2010年全国大学生数学建模B题获奖论文.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 浙江理工大学（杭州） 参赛队员 (打印并签名) ：1. 殷波 2. 吕文杰 3. 李小明 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 骆桦 日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2010年上海世博会影响力的定量评估【摘要】2010上海世博会及其宣扬的主题和思想正在给中国及全世界带来方方面面的影响。特别是上海世博会所展出的各项低碳环保技术和科技成果点亮了我们未来的道路，并对相关的产业的发展有积极的推动作用。本文将以电动汽车作为高新产业的代表，定量分析世博会中展示的电动汽车技术对我国未来普及电动汽车的影响。并且进一步分析了其在促进低碳经济发展和我国节能减排中的作用。主要分析的问题和方法如下：问题一：分析了在没有世博会影响情况下，电动汽车替代燃油汽车的过程。本文借鉴了种族竞争模型，并对其进行了适当的修正，将其用于预测未来电动汽车替代燃油汽车的进程。问题二：分析世博会对电动车及其技术推广的影响力，并将其定量化。在建立世博会影响下的电动汽车与燃油汽车的修正种族竞争模型之前，首先把世博会带给电动汽车行业的影响力定量化，我们采用基于ITO方程的广告效应理论预测模型。问题三：分析世博会影响下电动汽车替代燃油汽车的过程。在将世博会影响力定量化的条件下，本文建立了世博会影响下电动汽车销量与燃油汽车销量的数学模型，并用计算机进行了模型的求解和模拟。通过对上面三个问题的研究，并对结果进行分析，得出了世博会的举办对电动车及其技术的普及的影响。结果显示，世博会的举办将令我国电动汽车占据汽车市场50%的时间提前了6年，将在2035年成为现实，并令年销量增加224万辆。并在未来的55年内累计为我国节约158万桶燃油，大大减轻环境负担。关键词：世博会 电动汽车 种族竞争模型 广告效应理论 替代模型二、模型的基本假设(1)假设中国汽车产业市场的最大容量K是恒定的，不会随着时间的变化而改变。(2)将汽车产业分为燃油类的，和电动类的两类。对于混合动力车等有电力驱动的新型汽车归为电动类汽车范围内。(3)2009年中国电动类汽车销售量为15万辆。 (4)假设中国在长期内汽车销售市场的最大保有量为2亿辆。三、符号说明模型一：初始时刻燃油类汽车市场销售数量；：初始时刻电动类汽车市场销售数量；：第t年燃油类汽车市场销售数量；：第t年电动类汽车的市场销售数量；：第t年，燃油类汽车拥有数量的年增长率；：在第t年，电动类汽车拥有数量的年增长率；：为燃油类汽车占据电动类汽车位置的数量，并且m1=x1；：为电动类汽车占据燃油类汽车位置的数量，并且 m2=x2；：表示汽车市场的最大保有量；模型二：所有汽车的销售总数量;：燃油类汽车的销售数量;：动类汽车的销售数量； b：燃油类汽车年销售数量的衰减率； ：燃油类汽车在年份t 的销售数量； ：在这个年份燃油类汽车的数量销售数量开始出现衰减；模型三：a:参观过世博会电动汽车后愿意购买电动汽车的人数;b:未参观过世博会电动汽车且愿意购买电动汽车的人数;c:参观过世博会电动汽车仍然不愿意购买电动汽车的人数;d:未参观过世博会电动汽车且不愿意购买电动汽车的人数;四、数据的处理和问题的分析表4.1.中国汽车销售表时间销售量（万辆）增长率1998年267.56-0.191999年288.990.082000年266.8-0.082001年233.44-0.132002年3250.392003年439.080.352004年507.110.152005年575.820.142006年7220.252007年8790.222008年9380.07 图4.1. 中国汽车销售量一览表如图4.1所示，可以了解当前我国汽车产业的发展情况，总体来讲，我国的汽车销量不断扩大，这种趋势将会保持一定时间，由于目前我国汽车市场保有量为约2亿辆，可见市场的潜力仍然是巨大的，将用指数模型，以及多项式模型分别进行拟合检验，得出多项式模型更加符合中国汽车产业的发展情况。得出图4.2. 1998年到2009年汽车年销量拟合结果由此可以预测，我国汽车销量仍会继续走高，但另一方面，上海世博会宣传绿色低碳，呼吁建设绿色家园来解决当前的能源危机、生态危机，因此燃油类汽车销量会随着电动类汽车的推广而终将被取代。在两者共存时期也非常类似于两个种群的竞争模型。因此我们借鉴了种群竞争模型和替代模型，并将其应用于模拟电动类汽车的发展，并且引入广告宣传模型对上海世博会对电动类汽车的影响因素进行研究，从而得到世博会对电动类汽车发展的贡献值。这其中数据缺乏是限制模型精度的重要瓶颈，其次对于广告宣传模型可以得出世博会对电动类汽车产业的推动增长率，但是这涉及的变量众多，我们将会利用计算机模拟来确定其中的参数。五、模型的建立和求解5.1模型一（1）模型一的建立参考种族竞争模型1，依据前面的分析，本文建立如下模型： （5-1） 且满足：；其中: ：初始时刻燃油类汽车市场销售数量；：初始时刻电动类汽车市场销售数量；：第t年燃油类汽车市场销售数量；：第t年电动类汽车的市场销售数量；：第t年，燃油类汽车拥有数量的年增长率；：在第t年，电动类汽车拥有数量的年增长率；：为燃油类汽车占据电动类汽车位置的数量，并且m1=x1；：为电动类汽车占据燃油类汽车位置的数量，并且 m2=x2；：表示汽车市场的最大保有量；(2)模型说明电动类汽车由来已久，在我国863计划中就开始推动电动类汽车产业，现在已经过去10多年了，电动类汽车的技术水平不断提高。在世博会举行之前就已经有了一部分电动类汽车投入市场，虽然有很多优点，但是由于价格仍然高昂、充电不方便、续航能力差等原因，另外燃油类汽车在价格占有优势并且技术成熟，电动类汽车并没有大规模的进入市场。但是在政府的政策推动、石油价格的上升、消费者环保观念的增强等因素的作用下，有理由相信在不久的将来，电动类汽车会取代燃油类汽车的市场地位。(3)模型系数说明n 此模型是由替代模型中演变而来，其中的，表示各个时间段，各种汽车的增长率，为了说明世博会对电动类汽车的发展影响，可以先确定，其中都是常数，这样可以计算得出如果没有2010年上海世博会，那么电动类汽车的普及在什么时候可以达到怎样的影响力。n 接着对关于世博会的举办而产生了变化，由于世博会的举办时间长达184天，影响力是持久的，影响力不会因为世博会的结束而终结，相反它的影响力才刚刚开始。因此通过数据采集可以得知，世博会中电动类汽车展示会提高游客对电动类汽车的购买意愿，从而在未来的适合时刻影响到他们是否购买电动类汽车。而对于燃油类汽车却起了相反的效果，因此，他们两者，一个减少了，一个增大了。而且随着时间的流逝影响力会逐渐加强。具体的影响方程将在求解中介绍。n 对于系数，通过相关实例来估计，比如液晶电视加入市场必定会使老牌的显像管彩电销量下降，不久的将来，液晶电视必定会被所有消费者所拥有。因此可以通过他们的年产量数据得出这两个系数的确值。但是由于数据的缺乏，令难以得出这两个常量，因此将采用试点法，在合理的区间内估计出来。(4)模型一的求解2010年开始电动类汽车开始销售，这会影响到燃油类汽车的销售量。形如的方程，称为伯努利微分方程2，模型的两个微分方程都是属于伯努利微分方程，因此将对模型做如下变形： 令得出当前可以将、视为常数，那么用常数变异法求解。以第一个方程为例求解，得出它的方程。先求出的解为。将其微分得到 将上两式代入方程中即可求得，得出同理可得。寻找数据得初值为2009年燃油类汽车1364万辆；2010年预计有电动类汽车50万辆。具体计算应用MATLAB可以很方便的求出。设定，则因为在国家政策以及油价升高等客观因素的影响下并且经过相当长一段时间会使电动类汽车市场占有率高于燃油类汽车的占有率，因此，为了简化数据取定各个值为定值，令。 求解当没有举办世博会时电动类汽车的销售情况此时电动类汽车与燃油类汽车处于同等竞争状态，国家的优惠政策把电动类汽车刚开始销售时刻的高价位，低效能等缺点所弥补，因此应该略大于。综上所述，取定，以此表示没有世博会时电动类汽车的销售情况。如图6.1所示,在2052年-2053年电动类汽车销量与燃油类汽车销量相等，即占到50%的销售量图6.1.假设没有世博会，电动类汽车的销量图6.2.假设没有世博会，燃油类汽车销量与电动类汽车销量的关系 求解举办世博会时电动类汽车的销售情况及其影响由于世博会主题馆和上海通用汽车展馆都展示了电动类汽车模型，预计世博会共有旅客流量约7000万人次，其中参观过世博会主题馆和上海通用汽车展馆的人数（根据上海世博会官网及相关场馆的网站上的数据信息）保守估计有860万人次。而这仅仅是在2010年所产生的效益，在未来的几年中，这种效益还会继续持续，因此会使一些数值产生变化，综上所述，取定，以此表示举办世博会对电动类汽车的销售情况的影响。如图6.3所示：图6.3.世博会举办时电动类汽车的销量情况图6.4.若举办世博会，燃油类汽车销量与电动类汽车销量的关系 依据此模型可以求出任一年的销量，经过比较可以得出：世博会的举办令电动类汽车的推广速度加快，并提前6年使得电动类汽车的市场占有率达到50%并在25年后成为现实，从而影响到中国的汽车产业结构.图6.5. 揭示了世博会对电动类汽车的推动影响 下面粗算一下世博会的举办对环保方面的贡献按照当前普通汽车的耗油量k和当前的97号石油价格s，k=8L/100km,s=7元/L.而利用电能驱动，行驶每百公里路需要耗去30元的电费。对于普通家居使用汽车，年行驶距离在a=10000km。每当减少一辆燃油类汽车，就为节能减排做出贡献，因此：在t时刻累计节约耗油量为其中表示上图中的世博影响后的销量，表示上图中的原始销量，计算得图6.6. 表示世博会的举办为我国加快节约油耗做出的贡献值耗油量减少将会使我国的排碳量大幅下降，为全球气候危机得以缓解做出了贡献。也必将会为建设社会主义环保型、资源节约型社会做出巨大贡献。5.2模型二参考替代模型4，依据前面的分析，建立如下模型：上述是以种族竞争模型对燃油类汽车和电动类汽车的销售量方面进行研究进而说明未来电动类汽车的市场前景，下面以代替模型来研究燃油类汽车和电动类汽车的销售数量来说明电动类汽车的前景。 （5-1）由公式（1）得 （5-2）在汽车市场发展的后期，随着石油价格、国家政策、环保要求等因素的影响，燃油类汽车的年销售数量必然会出现衰减的趋势，设这个衰减现象对燃油类汽车销售数量的影响是较为平缓的，于是有： （5-3）进而有： （5-4）其中 b：燃油类汽车年销售数量的衰减率 ：燃油类汽车在t年的销售数量 ：此年燃油类汽车的数量销售数量开始出现衰减把（4）带入（2），整理得： （5-5）其中 表示电动类汽车年销售数量的增长率，表示燃油类汽车对汽车年销售总数量的贡献率，表示电动类汽车对汽车年销售总数量的贡献率。在知道了的值之后，便可以得到的确切表达式，能模拟出的电动类汽车销售数量的增长曲线。 由于电动类汽车技术的不成熟、价格因素等导致将来一段时间内燃油类汽车还将处于主导地位，综合各方面的数据，将定为2023年左右。5.3模型三（广告宣传模型）广告宣传模型立足于以准确地计算出因广告促销作用而增加的某一商品的购买人数来测定广告的效果。具体测定如下：基于上面的参数设定可以看出即使没有世博会也有比例的人购买电动汽车，因此要得出真正因世博会效应而增加的购买电动类汽车人数必须从看过世博会愿意购买电动汽车的人数a中减去因世博会以外影响而购买的人数，而这个人数与全体愿意购买电动汽车的人数N 之比就是世博会效应对电动汽车推广效应的效果指数，用公式表示：由此可得出世博会实际带来的销售率为由于消费者的购买欲是有自己决定的，外界环境只能影响购买欲而无法确定是否消费者会购买，因此可以通过在上海通用馆和世博主题馆门口对参观过的观众进行分类统计，得到a,b,c,d的比例。在此我仅以参观过世博馆的经验来估测这些数据：有参观世博会游客共计约7000万人次，其中参观过世博会主题馆和上汽通用管馆人次有约1200万人次，对于未参观过的游客因为不大了解电动汽车因此购买欲为50%，参观过的游客购买欲加大为70%。故a:c=7:3,b:d=1:1,(a+c):(b+d)=1:5。他的意思如表6.2所示表6.2. a,b,c,d四个值之间的关系参观过未参观过合计愿意购买a=840b=29003740不愿意购买c=360d=29003260合计1200万人5800万人N=7000代入数据得出：销售率为0.0695。此数据可以代入前两个数据中计算。六、模型的检验6月9日，“亚洲电动车之父”陈清泉在第二届新能源汽车及燃料电池技术国际论坛上5预测，2020年全球混合动力及纯电动汽车的销量，有可能占全年汽车销量的7%-12%。而中国将超出这个比例，达到15%。图6.1.电动汽车的市场占有率利用模型一的编程改进出电动市场的市场份额函数如上图所示，在2028年电动汽车将占有15.03%的市场，因此总体来讲还是符合实际情况的。七、模型的评价与改进7.1 模型的优点（1） 对于整个模型，结构紧凑、层次分明，数学表达式含义直观、明确、易懂（2） 运用两个模型来预测电动汽车的销量，预测结果上可以相互验证（3） 运用常用软件对数据进行处理并对需要的数据进行筛选和分类（4） 本模型与实际紧密联系，对未来的电动汽车行业的发展、政策的制定的决策有帮助7.2 模型的缺点（1） 假设(1)在实际中有点过于理想化，因为中国市场汽车的最大容量K是不断增长的，K的值与居民的购买力呈正相关关系。（2） 分析所用的原始数据的数量和质量如果提高的话，将会更有利于模型的建立和修正。7.3 模型的现实意义 此模型具有很强的现实意义，在模型中可以看出上海世博会对电动类汽车产业的推动作用。电动汽车的推广对我国节能减排、节能降耗有重大贡献，对温室效应的抑制、保护我们的生存环境的重要作用。目前我国是仅次于美国的世界上第二大的能源消耗国，我国的石油绝大部分要靠进口预计2030 年需要石油将达62亿桶，进口石油要经过马六甲海峡，由于各种原因这对我国产生了非常大的政治压力。另外我国在传统燃油汽车方面虽然有发展但仍然和其它国家有巨大的差距，在未来汽车行业的竞争中只能另辟蹊径，利用现阶段各国电动车差距不大甚至我国的一些优势在电动汽车行业上抢占制高点，这将对我国汽车产业的发展具有举足轻重的作用。另外我们研究的是电动汽车，也可以用类似的方法研究上海世博会上出现的其它新技术和新产品，研究它们未来的市场前景。进而提前进行相关产业的战略布局，在政策、技术等方面对其进行支持，推动我国由制造业大国向制造业强国的转变。八、模型的改进8.1 汽车产业市场的最大容量参数K值的分析前面假设中国汽车产业市场的最大容量K是恒定的，不会随着时间的变化而改变。其实我们知道中国汽车产业市场的最大容量K是随时间逐渐变大的，直到一个稳定值，且与消费者的购买力成正相关。考虑到这些，我们会看到曲线将会变得陡，更快地接近稳定值。这样电动汽车与燃油汽车销量的关系就会发生变化。8.2 固有增长率参数分析分别表示燃油类汽车和电动类汽车的固有增长率，其中，由于世博会的推广，会在世博会结束之后增大，使得电动类汽车发展加速。但是对于并不是一个固有函数值，在模型三中，分析了世博对其影响，发现其值是随着时间变化的而且主观因素影响大，并不是一个定值，而是随时间波动的值，可以将其在一定区间内产生随机数来作为各个间断的值，从而更加准确的仿真。九、参考文献1 石泉,数学实验报告物种竞争，2001级理工综合班。2王高雄，常微分方程（第三版），北京：高等教育出版社，2007：239页。3 姜启源.数学模型，北京：高等教育出版社，1993。4 The Coming Oil Crisis, Team 321,2005年美国数学建模大赛特等奖论文集。5 /new