2019-2020学年成都市嘉祥教育集团高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省成都市嘉祥教育集团高一上学期期中数学试题一、单选题1已知集合，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据元素与集合的关系可确定不是子集，排除；由并集结果排除；由交集结果确定最终选项.【详解】， 不是的子集，错误；，错误；由交集定义知：，正确，错误.故选：【点睛】本题考查集合中的交集、并集和包含关系的判定，属于基础题.2函数的定义域为A2，0)(0，2B(1，0)(0，2C2，2D(1，2【答案】B【解析】x满足，即. 解得1x0或0x，选B3已知幂函数的图象经过点，则（ ）A2BCD【答案】C【解析】将点代入幂函数解析式，可求得解析式，代入即可得到结果.【详解】设幂函数，则，解得： 故选：【点睛】本题考查幂函数解析式及函数值的求解问题，关键是能通过待定系数法的方式求得函数解析式.4函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据函数奇偶性可排除；根据时，函数值的极限可排除，从而得到结果.【详解】 函数为奇函数，图象关于原点对称，排除当时， ，排除故选：【点睛】本题考查函数图象的辨析问题，解决此类问题通常采用排除法，排除顺序一般为：奇偶性、特殊值、单调性.5函数的单调增区间为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据对数函数定义域要求可求得函数定义域；根据复合函数单调性“同增异减”原则，分别判断两个构成部分的单调性，进而得到所求单调区间.【详解】由得：或，即定义域为当时，单调递减；当时，单调递增又为上的减函数的单调递增区间为故选：【点睛】本题考查复合函数单调区间的求解问题，关键是明确复合函数单调性遵循“同增异减”原则；易错点是忽略函数定义域的要求，造成区间求解错误.6已知函数若，则（ ）A15B2CD【答案】A【解析】首先求得，分别在和两种情况下利用构造方程求得结果.【详解】 当，即时，解得：（舍）当，即时，即，解得：综上所述：故选：【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解参数值的问题，关键是能够通过对自变量不同取值范围的讨论得到对应的方程，进而求得结果.7已知，则a，b，c的大小关系为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据对数函数单调性可确定，根据指数函数单调性可确定，由此可得三者大小关系.【详解】，故选：【点睛】本题考查比较指数、对数值的大小问题；关键是能够根据指数函数单调性、对数函数单调性确定各个值的临界值，通过临界值确定大小关系.8已知是定义在R上的奇函数，满足.若，则（ ）A2B0CD4【答案】D【解析】根据得到函数对称轴为，又函数为奇函数，可得函数的周期；利用周期和对称性可知所求式子等于，从而得到结果.【详解】 关于对称 又为定义在上的奇函数 是周期为的周期函数且，故选：【点睛】本题考查根据函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题；关键是能够通过函数的对称轴和对称中心确定函数的周期.9统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现；我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有（约2.16）倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的（，）（ ）Al8倍B21倍C24倍D27倍【答案】D【解析】根据已知条件可构造出函数关系式，进而得到，根据对数运算法则可解方程求得近似值.【详解】由题意可知，看到图形面积大小与图形实际面积之间满足若看到全国面积约为某县面积的倍，则，解得： 故选：【点睛】本题考查利用函数模型求解实际问题，关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合对数运算性质求得结果.10设表示不超过实数x的最大整数，则方程的根有（ ）A4个B3个C2个D1个【答案】B【解析】将问题转化为与的图象交点个数，在同一平面直角坐标系中作出两函数图象，从而得到结果.【详解】方程根的个数等价于与的图象交点个数在平面直角坐标系中，分别作出两个函数的图象如下图所示：由图象可知，两个函数共有个不同的交点 方程有个根故选：【点睛】本题考查方程根的个数的求解，涉及到新定义函数的问题；关键是能够将问题转化为两函数交点个数求解的问题，在充分理解新定义的情况下得到函数图象，采用数形结合的方式得到结果.11已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【解析】构造函数，由奇偶性定义可知为奇函数；由在上的单调性和奇偶性可确定在上单调递增；将所给不等式化为，利用单调性可得，进而求得结果.【详解】令为定义在上的奇函数又与均为上的增函数在上单调递增，又为奇函数 在上单调递增为上的增函数由得：即 ，解得：不等式的解集为故选：【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，将所求不等式转化为已知单调性的函数的函数值之间的比较，进而根据函数单调性得到自变量之间的大小关系.12已知定义域为的函数满足：（1）对任意，恒有成立；（2）当时，.给出如下结论：对任意，有；函数的值域为；若函数在区间上单调递减，则存在，使得.其中所正确结论的序号是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据进行转化可求得，知正确；取，可得，由此可推导得到，知正确；由中所得函数的单调性可知正确.【详解】 ，正确；取，则 的值域为，正确；由知：时，此时单调递减由此可知，存在，使得在上单调递减，正确.故选：【点睛】本题考查抽象函数性质的综合应用问题，涉及到值域的求解、单调性的判断等知识；关键是能够利用推导得到在时的函数解析式，进而再来判断函数的性质和值域.二、填空题13已知，若幂函数为偶函数，且在上递减，则_.【答案】【解析】根据幂函数在上的单调性可知，由奇偶性可排除，进而得到结果.【详解】在上递减 或当时，为定义在上的偶函数，满足题意当时，定义域为，为非奇非偶函数，不合题意综上所述：故答案为：【点睛】本题考查根据幂函数的单调性和奇偶性求解函数解析式的问题，关键是明确幂函数在第一象限内单调递减，则.14设实数x满足，且，则_.【答案】【解析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为，解方程求得或，进而结合的范围求得结果.【详解】 即，解得：或 或 故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.15已知，则集合中所有元素之和为_.【答案】【解析】根据函数解析式首先确定函数定义域；由单调性的性质可得到在定义域内单调递减，结合可确定的解集，从而得到集合，进而得到结果.【详解】由得：，即定义域为在上单调递减，在上单调递减在上单调递减 又 集合中所有元素之和为故选：【点睛】本题考查根据函数单调性求解函数不等式的问题，关键是能够通过函数的单调性确定自变量的取值范围，从而构造出不等式；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.16已知函数（且），若定义域上的区间，使得在上的值域为，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】根据对数函数定义域要求可求得定义域，根据定义域和值域的区间端点值大小关系可确定，从而确定是方程的两根，由此将问题转化为方程在有两个不等实根的问题，由此构造不等式求得结果.【详解】 定义域为且 在上单调递增 在上单调递减，且是方程的两根 即在上有两个不等实根即在上有两个不等实根，解得： 的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查根据函数定义域和值域求解参数范围的问题，涉及到函数单调性的应用、对数方程的求解、一元二次方程在区间内有实根的问题；关键是能够根据函数定义域和值域确定函数的单调性，利用单调性确定是方程的两根，将问题转化为一元二次方程在区间内有实根问题的求解.三、解答题17计算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据指数幂运算法则化简求解即可；（2）根据对数运算法则化简求解即可.【详解】（1）（2）【点睛】本题考查利用指数幂、对数运算法则化简求值的问题，考查基础公式的应用.18已知集合，.（1）化简集合A，B；（2）已知集合，若集合，求实数m的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）根据一元二次不等式、绝对值不等式的解法即可解不等式求得结果；（2）由交集定义求得，根据可分为和两种情况构造出不等式求得结果.【详解】（1），（2）由（1）知：当时，解得：；当时，解得：综上所述：【点睛】本题考查一元二次不等式和绝对值不等式的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误.19已知是定义在R上的奇函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明.【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析【解析】（1）当，代入函数解析式，利用奇偶性可求得时函数的解析式，结合可得分段函数解析式；（2）设，可得到，可验证得到，从而可知函数在上单调递增.【详解】（1）当时， 为奇函数 又 的解析式为：（2）在上单调递增，证明如下：令则 ， 又， 在上单调递增【点睛】本题考查根据奇偶性求解函数解析式、定义法求解函数的单调性的问题；考查了学生对于函数单调性和奇偶性的应用；易错点是忽略函数定义域为的情况，造成解析式缺失.20如图，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是3 km，从点P沿海岸正东12 km处有一个渔村.（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是.y（单位：h）表示他从小岛到渔村的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处A与P点的距离.请将y表示为x的函数，并写出定义域；（2）在（1）的条件下，是否有一个停船的位置使得从小岛到渔村花费的时间最少?说明理由.（）【答案】（1），；（2）当停船位置距离点约时，从小岛到渔村花费的时间最少；理由见解析【解析】（1）利用路程除以速度可得时间，从而构造出函数关系式；（2）利用定义法可证得函数在上单调递减，在上单调递增；由此可得当时，所花费时间最少.【详解】（1）由题意得：小岛距离点的距离为一个人从小岛到处所需时间为，从处到渔村所需时间为，（2）当时，函数在上单调递减同理可得：函数在上单调递增当时，（）当停船位置距离点约时，从小岛到渔村花费的时间最少【点睛】本题考查构造函数模型求解实际问题，涉及到最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够判断出函数的单调区间，进而根据单调性得到最值点.21已知函数（）.（1）若函数在区间上的最小值为1，求实数m的值；（2）若函数，其中为奇函数，为偶函数，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，将函数化为二次函数，通过讨论二次函数对称轴的不同位置得到函数的单调性，从而利用最小值构造方程求得的值；（2）由与，结合奇偶函数可构造方程组求得与解析式；采用分离变量的方式将不等式化为，令，根据对号函数的性质可求得的最小值为，从而得到，进而得到的取值范围.【详解】（1）由题意得：令 在上的最小值为当，即时，在上单调递减 解得：（舍）当，即时，在上单调递增 解得：当，即时，在上单调递减，在上单调递增，解得：（舍）或（舍）综上所述：（2） 当时，即令，则令，则在上单调递减，在上单调递增 ，解得：即实数的取值范围为【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数值、恒成立问题的求解等问题，涉及到一元二次函数最值的讨论、构造方程组法求解函数解析式、函数奇偶性的应用和最值的求解等知识；本题中恒成立问题的求解关键是能够通过构造方程组和奇偶性相结合求得函数解析式，进而利用分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系.22已知二次函数的图象是以原点为顶点且过点的抛物线，反比例函数的图象（双曲线）与直线的两个交点间的距离为8，.（1）求函数的表达式；（2）当时，讨论函数的零点个数.【答案】（1）；（2）当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点【解析】（1）采用待定系数法，分别假设两函数解析式，根据所过点和交点距离可构造方程求得参数，从而得到两函数解析式，进而求得结果；（2）令，可化简为，从而确定是方程一个解；令，将问题转化为一元二次方程根的个数的讨论；分别在、和三种情况下求得根的个数，并验证根与是否相同，从而得到结果.【详解】（1）设 设，由可得两交点坐标为和两个交