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文档简介

一 主要内容1 向量组的线性相关性 向量组的秩及找一个最大无关组 并用该最大无关线性无关组表示向量组中的其余向量 第四章向量组的线性相关性 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 定义 向量的定义 向量的相等 零向量 分量全为0的向量称为零向量 负向量 向量加法 向量的线性运算 数乘向量 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算 满足下列八条运算规则 除了上述八条运算规则 显然还有以下性质 若干个同维数的列 行 向量所组成的集合叫做向量组 定义 线性组合 定义 线性表示 定理 定义 定义 定理 线性相关 定理 定义 向量组的秩 等价的向量组的秩相等 定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩 定理 设向量组b能由向量组a线性表示 则向量组b的秩不大于向量组a的秩 推论 推论 推论 最大无关组的等价定义 设向量组是向量组的部分组 若向量组线性无关 且向量组能由向量组线性表示 则向量组是向量组的一个最大无关组 向量空间 定义 子空间 定义 基与维数 向量方程 齐次线性方程组 解向量 解向量的性质 性质 性质 定义 定理 定义 向量方程 非齐次线性方程组 解向量的性质 性质 性质 解向量 向量方程的解就是方程组的解向量 求齐次线性方程组的基础解系 线性方程组的解法 第一步 对系数矩阵进行初等行变换 使其变成行最简形矩阵 第三步 将其余个分量依次组成阶单位矩阵 于是得齐次线性方程组的一个基础解系 求非齐次线性方程组的特解 将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为特解的第个分量 其余个分量全部取零 于是得 即为所求非齐次线性方程组的一个特解 一 向量组线性关系的判定 二 求向量组的秩 三 齐次方程组的基础解系 典型例题 一 向量组线性关系的判定 研究这类问题一般有两个方法 方法1从定义出发 整理得线性方程组 方法 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定 例 研究下列向量组的线性相关性 解一 整理得到 解二 分析 证明 证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是 分析 根据最大线性无关组的定义来证 它往往还与向量组的秩相联系 证明 求一个向量组的秩 可以把它转化为矩阵的秩来求 这个矩阵是由这组向量为行 列 向量所排成的 如果向量组的向量以列 行 向量的形式给出 把向量作为矩阵的列 行 对矩阵作初等行 列 变换 这样 不仅可以求出向量组的秩 而且可以求出最大线性无关组 若矩阵经过初等行 列 变换化为矩阵 则和中任何对应的列 行 向量组都有相同的线性相关性 二 求向量组的秩 解 基础解系的求解 例 求齐次线性方程组的基础解系方法1 先求出通解 再从通解求得基础解系 即 并给出通解 令x3 c1 x4 c2 得通解表达式 因为方程组的任意一个解都可以表示为x1 x2的线性组合 x1 x2的四个分量不成比例 所以x1 x2线性无关 所以x1 x2是原方程组
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