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1 第 4 章 数值计算数值计算 科研和工程计算可分为数值计算和符号计算两类 数值计算具有适应性强 应用广泛 的优点 MATLAB 凭借其卓越的数值计算能力而称雄世界 随着科研领域 工程实践的数 字化进程的深入 具有数字化本质的数值计算显得愈益重要 今天计算机几乎已经普及到每个从事工程和科研的从业人员 普及到每个正在接受理 工科培养的学生 计算机软硬件的普及使人们拥有了前所未有的计算潜能 激发了人们质 疑旧方法尝试新算法的欲望 鼓舞了人们用新计算能力试探解决实际问题的雄心 本章内容显著不同于常见的数值计算教科书 本章的讨论围绕 MATLAB 数值计算资 源的正确使用展开 在 最低限度自封闭 的原则下 本章以最简明的方式阐述理论数 学 数值数学和 MATLAB 计算指令之间的内在联系及区别 并尽可能勾画清问题的来龙 去脉 以帮助读者克服由于知识跳跃和交叉引起的困惑 本章的阐述从数值计算的离散数体系开始 此后各节分别涉及 微积分 矩阵和代数 方程 随机数发生和统计 多项式运算和卷积 拟合和最小二乘 插值和样条 Fourier 分 析 微分方程 和优化计算等 与本书的旧版本相比 本章在拓宽内容覆盖面和加强内容纵深性两方面都做出了较大 努力 如本章新增了随机数的重现及非重现控制 高阶统计 全域寻优等节次 顺便提醒 随书光盘 mbook 目录下的 ch04 数值计算 doc 文件 保存有该章算例的 所有彩色图形 mfile 目录上则保存着所有算例中带 exm 前缀文件名的 M 文件 MAT 数据 文件 MDL 块图模型文件的电子文档 4 1MATLAB 的浮点数体系的浮点数体系 4 2数值微积分数值微积分 4 2 1数值极限数值极限 例 4 2 1 设 由分析 xx x xf sin2 2cos1 1 x x xf sin 2 知 试用数值法求这两个函数的极限 1 lim lim 2 0 1 0 xfxf xx lim 1 0 xf x lim 2 0 xf x 1 k logspace 0 14 15 x k eps f1 1 cos 2 x x sin x 2 f2 sin x x format short e disp blanks 7 x blanks 11 f1 blanks 11 f2 disp x f1 f2 clf n1 sum f1 10 10 subplot 2 1 1 semilogx x 1 n1 f1 1 n1 ro LineWidth 3 hold on semilogx x n1 1 end f1 n1 1 end b LineWidth 3 hold off text 10 14 0 2 错误区段错误区段 text 10 6 0 8 正确区段正确区段 axis 10 20 1 0 1 1 2 grid on title f2 subplot 2 1 2 semilogx x f2 b LineWidth 3 axis 10 20 1 0 1 1 title f1 xlabel x grid on shg x f1 f2 2 2204e 016 0 1 0000e 000 2 2204e 015 0 1 0000e 000 2 2204e 014 0 1 0000e 000 2 2204e 013 0 1 0000e 000 2 2204e 012 0 1 0000e 000 2 2204e 011 0 1 0000e 000 2 2204e 010 0 1 0000e 000 2 2204e 009 0 1 0000e 000 2 2204e 008 1 0133e 000 1 0000e 000 2 2204e 007 9 9980e 001 1 0000e 000 2 2204e 006 1 0000e 000 1 0000e 000 2 2204e 005 1 0000e 000 1 0000e 000 2 2204e 004 1 0000e 000 1 0000e 000 2 2204e 003 1 0000e 000 1 0000e 000 2 2204e 002 9 9992e 001 9 9992e 001 10 20 10 15 10 10 10 5 10 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 f2 10 20 10 15 10 10 10 5 10 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 f1 x 图 4 2 1 自变量大小对数值近似极限正确性的影响 2 syms t fs1 1 cos 2 t t sin t 2 fs2 sin t t Ls1 limit fs1 t 0 Ls2 limit fs2 t 0 Ls1 1 Ls2 1 3 4 2 2数值差分数值差分 例 4 2 2 在区间 0 3 内 计算函数的两点前向差分和内点中心差分 2 2 4 xf 并绘制相应的图形 图 4 2 2 clf h 0 5 x 0 h 3 f 4 x 2 2 df diff f gf gradient f subplot 2 1 1 hold on plot x f r x1 x 1 end 1 plot x1 df bo legend f df text 1 3 4 f3 text 1 5 4 2 f4 text 1 05 1 1 df3 f4 f3 axis 1 4 2 5 xlabel x box on hold off subplot 2 1 2 hold on plot x f r plot x1 df bo plot x gf k legend f df gf text 0 0 5 f1 text 2 9 2 4 f7 text 0 45 2 2 gf1 f2 f1 text 3 0 3 gf7 f7 f6 text 0 5 2 3 f2 text 1 5 4 2 f4 text 1 05 1 3 gf3 f4 f2 2 axis 1 4 2 5 xlabel x box on hold off shg 4 图 4 2 2 前向差分 绿线 和中心差分 红线 比较图 4 2 3数值积分 数值积分 Numerical Integration 1 一元函数积分 一元函数积分 Quadrature 例 4 2 3 以为被积函数 在区间 使用 quad 指令计算积分 2 1 cos at ty 3 02 0 t 被积函数中的是可调参数 3 0 2 0 dttyGa 1 clear format long a 1 5 y1 t cos 1 a t 2 S1 quad y1 0 2 0 3 S1 0 020233343050626 2 y2 t exm040203 chirp t a S2 quad y2 0 2 0 3 S2 0 020233343050626 3 y3 inline cos 1 a t 2 t a S3 quad y3 0 2 0 3 a S3 0 020233343050626 5 4 y4 exm040203 chirp S4 quad y4 0 2 0 3 a S4 0 020233343050626 5 S5 quad exm040203 chirp 0 2 0 3 a S5 0 020233343050626 6 y6 cos 1 a t 2 S6 quad y6 0 2 0 3 a S6 0 022369509291986 例 4 2 4 求曲线与所夹区域的面积 xxf 1 3 2 xxf 1 format long f1 x sqrt x f2 x x 3 s1 quad f1 0 1 s2 quad f2 0 1 S s1 s2 S 0 41665956927202 2 利用 quadv 指令计算 f x sqrt x x 3 s quadv f 0 1 Sv s 1 s 2 Sv 0 41665956927202 例 4 2 5 求积分 其中 0 dxxys x x y sin 1 format long x1 linspace 0 pi 100 x1 1 realmin y1 sin x1 x1 S t1 trapz x1 y1 S t1 1 85191034030911 2 x2 linspace 0 pi 200 x2 1 realmin y2 sin x2 x2 S t2 trapz x2 y2 E t1 abs S t2 S t1 S t2 1 85193044104299 E t1 2 010073387803679e 005 6 3 ys x sin x x S simposon quad ys 0 pi 1e 7 Warning Divide by zero In x sin x x In quad at 63 S simposon 1 85193705268094 4 syms x S sym vpa int sin x x 0 pi S sym 1 8519370519824661703610533701580 2 样条法求一元数值积分样条法求一元数值积分 例 4 2 6 运用样条函数求积分 其中 0 dxxys x x y sin xx 0 0 01 pi xx 1 realmin ff sin xx xx pp spline xx ff int pp fnint pp format long Sw ppval int pp 0 pi S sp Sw 2 Sw 1 E S sp abs S sym S sp Sw 0 00000000000000 1 85193705198084 S sp 1 85193705198084 E S sp 16310342830681444470e 11 3 用用 SIMULINK 求一元数值积分求一元数值积分 例 4 2 7 运用 SIMULINK求积分 其中 0 dxxys x x y sin 1 2 图 4 2 3 解题模型 exm040207 mdl 和解算结果 3 format long S simulink simout end E simulink abs S sym S simulink S simulink 1 851937051983002 E simulink 7 5356769717903110573e 12 4 2 4 多重数值积分多重数值积分 1 常限重积分常限重积分 例 4 2 8 计算和 2 1 1 0 01 dydxxS y x 1 0 2 1 12 dydxxS y x 1 syms x y ssx01 vpa int int x y x 0 1 y 1 2 ssx12 vpa int int x y x 1 2 y 0 1 ssx01 40546510810816438197801311546432 ssx12 1 2292741343616127837489278679215 0 i 2 zz inline x y x y nsx01 dblquad zz 0 1 1 2 nsx12 dblquad zz 1 2 0 1 nsx01 0 4055 nsx12 1 2293 说明 nsx01 dblquad x y x y 0 1 1 2 nsx01 dblquad x y 0 1 1 2 nsx01 dblquad inline x y 0 1 1 2 2 变限重积分变限重积分 例 4 2 9 计算抛物截柱 见图 4 2 4 的体积 dydxyxI y 4 1 2 22 1 clf clear xa 1 xb 2 ya 1 yb 4 x xa 0 5 0 01 xb 0 5 y ya 0 5 0 01 yb 0 5 X Y meshgrid x y Z X 2 Y 2 M Yyb Xxb Z M 0 surf X Y Z hold on x0 x 1 0 5 x end yi 2 y0 yi ones size x0 X0 Y0 meshgrid x0 y0 n0 m0 size X0 8 zup xb 2 yi 2 z0 linspace 0 zup n0 Z0 repmat z0 1 m0 surf X0 Y0 Z0 shading interp xlabel x ylabel y light position 0 0 5 light position 0 5 26 material metal lighting gouraud colormap jet title 待求体积的抛物截柱待求体积的抛物截柱 text 2 5 1 9 9 fontsize 14 y yi 2 axis 0 5 2 5 0 5 4 5 0 20 box on view 55 40 shg 图4 2 4 待求体积的抛物截柱及其 yi 2 截面 2 Ssym vpa int int x 2 y 2 x sqrt y 2 y 1 4 Ssym 9 5809523809523809523809523809524 3 format long gxy x y x 2 y 2 ingy y sqrt y Sq Eb quad2d gxy 1 4 ingy 2 Sq 9 580952380956605 Eb 7 393502957048358e 010 4 3矩阵分析矩阵分析 4 3 1矩阵运算和特征参数矩阵运算和特征参数 9 1 矩阵运算矩阵运算 例 4 3 1 观察矩阵的转置操作和数组转置操作的差别 format rat A magic 2 j pascal 2 A 1 1i 3 1i 4 1i 2 2i A1 A A2 A A1 1 1i 4 1i 3 1i 2 2i A2 1 1i 4 1i 3 1i 2 2i B1 A A B2 A A C1 A A C2 A A B1 12 13 1i 13 1i 25 B2 2 13 1i 13 1i 8 C1 8 8i 7 13i 7 13i 15 16i C2 0 2i 11 7i 11 7i 0 8i 2 矩阵的标量特征参数矩阵的标量特征参数 例 4 3 2 矩阵标量特征参数计算示例 A reshape 1 9 3 3 r rank A d3 det A d2 det A 1 2 1 2 t trace A A 1 4 7 2 5 8 3 6 9 r 2 d3 0 d2 3 t 15 4 3 2 奇异值分解和矩阵结构奇异值分解和矩阵结构 10 1 奇异值分解奇异值分解 例 4 3 3 对光盘数据文件 exm040303 data mat 中的矩阵进行奇异值分解 研究在 56 A 不同意义上的数值秩 1 load exm040303 data 2 format short g U S V svd A U 0 4137 0 61781 0 34716 0 097102 0 37765 0 41785 0 61551 0 030071 0 046012 0 54145 0 16137 0 54673 0 18582 0 028984 0 70798 0 16596 0 6295 0 19896 0 48785 0 17762 0 60197 0 29915 0 50782 0 14396 0 12281 0 3335 0 068392 0 5987 0 24182 0 67238 0 40299 0 68832 0 095326 0 47109 0 34455 0 11867 S 3 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 002 0 0 0 0 0 1e 005 0 0 0 0 0 V 0 34727 0 44684 0 52599 0 63379 0 037052 0 45724 0 32954 0 42741 0 33658 0 62158 0 74906 0 33534 0 33582 0 07806 0 45562 0 3276 0 75955 0 30919 0 45079 0 13021 0 043812 0 048657 0 57644 0 52509 0 62267 3 s diag S n length s plot 1 n s k 1 n s k MarkerSize 20 xlabel 1 n ylabel Sigular values title Sigular values of matrix A 11 522 533 544 55 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 1 n Sigular values Sigular values of matrix A 11 图 4 3 1 矩阵 A 的奇异值分布图 4 A rank0 rank A A null0 null A A rank0 5 A null0 Empty matrix 5 by 0 5 dw 0 001 A rank noise rank A 3 dw S 1 1 length A A rank noise 3 6 Ar U 1 A rank noise diag s 1 A rank noise V 1 A rank noise df S 4 4 2 S 5 5 2 ds sqrt df da max max abs A Ar Ar 0 54347 0 44492 0 84239 0 65624 0 06736 0 63792 0 85202 1 386 0 59151 0 077918 0 13498 0 21731 0 45571 0 20226 0 082263 0 59226 0 67595 1 0382 0 52085 0 011219 0 048393 0 21932 0 3351 0 0030023 0 029774 0 25903 0 6605 1 0255 0 13877 0 077405 df 4 0001e 006 ds 0 002 da 0 00075881 2 与奇异值相关的矩阵结构与奇异值相关的矩阵结构 4 4特征值分解和矩阵函数特征值分解和矩阵函数 4 4 1特征值分解问题特征值分解问题 例 4 4 1 简单实阵的特征值分解及特征值阵的 复 实转换 A 1 3 2 2 3 V D eig A VR DR cdf2rdf V D V 0 7746 0 7746 0 043033 0 63099i 0 043033 0 63099i D 0 83333 2 4438i 0 0 0 83333 2 4438i VR 0 7746 0 0 043033 0 63099 DR 0 83333 2 4438 2 4438 0 83333 12 例 4 4 2 矩阵的 Jordan 分解 format short g A gallery 5 V D c eig condeig A VJ DJ jordan A D c eig DJ A 9 11 21 63 252 70 69 141 421 1684 575 575 1149 3451 13801 3891 3891 7782 23345 93365 1024 1024 2048 6144 24572 D 0 0408 0 0 0 0 0 0 0119 0 0386i 0 0 0 0 0 0 0119 0 0386i 0 0 0 0 0 0 0323 0 0230i 0 0 0 0 0 0 0323 0 0230i c eig 2 1969e 010 2 1468e 010 2 1468e 010 2 0688e 010 2 0688e 010 DJ 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 4 2矩阵的谱分解和矩阵函数矩阵的谱分解和矩阵函数 例 4 4 3 数组乘方与矩阵乘方的比较 clear A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A Ap A 0 3 A Mp A 0 3 A Ap 1 1 2311 1 3904 1 5157 1 6207 1 7118 1 7928 1 8661 1 9332 A Mp 0 69621 0 60322i 0 43582 0 16364i 0 17546 0 27592i 0 63251 0 066583i 0 73087 0 018084i 0 8292 0 03047i 0 56883 0 47003i 1 0259 0 12752i 1 483 0 21501i 例 4 4 4 标量的数组乘方和矩阵乘方的比较 A 取自例 4 2 4 pA A 0 3 A pA M 0 3 A pA A 0 3 0 09 0 027 0 0081 0 00243 0 000729 0 0002187 6 561e 005 1 9683e 005 pA M 2 9342 0 41746 1 0993 13 0 027814 0 74955 0 47309 1 9898 0 91836 1 1531 例 4 4 5 sin 的数组运算和矩阵运算比较 A 取自例 4 2 4 A sinA sin A A sinM funm A sin A sinA 0 84147 0 9093 0 14112 0 7568 0 95892 0 27942 0 65699 0 98936 0 41212 A sinM 0 69279 0 23059 0 23161 0 17243 0 14335 0 11427 0 34793 0 056116 0 46016 4 5解线性方程解线性方程 4 5 1求解线性方程的相关指令求解线性方程的相关指令 4 5 2线性方程矩阵除解法线性方程矩阵除解法 例 4 5 1 求逆 法和 左除 法解恰定方程的性能对比 1 rng 0 v5normal A gallery randsvd 100 2e13 2 x ones 100 1 b A x cond A ans 1 9990e 013 2 tic xi inv A b ti toc eri norm x xi inf rei norm A xi b inf ti 0 0018 eri 0 0143 rei 0 0092 3 tic xd A b td toc erd norm x xd inf red norm A xd b inf td 9 0682e 004 erd 0 0125 red 9 1038e 015 14 4 5 3线性二乘问题的解线性二乘问题的解 例 4 5 2 对于超定方程 进行三种解法比较 其中取 MATLAB 库中的特殊Axy A 函数生成 1 A gallery 5 A 1 y 1 7 7 5 6 3 0 83 0 082 x inv A A A y xx pinv A y xxx A y Warning Matrix is close to singular or badly scaled Results may be inaccurate RCOND 1 710726e 018 x 3 3897 5 7774 3 2803 1 1605 xx 3 4759 5 1948 0 7121 0 1101 Warning Rank deficient rank 3 tol 1 0829e 010 xxx 3 4605 5 2987 0 0 2974 2 nx norm x nxx norm xx nxxx norm xxx nx 7 5482 nxx 6 2918 nxxx 6 3356 3 e norm y A x ee norm y A xx eee norm y A xxx e 1 2678 ee 0 0474 eee 0 0474 4 5 4一般代数方程的解一般代数方程的解 例 4 5 3 求的零点 5 0 sin 1 02 tettf t 1 S solve sin t 2 exp 0 1 t 0 5 abs t t S 15 0 2 YC t sin t 2 exp 0 1 t 0 5 abs t 3 t 10 0 01 10 Y YC t clf plot t Y r hold on plot t zeros size t k xlabel t ylabel y t hold off 图 4 5 1 函数零点分布观察图 4 zoom on tt yy ginput 5 zoom off 图 4 5 2 局部放大和利用鼠标取值图 tt tt 2 0039 0 5184 0 0042 0 6052 1 6717 5 t4 y4 fzero YC 0 1 t4 0 5993 16 y4 1 1102e 016 4 6 随机变量的产生及其特征描述随机变量的产生及其特征描述 4 6 1随机数的产生及重现控制随机数的产生及重现控制 1 默认全局随机流的简明管理指令默认全局随机流的简明管理指令 2 三种基本随机数发生指令三种基本随机数发生指令 例 4 6 1 本例演示 三条随机数基本发生指令 rand randn randi 的调用格式 三种随机 数的产生都依赖全局随机流 任何随机数发生指令的运行 都将影响其它随机数发生指令 的运行结果 如何利用 rng 指令恢复默认全局随机流初始态 如何获取当前随机发生器的 属性数据 如何利用构架属性数据重置随机数发生器 1 rng default r1 rand 1 3 r2 randn 1 4 r3 randi 8 8 3 10 r1 0 8147 0 9058 0 1270 r2 0 8622 0 3188 1 3077 0 4336 r3 1 6 0 1 8 6 4 3 8 7 8 8 5 7 3 7 4 6 4 5 8 8 6 5 8 3 2 4 8 3 2 s rng r2 rand 1 4 rr2 rand 1 4 s Type twister Seed 0 State 625x1 uint32 r2 0 3171 0 9502 0 0344 0 4387 rr2 0 3816 0 7655 0 7952 0 1869 rng s ss rng all ss State s State r3 rand 1 4 rn randn 1 2 rr3 rand 1 4 ss Type twister 17 Seed 0 State 625x1 uint32 ans 1 r3 0 3171 0 9502 0 0344 0 4387 rn 0 2414 0 3192 rr3 0 7952 0 1869 0 4898 0 4456 说明 3 用户随机流的创建和使用用户随机流的创建和使用 例 4 6 2 本例演示 rng 指令生成全局的用户随机流 RandStream 指令生成孤立 或全 局 的用户随机流 不同发生器所产生随机数的独立性 rng 0 combRecursive 和 RS RandStream mrg32k3a Seed 0 产生的随机流之间的对应关系 reset如何使用户随机流 恢复初始状态 如何用 RandStream setGlobalStream 把用户随机流设置为全局随机流 1 clear rng default rng a1 rand 1 5 aa1 randn 10000 1 rng 0 combRecursive rng a2 rand 1 5 aa2 randn 10000 1 C12 corrcoef aa1 aa2 ans Type twister Seed 0 State 625x1 uint32 a1 0 8147 0 9058 0 1270 0 9134 0 6324 ans Type combRecursive Seed 0 State 12x1 uint32 a2 0 7270 0 4522 0 9387 0 2360 0 0277 C12 1 0000 0 0112 0 0112 1 0000 2 rng default c1 rand 1 5 RS RandStream mrg32k3a Seed 0 c2 rand RS 1 5 cc2 randn RS 10000 1 cc1 randn 10000 1 F all aa1 cc1 G any aa2 cc2 c1 0 8147 0 9058 0 1270 0 9134 0 6324 RS 18 mrg32k3a random stream Seed 0 NormalTransform Ziggurat c2 0 7270 0 4522 0 9387 0 2360 0 0277 F 1 G 0 3 reset RS RandStream setGlobalStream RS RandStream getGlobalStream d2 rand 1 5 dd2 randn 10000 1 H all dd2 cc2 ans mrg32k3a random stream current global stream Seed 0 NormalTransform Ziggurat d2 0 7270 0 4522 0 9387 0 2360 0 0277 H 1 说明 4 随机流的重现控制随机流的重现控制 例 4 6 3 本例演示 重现控制的种子法和状态法 随机流句柄的操作 1 rng 0 a1 rand 1 5 randn 327 286 rng default aa1 rand 1 5 a1 0 8147 0 9058 0 1270 0 9134 0 6324 aa1 0 8147 0 9058 0 1270 0 9134 0 6324 2 sd 3 rng sd v4 b1 rand 1 5 b2 randn 1 5 rand 200 17 rng sd v4 bb1 rand 1 5 bb2 randn 1 5 b1 0 5387 0 3815 0 0512 0 2851 0 3010 b2 0 8640 0 2603 0 8944 1 9727 1 2650 bb1 0 5387 0 3815 0 0512 0 2851 0 3010 bb2 0 8640 0 2603 0 8944 1 9727 1 2650 3 sd 3 19 RS RandStream mcg16807 Seed sd c1 rand RS 1 5 c2 randn RS 1 5 for kk 1 10 rand RS kk kk end reset RS cc1 rand RS 1 5 cc2 randn RS 1 5 c1 0 5387 0 3815 0 0512 0 2851 0 3010 c2 0 8640 0 2603 0 8944 1 9727 1 2650 cc1 0 5387 0 3815 0 0512 0 2851 0 3010 cc2 0 8640 0 2603 0 8944 1 9727 1 2650 4 rng default GS0 rng class GS0 rand 17 19 randn 33 25 GS1 rng all GS0 State GS1 State d1 randn 1 5 rand 23 41 rng GS1 dd1 randn 1 5 GS0 Type twister Seed 0 State 625x1 uint32 ans struct ans 0 d1 0 1348 0 0183 0 4608 1 3623 0 4519 dd1 0 1348 0 0183 0 4608 1 3623 0 4519 5 RS RandStream shr3cong class RS rand RS 77 88 OS get RS State e1 rand RS 1 5 rand RS 13 14 set RS State OS ee1 rand RS 1 5 RS shr3cong random stream Seed 0 NormalTransform Ziggurat ans RandStream e1 0 4387 0 3689 0 9769 0 9371 0 6036 ee1 0 4387 0 3689 0 9769 0 9371 0 6036 说明 20 5 独立随机数序列和随机流的产生独立随机数序列和随机流的产生 例 4 6 4 本例演示 从不同层次上创建独立同分布随机数组 随机序列 随机流的六种 方法 借助 corrcoef 指令检验随机序列的独立性 借助频数直方图检查随机序列的分布性 质 1 rng 2 N 10000 a randn N 2 1 A a 1 N a 2 N 1 a 3 N 2 A 1 4 CA cov A nh 7 log10 N subplot 1 3 1 histfit A 1 nh title A 1 subplot 1 3 2 histfit A 2 nh title A 2 subplot 1 3 3 histfit A 3 nh title A 3 ans 0 1242 2 5415 0 2772 2 5415 0 2772 0 1960 0 2772 0 1960 0 1962 0 1960 0 1962 0 3057 CA 1 0254 0 0095 0 0024 0 0095 1 0254 0 0095 0 0024 0 0095 1 0250 505 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 A 1 505 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 A 2 505 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 A 3 图 4 6 1 A 数组三列元素的频数直方图 2 clear rng 5 N 10000 A rand N 3 B randn N 3 C randi 5 5 N 3 rA corrcoef A rB corrcoef B rC corrcoef C RAB corrcoef A B RAC corrcoef A C rA 1 0000 0 0037 0 0038 0 0037 1 0000 0 0060 0 0038 0 0060 1 0000 rB 21 1 0000 0 0084 0 0233 0 0084 1 0000 0 0060 0 0233 0 0060 1 0000 rC 1 0000 0 0108 0 0174 0 0108 1 0000 0 0043 0 0174 0 0043 1 0000 RAB 1 0000 0 0017 0 0017 1 0000 RAC 1 0000 0 0075 0 0075 1 0000 3 clear N 10000 rng 17 a randn 1 5 A rand N 3 RS RandStream getGlobalStream reset RS RS NormalTransform Polar b randn 1 5 B randn N 3 CAB corrcoef A B a 0 3951 0 1406 1 5172 1 8820 0 7965 b 1 8546 0 2763 1 1453 0 6239 1 8866 CAB 1 0000 0 0109 0 0003 0 0032 0 0094 0 0111 0 0109 1 0000 0 0023 0 0068 0 0086 0 0145 0 0003 0 0023 1 0000 0 0031 0 0007 0 0026 0 0032 0 0068 0 0031 1 0000 0 0009 0 0006 0 0094 0 0086 0 0007 0 0009 1 0000 0 0014 0 0111 0 0145 0 0026 0 0006 0 0014 1 0000 4 clear RS RandStream mlfg6331 64 N 10000 A1 zeros 3 5 AA1 A1 B zeros N 3 for k 1 3 set RS Substream k A1 k rand RS 1 5 B k rand RS N 1 end for k 1 3 set RS Substream k AA1 k rand RS 1 5 end A1 AA1 rA corrcoef B nh 5 log10 N subplot 1 3 1 hist B 1 nh title B 1 subplot 1 3 2 hist B 2 nh title B 2 subplot 1 3 3 hist B 3 nh title B 3 A1 0 6986 0 7413 0 4239 0 6914 0 7255 0 9230 0 2489 0 2405 0 0105 0 8775 0 0261 0 2530 0 0737 0 7119 0 0048 22 AA1 0 6986 0 7413 0 4239 0 6914 0 7255 0 9230 0 2489 0 2405 0 0105 0 8775 0 0261 0 2530 0 0737 0 7119 0 0048 rA 1 0000 0 0021 0 0162 0 0021 1 0000 0 0084 0 0162 0 0084 1 0000 00 51 0 100 200 300 400 500 600 B 1 00 51 0 100 200 300 400 500 600 B 2 00 51 0 100 200 300 400 500 600 B 3 图 4 6 2 B 数组三列元素的频数直方图 5 clear N 1e4 rng 0 a rand N 1 rng 31 b rand N 1 Cab corrcoef a b Cab 1 0000 0 0006 0 0006 1 0000 6 clear N 1e4 rng default RS RandStream swb2712 A rand N 3 B rand RS N 3 C A B CAB corrcoef C CAB 1 0000 0 0137 0 0183 0 0055 0 0045 0 0205 0 0137 1 0000 0 0106 0 0025 0 0028 0 0067 0 0183 0 0106 1 0000 0 0077 0 0136 0 0123 0 0055 0 0025 0 0077 1 0000 0 0348 0 0069 0 0045 0 0028 0 0136 0 0348 1 0000 0 0037 0 0205 0 0067 0 0123 0 0069 0 0037 1 0000 说明 6 随机数重现控制旧版指令的使用建议随机数重现控制旧版指令的使用建议 4 6 2数据样本分布可视化描述数据样本分布可视化描述 23 例 4 6 5 直方条分段数对观察随机数据分布的影响 参见图 4 6 3 Nxy 1000 rng 0 v5normal x randn Nxy 1 n1 5 n2 7 log10 Nxy n3 floor sqrt Nxy n4 170 subplot 2 2 1 histfit x n1 title a subplot 2 2 2 histfit x n2 title b subplot 2 2 3 histfit x n3 title c subplot 2 2 4 histfit x n4 title d 4 2024 0 200 400 600 a 4 2024 0 50 100 150 b 4 2024 0 50 100 c 4 2024 0 5 10 15 20 d 图 4 6 3 正态分布实验数据在不同分段下的频数直方图 4 6 3 随机分布的数字特征及其统计量随机分布的数字特征及其统计量 1 随机分布的中心位置统计量随机分布的中心位置统计量 2 随机分布的聚散度统计量随机分布的聚散度统计量 3 斜度和峭度高阶统计量斜度和峭度高阶统计量 例 4 6 6 观察正态 指数 瑞利 均匀等四种随机数的统计量特征 1 24 N 10000 X zeros N 4 rng 1 X 1 randn N 1 X 2 exprnd 1 N 1 X 3 raylrnd 1 N 1 X 4 rand N 1 2 MU 1 S2 1 normstat 0 1 MU 2 S2 2 expstat 1 MU 3 S2 3 raylstat 1 MU 4 S2 4 unifstat 0 1 3 mu mean X m50 median X disp 分布类型分布类型 blanks 9 正态正态 blanks 9 指数指数 blanks 9 瑞利瑞利 blanks 8 均匀均匀 disp 理论均值理论均值 blanks 13 num2str MU disp 平均值平均值 blanks 5 num2str mu disp 中位数中位数 blanks 7 num2str m50 分布类型 正态 指数 瑞利 均匀 理论均值 0 1 1 2533 0 5 平均值 0 00065501 0 99322 1 2552 0 49921 中位数 0 016961 0 68482 1 1812 0 49603 3 s2 0 std X 0 s2 1 std X 1 disp 分布类型分布类型 blanks 7 正态正态 blanks 9 指数指数 blanks 9 瑞利瑞利 blanks 8 均匀均匀 disp 理论离差理论离差 blanks 11 num2str sqrt S2 disp 无偏离差无偏离差 blanks 5 num2str s2 0 分布类型 正态 指数 瑞利 均匀 理论离差 1 1 0 65514 0 28868 无偏离差 0 99618 0 99203 0 6489 0 285144 例 4 6 7 本例演示 正态 指数 瑞利 均匀等四种随机数的前四阶统计量的不同计算 方法 Proakis 定义的矩 Moment 和累 Cumulant 以及相应的 归化斜度和峭度 打印指令 sprintf 的用法 1 function c m exm040607 cm x m 1 mean x m 2 mean x 2 m 3 mean x 3 m 4 mean x 4 c 1 m 1 c 2 m 2 m 1 2 c 3 m 3 3 m 2 m 1 2 m 1 2 c 4 m 4 4 m 3 m 1 3 m 2 2 12 m 2 m 1 2 6 m 1 4 c 5 c 3 c 2 1 5 c 6 c 4 c 2 2 2 clear 25 rng default N 1e6 X zeros N 4 X 1 randn N 1 X 2 exprnd 1 N 1 X 3 raylrnd 1 N 1 X 4 rand N 1 0 5 3 Smatlab 1 mean X Smatlab 2 var X 0 Smatlab 3 skewness X 0 Smatlab 4 kurtosis X 0 4 CU MO exm040607 cm X 5