学习了如何测量距离和高度 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题 然而在实际的航海生活中 人们又会遇到新的问题 在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向 保持一定的航速和航向呢 今天我们接着探讨这方面的测量问题 情景设置 例1如图 一艘海轮从A出发 沿北偏东75 的方向航行67 5nmile后到达海岛B 然后从B出发 沿北偏东的方向航行54nmile后到达海岛C 如果下次航行直接从A出发到达 此船应该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到0 1 距离精确到0 01nmile 分析 首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角 ABC 即可用余弦定理算出AC边 再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角 CAB 典例导学 解 在 ABC中 ABC 180 75 32 137 根据余弦定理 根据正弦定理 所以所以 CAB 19 0 75 CAB 56 0 答 此船应该沿北偏东56 0 方向航行 需要航行113 15nmile 例2在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为 沿BE方向前进30m 至点C处测得顶端A的仰角为2 再继续前进10m至D点 测得顶端A的仰角为4 求的大小和建筑物AE的高 解 法一 用正弦定理求解 由已知可得在 ACD中 答 所求角为15 建筑物高度为15m 答 所求角为15 建筑物高度为15m 答 所求角为15 建筑物高度为15m 例3甲船在A点发现乙船在北偏东60 的B处 乙船以每小时a海里的速度向北行驶 已知甲船的速度是每小时a海里 问甲船应沿什么方向前进 才能最快与乙船相遇 解 如图所示 设经过t小时两船在C点相遇 则在 ABC中 有BC at AC at 所以B 90 30 120 答 甲船应沿北偏东30 的方向前进 才能最快与乙船相遇 解三角形的应用题时 通常会遇到两种情况 1 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 依次利用正弦定理或余弦定理解之 2 已知量与未知量涉及两个或几个三角形 这时需要选择条件足够的三角形优先研究 再逐步在其余的三角形中求出问题的解 学习反思 思考 某巡逻艇在A处发现北偏东45 相距9海里的C处有一艘走私船 正沿南偏东75 的方向以10海里 小时的速度向我海岸行驶 巡逻艇立即以14海
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