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第一章投影理论 1 1投影法 1 2点的投影 1 3直线的投影 1 4平面的投影 1 5直线与平面及两平面的相对位置 内容 投影面 投影 A a 投射线 投影中心 B C b c 物体 1 1投影法 投影的形成 P S 中心投影法 投射线汇交于投影中心 投影法 斜投影法 平行投影法 投射线沿S方向相互平行 S S 正投影法 P P 投影法 平行投影法 投射线相互平行 正投影法 投射线汇交于投影中心 归纳 投影法分类 投射线类型 汇交或平行 投影面与投射线的相对位置 倾斜或垂直 中心投影法 斜投影法 投影法 投射线倾斜投影面 投射线垂直投影面 正投影法 共同点 产生投影必须具备的条件 投影中心或投射方向 投影面 物体 投影三要素 1 2点的投影 A a 点的一个投影能确定点的空间位置吗 矛盾如何解决 对 用多面投影 1 点在两投影面体系中的投影 A1 A2 P 两投影面体系的建立 H V O X A a a ax 展开 投影轴 水平投影面 正面投影面 水平投影 正面投影 1 点在两投影面体系中的投影 点的投影连线与投影轴的关系 点的投影到投影轴之距与点到投影面之距的关系 aa ox H V O X a a ax 投影规律 a ax反映点到H面之距 aax反映点到V面之距 1 点在两投影面体系中的投影 2 点在三投影面体系中的投影 W 侧面投影面 a a a Y Z ax ay az 展开 A 侧面投影 投影规律 点的投影连线与投影轴的关系 点的投影到投影轴之距与点到投影面之距的关系 2 点在三投影面体系中的投影 a a OX a a OZ a ax 点到H之距 a az 点到W之距 aax a az 点到V之距 a a 用坐标表示点的空间位置 X Z Y Y x z y y y z x z x y O A x y z 例求a a 例 称点A 点C为对W面的重影点 a a a b b b c c c 点B在点A的右方 下方 前方 点C在点A的正左方 比较两点的相对位置 直线的投影由两点的同名投影的连线确定 1 3直线的投影 1 直线对一个投影面的投影特性 平行 垂直 倾斜 直线相对投影面的位置 P 投影ab ABCos 1 直线对一个投影面的投影特性 AB P 投影反映实长ab AB AB P 投影积聚成一点a b 积聚性 AB 直线相对于投影面的位置可归结为几类 2 直线在三投影面体系中的投影特性 直线相对于三投影面的位置 直线对三投影面均倾斜 一般位置线 直线相对于三投影面的位置 直线 某一投影面 投影面平行线 V 正平线 W 侧平线 水平线 H 直线相对于三投影面的位置 直线 某一投影面 投影面垂直线 H 铅垂线 正垂线 V W 侧垂线 一般位置线 投影面平行线 投影面垂直线 水平线 H面正平线 V面侧平线 W面 铅垂线 H面正垂线 V面侧垂线 W面 投影面平行线 投影面垂直线 特殊位置直线 归纳 直线相对于投影面的位置 一般位置线 对H V W面均倾斜的直线 投影特性 三个投影皆为倾斜直线 且均不反映实长 a b 投影面平行线 平行某一个投影面的直线 是什么线 为什么 正平线 平行V面 投影特性 在所平行的投影面上的投影反映实长及与其它二投影面的倾角 实长 另外二投影分别平行相应的投影轴 一个 一个 一个 是什么线 投影面垂直线 垂直某一个投影面的直线 铅垂线 为什么 垂直H面 投影特性 在所垂直的投影面上的投影积聚成一点 另外二投影分别平行相应的投影轴且反映实长 实长 实长 积聚性 3 属于直线的点 c c 点的投影在直线的同名投影上 点将线段分割成定比 定比定理ac cb a c c b AC CB 判定 点K属于直线AB吗 4 两直线的相对位置 平行相交交叉垂直 两直线平行 投影特性 同名投影平行a b c d ab cd且长度成比例 AB CD 如何判断 根据投影特性a b c d ab cd 求第三投影 摆出空间位置A B 上后 下前C D 上前 下后 两直线相交 交点为共有点 AB CD KK ABK CD 直线的同名投影必相交 交点的投影连线符合点的投影规律 投影特性 两直线交叉 1 2 1 2 3 4 3 4 AB CD 两直线垂直 讨论其中一条直线为投影面平行线的情况 BC PAB BC ab bc 直角投影定理 E F d ab cd 已知AB H AB CD 求cd 例 1 4平面的投影 1 平面表示法 用几何元素表示 用迹线表示 P PV PH PW Pz Px Py 平面与投影面的交线称为平面的迹线 正面迹线 水平迹线 侧面迹线 P PV PW 水平面用迹线如何表示 Pz 铅垂面用迹线如何表示 PV PH PW Px Py 2 平面的投影特性 平面对一个投影面的投影特性 平面 P 平面 P 反映实形 实形性 积聚成直线 积聚性 类似图形 类似性 平面在三投影面体系中的投影特性 平面相对于三投影面的位置 平面相于投影面的位置可归纳为几类 平面对三投影面均倾斜 一般位置平面 平面相对于三投影面的位置 平面 某一投影面 投影面垂直面 V 正垂面 铅垂面 H W 侧垂面 平面相对于三投影面的位置 平面 某一投影面 投影面平行面 V 正平面 水平面 H W 侧平面 一般位置平面 投影面垂直面 投影面平行面 铅垂面 H面 正垂面 V面 侧垂面 W面 水平面 H面 正平面 V面 侧平面 W面 特殊位置平面 归纳 投影面垂直面 投影面平行面 平面相对于投影面的位置 一般位置平面 对H V W均倾斜的平面 投影特性 在H V W面上的投影皆为空间平面图形的类似图形 投影面垂直面 仅垂直于一个投影面的平面 是什么平面 正垂面 为什么 积聚性 投影特性 在所垂直的投影面上的投影积聚成直线 且反映平面与投影面的倾角 另二投影为类似图形 一个 类似图形 一个 类似图形 投影面平行面 平行于某一投影面的平面 是什么平面 水平面 为什么 投影特性 在所平行的投影面上的投影反映实形 另二投影分别平行于相应的投影轴 平行OX轴 平行OY轴 反映实形 3 平面内的点和直线 作图根据 若直线在平面内 则该线必通过平面内的两点 或通过平面内一点并平行于该平面内一直线 几何定理 若点在平面内 则该点必属于平面内一直线 点K在平面内 已知k 求k 例 1 1 k 1 1 k 可见 在平面内取点取线二者互为条件 4 平面内的特殊位置直线 属于平面的投影面平行线 例 过点C在该平面内作水平线 分析 直线的属性 L ABC 水平线 d d CD为所求 已知AC为正平线 完成平面四边形的水平投影 例 c d AB PKL PAB HKL AB 平面内垂直于该平面的投影面平行线的直线 称为平面的最大斜度线 KL为平面内对H面的最大斜度线 平面的最大斜度线 投影特性 kl ab 直角投影定理 KL与H面的倾角 即为平面P与H面的倾角 KL是平面内对H面倾角最大的直线 1 5直线与平面 两平面的相对位置 点 直线 平面之间的相对位置 从属关系 平行关系 相交关系 属于直线的点属于平面的点属于平面的直线 直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行 直线与直线相交直线与平面相交平面与平面相交 垂直关系 直线与平面垂直平面与平面垂直直线与直线垂直 1 平行问题 定理若直线平行于平面内一直线 则该直线平行于平面 反之 若直线平行于平面 则在平面内必可作一直线与该直线平行 d d 直线 平面平面 平面 定理若两平面内有一对相交直线对应平行 则该两平面平行 过点K作直线平行已知平面 m m n n 可作多少条直线 满足条件的直线的轨迹是什么 例 若平面为特殊位置面 如铅垂面 过点作直线与之平行将如何 直线的水平投影应平行平面具有积聚性的投影 直线的正面投影呢 作平面与该平面平行呢 m m n n 2 相交问题 直线与平面相交 交点为共有点平面与平面相交 交线为共有线 求交问题的本质是求共有点 几何元素相对投影面的位置 均不具有积聚性投影 至少其一具有积聚性投影 一般位置的相交问题 特殊位置的相交问题 求直线与平面的交点 k k 判别可见性 例1 特殊位置的相交问题 求直线与平面的交点 k k 例2 求二平面的交线 m n n m 例3 请同学们想一想 若两个正垂面相交 其交线是什么线 交线为正垂线 判别可见性 m n m n 这种相交形式称为互交 一般位置的相交问题 PH m n m n k k 作图步骤 包含直线作辅助平面 求辅助平面与已知平面的交线 交线与已知直线的交点即为所求 例1求DE ABC K 例2 RV SV 求两平面的交线 用求一般位置线面交点的方法求解 结果 例3 1 2 3 4 1 2 3 4 m m 5 8 5 8 n n 求两平面的交线 RV SV 用 三面共点 原理求解 作图步骤 作辅助平面 投影面 分别求辅助平面与二已知平面的交线 求二交线的交点即为二平面交线上的点 3 垂直问题 直线与平面垂直 几何定理 若一直线垂直于某平面 则此直线必垂直于该平面内的一切直线 反之若一直线垂直于某平面内二相交直线则此直线必垂直于该平面 AB P DCE CD VCE H a b c d ab ce 若直线垂直于平面 则直线的水平投影垂直于平面内水平线的水平投影 直线的正面投影垂直于平面内正平线的正面投影 直线投影方向如何确定 例 过点A作直线垂直于平面 b b 两平面垂直 几何定理 若一直线垂直于某平面 则包含此直线的一切平面均垂直于该平面 反之 若两平面相互垂直 则由平面A内任一点向平面B所作的垂线必在平面A内 例 过点A作平面垂直于平面 b b 分析 包含已知平面的垂线的平面 已知平面 过点A作直线 已知平面 包含该垂线作平面 作图步骤 c c 平面ABC为所求 例 求点A到BC之距 分析 过点A与BC垂直相交的直线段为点到直线之距 作图步骤 过点A作平面S BC 求BC S K 连接AK 即为所求 k k PV 此例为作两一般位置直线垂直相交的方法 s s c d d 完成矩形ABCD的投影 分析 矩形的对边相互平行邻边相互垂直 本题关键是求b c 作图步骤 过点B作平面 AB 在平面内取直线BC 作AD BCCD BA 综合问题举例 已知ABC为等边三角形 ab OX 完成其投影 分析 b 已知CB a b c b 求cb c 小结 点在三投影面体系中的投影作图是解决一切问题的基楚 熟练掌握各种位置直线 平面的投影特性 特别要注意H面投影与W面投影的关系 特别是特殊位置直线 平面的投影特性 相交问题 求一般位置直线与平面的交点作图步骤 包含直线作辅助平面 投影面 求辅助平面与已知平面的交线 交线与已知直线的交点即为所求 求交问题的本质是求共有点 求交点 线 的基本方法 辅助平面法 利用 三面共点 原理求解 垂直问题 直线 平面 直线 平面 平面 平面 直线 直线 直线投影方向的确定 直线的水平投影垂直于平面内水平线的水平投影 直线的正面投影垂直于平面内正平线的正面投影 综合问题 此部分是点 直线 平面