复杂流体讲义.ppt

2020 3 6 1 现代力学与热科学进展 复杂流体及其应用 朱克勤清华大学航天航空学院2011年3月 2020 3 6 2 力学面临的机遇和挑战 中国科学技术协会主编 力学学科发展报告 中国科学技术出版社 2007年北京 引言 2020 3 6 3 引言 力学与天文学是最早形成的两门自然科学 从牛顿时代开始 到十九世纪末 力学以质点 质点系 刚体 理想弹性体和理想流体为模型 运用微积分等数学工具形成了自己完整的理论体系 进入二十世纪后 力学开始以自然界和工程技术中遇到的复杂介质和复杂系统为研究对象 力学研究领域的不断开拓 一方面导致力学新分支学科不断出现 另一方面 使得力学成为现代工程技术 比如 航空航天工程 船舶工程 土木工程 机械工程 热能工程和兵器工程等 的重要基础 2020 3 6 4 引言 2000年底 美国工程院评出20世纪对人类社会影响最大的20项技术 许多关键技术的进展与力学相关 以排在前3位的技术为例 1 电力系统技术 叶轮机 发电机以及输电线路的设计都离不开力学 二十世纪后50年 从力学设计导致叶轮机效率提高约1 3 经济效益达5000亿美元 而力学设计导致锅炉燃烧效率提高的经济效益也非常可观 2 汽车制造技术 力学设计使汽车发动机的效率近50年提高约1 3 仅小轿车节省的燃料费就达2000亿美元 排气污染减少90 以上 3 航空技术 几乎每一阶段的重大进步均与力学家的贡献密不可分 科学技术的进步永无止境 再过100年 20世纪引以为豪的技术成就只是人类现代文明的一个新的起点 2020 3 6 5 引言 图 144 M 2 2 协和号 M 2 02 协和号 1976 2003 由法英联合研制 它和图 144 1975 1987 同为世界上仅有的商业超音速客机 1996年2月7日 协和飞机从伦敦飞抵纽约仅耗时2小时52分59秒 2020 3 6 6 科学大师谈力学 尽管我们今天确实知道古典力学不能用来作为统治全部物理学的基础 可是它在物理学中仍然占领着我们全部思想的中心 A Einstein 物理学的进化 自然的一切现象 完全可以根据力学的原理用相似的推理一一演示出来 牛顿 自然哲学的数学原理 1643 1727 1879 1955 2020 3 6 7 力学与现代工程的关系 力学是航天航空的基石 王永志 力学搭起了基础科学与工程技术之间的桥梁 黄克智 力学能为缓解能源短缺 提高能源利用率做出重要贡献 过增元 宇宙之大 基本粒子之小 力无所不在 杨卫 机械科学技术中的关键问题依赖力学的发展 温诗铸 2020 3 6 8 问渠那得清如许 为有源头活水来 宋 朱熹 观书有感 流体力学的源头活水 研究对象的拓展和新研究方法的探寻 引言 2020 3 6 9 混沌 少了一颗钉子 丢了一个国家 Bernard对流在二十世纪初发现 引言 2020 3 6 10 孤立波首先由S Russell 1834 在运河中发现 引言 2020 3 6 11 原地重现孤立波的实验 1995 引言 2020 3 6 12 经典流体力学主要研究牛顿流体的运动规律和应用 二十世纪以来 近代流体流体力学迅速发展 其主要标志之一是研究对象开始从牛顿流体拓展到复杂流体 引言 2020 3 6 13 问题 为什么要关注复杂流体 ICTAM2012大会将在北京举行 2020 3 6 14 2020 3 6 15 II FluidPhysicsResearch Thefluidphysicsprogramencompassesawiderangeofresearchinphysicsandengineeringscience includingstudiesofheatandmasstransferprocesses fluiddynamics andthephysicsofcomplexfluids A Complexfluids1 Colloidsandsuspensions2 Nanoscalefabricationinthefluidphase3 Granularmechanics4 Non NewtonianfluidB InterfacialphenomenaC MultiphaseflowandphasechangeD Biofluids NASAResearchAnnouncement 2020 3 6 16 1 1复杂流体的例子 泥浆 火山熔岩 钢水 2020 3 6 17 血液 牙膏 生活中的 稀饭 果酱 酸奶 沥青 油漆 黏合剂等 复杂流体有许多不同于牛顿流体的独特性质 1 1复杂流体的例子 同学发言 请再举出几个复杂流体的例子 2020 3 6 18 电流变液 1 2复杂流体的流动特性 2020 3 6 19 Newtonianfluid Viscoelasticfluid Spraysoffluids 1 2复杂流体的流动特性 2020 3 6 20 Asuspensionsedimentinginafluid InaNewtonianfluid Inaviscoelasticfluid 1 2复杂流体的流动特性 2020 3 6 21 Dropimpactoffluids Newtonianfluid Viscoelasticfluid 1 2复杂流体的流动特性 2020 3 6 22 T CubaudandT G Mason Foldingofviscousthreadsindivergingmicrochannels Phys Rev Lett 96 114501 2006 1 2复杂流体的流动特性 2020 3 6 23 1 2复杂流体的流动特性 Manycomplexmaterialscannotbedescribedbysimplemodels GroismanA SteinbergV EfficientmixingatlowReynoldsnumbersusingpolymeradditives Nature 2001 410 905 8 2020 3 6 24 Weissenberg效应 1 2复杂流体的流动特性 本讲座将集中讨论复杂的粘弹性流体 2020 3 6 25 1 2复杂流体的流动特性 定义 粘弹性流体是一种既具有粘性又具有弹性的介质 首先介绍粘弹性流体的几个经典模型 它们的构造方法非常简单 弹性体是固体力学的理想化模型 弹簧 粘性流体是流体力学的理想化模型 粘性阻尼器 粘弹性流体是两者组合而成的体系 spring Hooklaw dashpot Newtonianfrictionlaw 2020 3 6 26 KelvinmodelMaxwellmodelOldroyd Bmodel 1 3粘弹性流体的经典模型 问题 如何导出以上系统的应力 应变关系 本构关系 基本原则 并联 应力相加 应变相同 串联 应力相同 应变相加 2020 3 6 27 1 3粘弹性流体的经典模型 2020 3 6 28 1 3粘弹性流体的经典模型 实验表明 以上经典模型过于简单 无法描述某些真实粘弹性材料的行为模式 需要探寻新的开拓方法和新的模型 源头活水 在进一步开拓复杂粘弹流体本构关系的各种探索中 最大胆的设想由G W ScottBlair在1947年提出 G W ScottBlair Theroleofpsychophysicsinrheology JournalofColloidScience 1947 Vol 2 pp 21 32 G W ScottBlair Psychoreology linkbetweenthepastandthepresent JournalofTextureStudies 1974 Vol 5 pp 3 12 2020 3 6 29 2 ScottBlair模型 G W ScottBlair在他的经典论文 心理物理学在流变学中的作用 中指出 弹性体的应力与应变的零阶时间导数成正比 牛顿流体的应力与应变的一阶时间导数成正比 进一步的研究则需要考虑应力与应变的分数阶导数成正比的复杂粘弹性流体 G W ScottBlair Theroleofpsychophysicsinrheology JournalofColloidScience 1947 Vol 2 pp 21 32 2020 3 6 30 Thisisathree parametermodelandintroducedbyScottBlair Spring 1676 Dashpot 1686 分数阶导数在描述许多粘弹性材料的流变学行为中十分有效 2 ScottBlair模型 2020 3 6 31 FractionalMaxwellfluid A Hern ndez Jim nez etal RelaxationmodulusinPMMAandPTFEfittingbyfractionalMaxwellmodel Polym Test 21 2002 325 331 PolymerMethylmethacrylate Maxwellfluid Polytetrafluorethylene Thisisafour parametermodelofviscoelasticfluids Conclusion fractionalelementplaysavitalroleinthedescriptionofcomplexviscoelasticfluids 2 ScottBlair模型 2020 3 6 32 Canthemeaningofaderivativeofintegerorderdny dxnhavemeaningwhennis1 2 L Hospital1695 L Hospital1661 1704 以上内容 欢迎提问 2 ScottBlair模型 2020 3 6 33 一些著名的数学大师都曾着迷于Hospital问题 比如 Euler1707 1783 Fourier1768 1830 Laplace1749 1827 Abel1802 1829 Liouville1809 1882 Riemann1826 1866 2 1ScottBlair模型的数学基础 Riemanndevelopedadifferenttheoryoffractionaloperationsduringhisstudentdays butitwaspublishedonlyposthumouslyin1876 ThefirstuseoffractionaloperationwasAbelin1823 21岁 2020 3 6 34 In1819startingwithy xm S F Lacroixpresentedhisexpressionof orderderivativeintermsofLegendre ssymbol whichdefinitionofa orderwasintroducedbyLaplacein1812 2 1ScottBlair模型的数学基础 与Laplace定义的对比 Notation then foldintegral then orderderivative 2020 3 6 35 2 1ScottBlair模型的数学基础 Then folditeratedintegraloff t isgivenbytheCauchy sformula Forexample TheRiemann Liouvilleoperatoroffractionalintegrationisdefinedas Forexample 2020 3 6 36 2 1ScottBlair模型的数学基础 ThenwegettheRiemann Liouvilleoperatoroffractionalderivative whichcoincideswithLaplace sdefinitionof orderderivative Taking 1 2andm 1intheRiemann Liouvilleoperatoryields Takingm order misinteger derivativegives 2020 3 6 37 Recentlymathematicallyfractionalcalculushasobtainedmuchsuccessinthestudyofphysicsincludingcomplexviscoelasticfluids R Hilfer ApplicationsofFractionalCalculusinPhysics WorldScientific 2000 讨论 除了数学定义和运算 针对ScottBlair模型下一步应该研究的关键问题是什么 目前在聚合材料中 分数阶微积分已经成为分析应力松弛现象的一种极为重要的工具 2 1ScottBlair模型的数学基础 关键问题 ScottBlair模型的力学机理和基础 2020 3 6 38 2 2ScottBlair模型的力学基础 H Schiessel A Blumen 1993 firstlyconstructedfractionalrheologicalconstitutiveequationsonthebasisofwellknownmechanicalmodels H Schiessel A Blumen Hierarchicalanaloguestofractionalrelaxationequations J Phys A Math Gen 1993 Vol 26 pp 5057 5069 Spring dashpotladder 2020 3 6 39 2 2ScottBlair模型的力学基础 Schiessel Blumen利用拉氏变换 证明了系统各级弹簧和阻尼器参数满足一定递推关系时 其应变拉氏变换与应力拉氏变换服从以下关系 再利用逆变换得到 具体的过程将用另一个我们所提出的更加简单的例子来说明 2020 3 6 40 2 2ScottBlair模型的力学基础 Herewepresentanovelmechanicalmodeloffractionalelement Question howdoweobtaintheconstitutiveequationofthetree Spring dashpottree whichwasenlightenedfromaresistor capacitorself similarstructure I Podlubny FractionalDifferentialEquations AcademicPress 1999 P280 Fig 10 4 2020 3 6 41 2 2ScottBlair模型的力学基础 Schiessel Blumen使用的拉氏变换法 对一层的树形结构 对两层的树形结构 2020 3 6 42 2 2ScottBlair模型的力学基础 对三层的树形结构 递推求解 得到该系统的应变拉氏变换与应力拉氏变换服从以下关系 2020 3 6 43 令右边为A 利用结构层次为无穷的特点所产生的自相似性 可得到 2020 3 6 44 2 2ScottBlair模型的力学基础 解得 用另一种方法 Heaviside算子法 逆变换得到 2020 3 6 45 KelvinmodelMaxwellmodelOldroyd Bmodel 2 2ScottBlair模型的力学基础 2020 3 6 46 弹簧 假定系统的本构关系 2 2ScottBlair模型的力学基础 阻尼器 总应变 自相似 总应力 2020 3 6 47 Heavisideoperatorpisdisposedasaparameterduringthealgebraicoperation 2 2ScottBlair模型的力学基础 2020 3 6 48 2 2ScottBlair模型的力学基础 Heavisidedevelopedoperationalcalculusbetween1880and1887 whichisoneofthethreemostimportantmathematicaldiscoveriesofthelate19thCenturyandcausedmuchcontroversy R Courant D Hilbert MethodsofMathematicalPhysics Vol IIPartialdifferentialequations IntersciencePublishers JohnWiley Sons 1962 P507 Heaviside 1850 1925 Heaviside soperationalcalculuswasplacedonarigorousmathematicalbasisbyJanMikusinski whoconstructedanalgebraicsettingfortheoperationalmethods J Mikusinski OperationalCalculus PergamonPress NewYork 1983 在运算微积中 算子p作为参数进行代数运算 有依据吗 2020 3 6 49 瞬态问题或混合问题有重要应用背景 比如 机电工程 讨论这一问题的文献很多 其中重点是Heaviside符号算子法 该方法处理问题直捷惊人 往往能给出不能以其它方法同样简单地获得的明确解答 原先发表这一方法时对于符号运算步骤并无严格道理可讲 事实上 Heaviside对职业数学家的疑虑甚至颇表不屑 然而Heaviside方法的成就压倒一切 使人们非得从数学上去弄清它的道理不可 结果完全证明这种方法有理论依据 而终于大大促进符号方法的发展 引自R Courant和D Hilbert的经典名著 数学物理方法 第五章附录二 瞬态问题和Heaviside运算微积 2 2ScottBlair模型的力学基础 2020 3 6 50 2 2ScottBlair模型的力学基础 I Podlubny FractionalDifferentialEquations AcademicPress 1999 P274 Fig 10 3 homework Kelvinmodel 2020 3 6 51 2 2ScottBlair模型的力学基础 homework2 2020 3 6 52 3 1圆管起动流 动量方程 初边值条件是 速度分解为定常和非定常两部分之和 为Heaviside阶跃函数 3 复杂粘弹性流体的流动 2020 3 6 53 定常部分 解的非定常部分应满足齐次方程 与定常部分迭加在一起 得到 3 1圆管起动流 2020 3 6 54 3 1圆管起动流 2020 3 6 55 问题 Scott Blair模型的圆管起动流是否会有不同的特性 3 1圆管起动流 2020 3 6 56 分数元模型 动量方程 其中 得到 3 1圆管起动流 2020 3 6 57 用Heaviside运算微积和分数阶微积分得到 其中 称为Mittag Leffler函数 是指数函数的推广 为指数函数 3 1圆管起动流 2020 3 6 58 2020 3 6 59 2020 3 6 60 2020 3 6 61 2020 3 6 62 小结 lTheconstitutiveequationsofspring dashpotsystemscanbeeasilyderivedbyoperationalmethods lAnewmechanicalsystemoffractionalelementispresented lTheexactsolutionofstartingflowoffractionalelementinapipeisobtained lThestartingflowoffractionalelementinapipewillstopfinallyexcept 2020 3 6 63 讨论 牛顿流体在静止时不能承受剪切力 为何分数元流体会出现类固体的特性 Kelvin模型Maxwell模型Oldroyd B模型 2020 3 6 64 讨论 2020 3 6 65 3 2圆管振荡流 牛顿流体 3 复杂粘弹性流体的流动 2020 3 6 66 牛顿流体 3 2圆管振荡流 2020 3 6 67 2020 3 6 68 FractionalMaxwellmodel Maxwellmodelwhena b 1 分数阶Maxwell流体的圆管振荡流 3 2圆管振荡流 2020 3 6 69 Exactsolution 3 2圆管振荡流 2020 3 6 70 MaxwellfluidPTFE 3 2圆管振荡流 2020 3 6 71 3 3复杂粘弹性流体的Couette流 Tan W C Xu M Y PlanesurfacesuddenlysetinmotioninaviscoelasticfluidwithfractionalMaxwellmodel ActaMech Sinica 2002 18 342 349 W Shaowei X Mingyu ExactsolutiononunsteadyCouetteflowofgeneralizedMaxwellfluidwithfractionalderivative ActaMechanica 2006 187 103 112 HaitaoQi HuiJin UnsteadyrotatingflowsofaviscoelasticfluidwiththefractionalMaxwellmodelbetweencoaxialcylinders ActaMech Sinica 2006 22 301 305 2020 3 6 72 4 分数阶微积分在流体力学中的其它应用 Sugimoto N PropagationofnonlinearacousticwavesinatunnelwithanarrayofHelmholtzresonators JFM 1992 244 55 78 4 1在排列有一组Helmhol