二次函数的应用（第1课时）.docx

第课时1.经历探究矩形最大面积问题和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.1.能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展学生解决问题的能力,学会用建模的思想去解决其他和函数有关的应用问题.2.通过观察图象,理解顶点的特殊性,会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题,通过动手动脑,提高分析、解决问题的能力,并体会一般与特殊的关系,培养数形结合思想、函数思想.1.在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识,逐步养成合作交流的习惯.2.培养学生学以致用的习惯,体会数学在生活中广泛的应用价值,激发学生学习数学的兴趣、增强自信心.【重点】能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题.【难点】能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习二次函数的性质及最值和几何图形的面积公式.导入一:一养鸡专业户计划用长116 m的竹篱笆靠墙(如图所示)围成一个矩形鸡舍,怎样设计才能使围成的矩形鸡舍的面积最大?最大面积为多少?学生分析解题思路:设BC=x m,则AB=CD=12(116-x)m,矩形鸡舍的面积为S,根据矩形的面积公式就可以得出S与x之间的函数关系式,由二次函数的顶点式就可以求出结论.【引入】求矩形鸡舍的最大面积的实质就是求二次函数表达式的最值问题,本节课我们就来探究形如最大面积的问题.设计意图通过对养鸡场的设计,既揭示了本节课的主题,又让学生体会了成功的喜悦,大大激发了学生的学习兴趣.导入二:同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多?课件出示:(生活中常见的广告牌)请同学们思考下面的问题:现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌?【问题】显然在周长一定的情况下,面积越大,利润就越多,老总越满意,如何能让广告牌的面积最大呢?设计意图通过实际情境设置悬念,引入新课,让学生充分感受到最值的概念,让学生亲身实践探究,培养学生思维的缜密性,渗透函数思想.一、探究几何图形的最大面积问题过渡语在日常生活中,我们经常遇到与面积有关的设计问题,今天我们探究在什么情况下面积最大,最大面积又是多少的问题.给出课本的【引例】和【议一议】两个问题,探究最大面积的求解方法.【引例】如图所示,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.(1)如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?(2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?思路一教师引导学生思考下面的问题:1.EBC和EAF有什么关系?2.如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?3.如何表示矩形ABCD的面积?4.若矩形的面积为y m2,如何确定矩形ABCD面积的最大值?【师生活动】老师引导学生逐题解决,学生独立思考,然后与同伴交流,最后在小组交流中统一思路,代表展示:解:(1)AB=x,CD=AB=x.BCAD,EBCEAF.EBEA=BCAF.又AB=x,BE=40-x,40-x40=BC30,BC=34(40-x).AD=BC=34(40-x)=30-34x.(2)由矩形面积公式,得y=ABAD=x34(40-x),即y=-34x2+30x=-34(x-20)2+300.所以当x=20时,y的值最大,最大值是300.即当AB边长为20 m时,矩形ABCD的面积最大,是300 m2.思路二【教师设疑】如果设AD边的长为x m,那么问题会怎样呢?与同伴交流.【学生活动】小组讨论后,统一想法:要求面积需求AB边的长,而AB=DC,所以需要求DC的长度,而DC是FDC中的一边,所以可以利用三角形相似来求.解:(1)DCAB,FDCFAE,DCAE=FDFA.AD=x,FD=30-x,DC40=30-x30.DC=43(30-x),AB=DC=43(30-x).(2)y=ABAD=43(30-x)x=-43x2+40x=-43(x-15)2+300.当x=15时,y最大=300.即当AD的长为15 m时,矩形的面积最大,最大面积是300 m2.设计意图从矩形的面积公式入手,利用相似三角形的性质表示出另外一条边,才能列出函数表达式,这一过程先由学生独立思考后,分组合作探究、交流,帮助个别存在困难的同学解决.此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法.过渡语如果我们将上面的问题进行变式,你能求出它的最大面积吗?课件出示:【议一议】在上面的问题中,如果把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变,那么矩形的最大面积是多少?你是怎样知道的?【师生活动】通过观察,想一想此图形和上面图形的区别,判断是否也可以利用相似解决.经过讨论交流,一部分学生得出:可以利用相似三角形对应高的比等于相似比解决.对于感觉有难度的学生,老师给予提示:可以过点G作GNEF于点N,交AD于点M.【学生活动】学生先尝试独立解答,仍感觉有困难的学生可以求助同学或老师.【教师活动】学生解答后,老师课件出示解题过程,供学生订正,规范学生的解题步骤.解:如图所示,过点G作GNEF于点N,交AD于点M.在RtGEF中,由勾股定理,得EF=GE2+GF2=302+402=50.再由等积法求斜边上的高,得12GEGF=12EFGN,即123040=1250GN,GN=24.设矩形的一边AD=x m,由GADGEF,得ADEF=GMGN,即x50=GM24,GM=1225x,AB=MN=GN-GM=24-1225x,S矩形ABCD=ADAB=x24-1225x=-1225x2+24x.当x=-b2a=-242-1225=25时,y最大值=-2424-1225=300.【教师点评】虽然这两个内接矩形情形不同,但得到最大面积都是300 m2.设计意图既加深了旧知的复习应用,又在比较中总结表示线段的多种方法,让学生体会到类比解题,在同中找异.知识拓展求二次函数最大(小)值的方法:(1)利用顶点坐标公式,求最大(小)值;(2)利用配方法化为顶点式,求最大(小)值;(3)利用图象,找顶点,求最大(小)值.过渡语通过上面的探究,我们已经掌握了求最大面积的方法,你能运用这个知识解决我们生活中的有关面积的问题吗?二、探究窗户透光最大面积问题(教材例1)某建筑物的窗户如图所示,它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01 m)此时,窗户的面积是多少?(结果精确到0.01 m2)解析求透过窗户的光线最多,也就是求矩形和半圆的面积之和最大,矩形的面积为2xy,即2x15-7x-x4,半圆的面积为12x2,所以窗户的面积为S=12x2+2x15-7x-x4,求出函数最大值即可.解:7x+4y+x=15,y=15-7x-x4.0x15,且015-7x-x415,0x1.48.设窗户的面积是S m2,则:S=12x2+2xy=12x2+2x15-7x-x4=-72x2+152x=-72x-15142+22556.当x=15141.07时,S最大=225564.02.因此当x约为1.07 m时,窗户通过的光线最多,此时,窗户的面积约为4.02 m2.【教师点评】确定自变量x的取值范围时,往往需要解不等式组.设计意图“乘胜追击”,在学生已有的探究“面积最大值”经验获取的体会中,让学生继续沿着这条探究路线走下去,既能巩固前面的探究方法,又能让学生再次感受“数学来源于生活”.知识拓展利用二次函数知识解决生活中最大(小)值问题的方法:(1)找出题目中的等量关系.(2)把实际问题转化为数学问题.1.利用相似三角形的性质表示矩形的另一边,是列矩形面积与一边长的函数关系式的关键.2.几何图形最大面积问题,实质上是二次函数的最值问题.3.解决此类问题,理解问题,分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系是难点,用数学的方式表示它们间的关系是关键,化归为二次函数并运用公式求解是易错点.1.已知二次函数y=3x2-12x+13,则函数值y的最小值是()A.3B.2C.1D.-1解析:二次函数y=3x2-12x+13可化为y=3(x-2)2+1,当x=2时,二次函数y=3x2-12x+13有最小值,为1.故选C.2.用长为8 m的铝合金制成的形状为矩形的窗框,则窗框的透光面积最大为()A.6425 m2B.43 m2C.83 m2D.4 m2解析:设矩形的一边长为x m,则另一边长为(4-x)m,矩形的面积S=x(4-x)=-(x-2)2+4,因为a=-10,所以当x=2时,S有最大值,最大值为4.故选D.3.周长为16 cm的矩形的最大面积为cm2.解析:设矩形的一边长为x cm,所以另一边长为(8-x)cm,其面积为S=x(8-x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,周长为16 cm的矩形的最大面积为16 cm2.故填16.4.如图所示,一边靠墙(墙足够长),用120 m篱笆围成两间相等的矩形鸡舍,要使鸡舍的总面积最大,则每间鸡舍的长与宽分别是m, m.解析:由题意,得2x+3y=120,所以y=40-23x,鸡舍的总面积S=2x40-23x=-43(x-30)2+1200,所以当x=30时,鸡舍的总面积最大,此时y=20.答案:30205.一块三角形废料如图所示,C=90,AC=8,BC=6.用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中,点D,E,F分别在AC,AB,BC上.当AE为多长时所剪出