第三章线性方程组向量组相关性习题课.ppt

第三章线性方程组习题课 定义 1 线性组合 2 线性表出 定义 3 线性相关 4 线性无关 线性相关性的性质 部分相关 整体相关 整体无关 部分无关 短向量线性无关 则加长向量线性无关 长向量线性相关 则缩短向量线性相关 推论2任意n 1个n维向量必线性相关 推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量 定义 5 向量组的秩 等价的向量组的秩相等 定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩 定理 设向量组B能由向量组A线性表示 则向量组B的秩不大于向量组A的秩 推论 推论 一个向量组的任意两个极大无关组都等价 命题2 一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量 极大无关组的性质 1 一个向量组的极大无关组不是唯一的 2 一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身 注 向量组的秩的性质 1 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同 6 矩阵的秩 1 设 则 推论1 齐次线性方程组 有非零解系数矩阵的行列式 0 只有零解 7线性方程组 7 1齐次线性方程组 解的性质 基础解系1 基础解系的条件2 基础解系的性质 与基础解系等价的线性无关组任意n r个线性无关的解向量3 基础解系的求法 7 2非齐次线性方程组 解的性质解的结构 一 向量组线性关系的判定 二 求向量组的秩 三 基础解系的证法 四 解向量的证法 典型例题 一 向量组线性关系的判定 研究这类问题一般有两个方法 方法1从定义出发 整理得线性方程组 方法 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定 例 研究下列向量组的线性相关性 解一 整理得到 解二 分析 证明 证明向量组的一个部分组构成极大线性无关组的基本方法就是 分析 根据极大线性无关组的定义来证 本身线性无关 其余向量可由其线性表出 它往往还与向量组的秩相联系 证明 证明 只需证明向量部分组线性无关即可 两向量组等价 具有相同的秩因为向量组个数 秩 则该向量组线性无关即证 证明 向量组 I 的极大无关组可由向量组 II 线性表出 而且 II 的极大无关组与 II 等价 即 向量组 I 的极大无关组可由 II 的极大无关组线性表出 I 的极大无关组线性无关 由定理2的推论1 知 R I R II 证明 两向量组等价 具有相同的秩n因为向量组个数 秩 则该向量组线性无关即证 证明2 R a1 a2 an r n R II n 向量组II 可由向量组 I 线性表出 所以R II n R I r所以r n因此 I 线性无关即证 证明 必要性 已知 向量组I线性无关 结论 任一n维向量可被向量组 I 线性表出 向向量组I中任意添加一向量 构成的新向量组共有n 1个n维向量构成 线性相关 定理2推论2 证明 充分性 已知 任一n维向量可被向量组 I 线性表 结论 出向量组I线性无关 任一n维向量可被向量组I线性表出 则n维单位向量也可被其线性表出 由 t13 可知 向量组I线性无关 求一个向量组的秩 可以把它转化为矩阵的秩来求 这个矩阵是由这组向量为行 列 向量所排成的 如果向量组的向量以列向量的形式给出 把向量作为矩阵的列 对矩阵作初等行变换 这样 不仅可以求出向量组的秩 而且可以求出极大线性无关组 二 求向量组的秩 若矩阵A经过初等行变换化为矩阵B 则A和B中任何对应的列向量组都有相同的线性相关性 解 例5证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系 三 基础解系的证法 分析 3 方程组的任一解均可由该向量组线性表示 1 该组向量都是方程组的解 2 该组向量线性无关 要证明某一向量组是方程组的基础解系 需要证明三个结论 证明 注当线性方程组有非零解时 基础解系的取法不唯一 且不同的基础解系之间是等价的 四 解向量的证法 证明 注意 1 本例是对非齐次线性方程组的解的结构作进一步的分析和讨论 即非齐次线性方程组一定存在着个线性无关的解 题中 2 的证明表明了它的存在性 3 对非齐次线性方程组 有时也把如题中所给的个解称为的基础解系 所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为1时 才是方程组的解 2 对齐次线性方程