2012年初中竞赛解答.doc

“时代杯”2012年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题参考解答（初中组）（2012年12月19日下午1530 1700）题号一二三总分1 - 67 - 1011121314得分注意事项：1 本试卷共4页满分150分考试时间90分钟2 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上3 答卷前将密封线内的项目填写清楚密 封 线姓名 学校 考号 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的每题7分，共42分）1 从 - 3，- 2，- 1，4，5中任取2个数相乘，所得积中的最大值为a，最小值为b，则的值为 （ ）A B C D答：A2 在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点为O(0，0)、A(1，1)、B(3，0)，则顶点C的坐标是 （ ）A(-3，1) B(4，1) C(-2，1) D(2，-1)答：D3 在ABC中，AD为BC边上的中线已知AC5，AD4，则AB的取值范围是（ ）A1AB9 B3AB13 C5AB13 D9AB13答：B4 如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，点O、A、B分别是格点已知小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为 （ ）A B O (第4题)A2cm BcmCcm Dcm 答：C5设整数x，y满足不等式x2y22x2y，则xy的不同值的个数为 （ ） A9 B7 C5 D4答：C6在如图所示的方格中，每一横行、纵行和对角线上都应是1，2，3，4四个数，则b a 1 2 3 1 (第4题)a与b的乘积的值为 （ ） A5 B4C3 D2答：B二、填空题（每题7分，共28分）7 若将9个数按照从小到大的顺序排成一列，中间的数恰是这9个数的平均数，前5个数的平均数是40，后5个数的平均数是60，则这9个数的和为_答：4508 设b为实数，点P(m，n) (m0)在函数yx2 + bx + 2的图象上，点P关于原点的对称点Q也在此函数的图象上，则m的值为 _答：9. 口袋中装有5个小球，其中1个红球，2个黄球，2个白球，它们的大小、形状完全一样. 从袋中摸出一个球后放回，再摸第二个球，则两次摸到的两个球为同色球的概率是 .答：10德国数学家洛萨科拉茨在1937年提出了一个猜想：如果n是奇数，我们计算3n1；如果n是偶数，我们除以2不断重复这样的运算，经过有限步骤后一定可以得到1例如，n6时，经过上述运算，依次得到一列数6，3，10，5，16，8，4，2，1小梁同学对某个正整数n，按照上述运算，得到一列数，已知第6个数为1，则正整数n的所有可能取值为_答：4，5，32三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题22分，第14题22分，共80分）11（本题满分18分）在凸四边形ABCD中，BAD90，对角线AC与BD互相垂直且相等，其交点为E，E为AC的中点，求证：BE = DEABCDE(第11题)证明：（证法一）因为ACBD，所以AEDBEA90因此BAEABE90 又因为BAD90，所以BAEDAE90， 从而ABEDAE 于是ABEDAE，得，即AE2DEBE 6分 又因为E为AC的中点，所以AEEC又ACBD，所以AE 12分因此DEBE()2，得BE = DE 18分（证法二）因为E为AC的中点，ACBD， 所以BD是线段AC的垂直平分线，从而ADCD，ABCB 又BDBD，所以ABDCBD 6分 又因为BAD90，所以BCD90 所以BADBCD180 所以A、B、C、D四点共圆 12分 由BAD90得BD是圆的直径 又因为ACBD，所以AC也是圆的直径，从而点E是圆心故BE = DE 18分12（本题满分18分）如图所示，空圆柱形容器内放着一个实心的“柱锥体”（由一个圆柱和一个同底面的圆锥组成的几何体）现向这个容器内匀速注水，水流速度为5cm3/s，注满为止已知整个注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图所示请你根据图中信息，求：（1）圆柱形容器的高与底面积；（2）“柱锥体”中锥体的高与底面积15 42 26 5 8 12 h(cm) O 图 图 A B C t(s) (第12题)解：（1）由图知，圆柱形容器的高为12 3分从第26秒到第42秒，共注入水(4226)5(cm3)，则圆柱形容器的底面积为(4226)5(128)20(cm2) 9分（2）由图知，“柱锥体”中，下部小圆柱的高为5cm，上部小圆锥的高为853(cm) 12分从开始到第15秒，共注入水155 （），则圆柱形容器的底面积“柱锥体”中锥体的底面积155515(cm2)所以“柱锥体”中锥体的底面积为20155(cm2) 18分13（本题满分22分）东方围棋学校组织选手进行围棋比赛，每两位选手都要进行比赛，决出胜负，胜者得1分，败者得0分在所有选手中，男选手的人数是女选手人数的7倍比赛结束后，经统计，男选手的总得分比女选手的总得分多252分 （1）设女选手共有n名，求所有选手的总得分；（用含n的式子表示）（2）求参加此次比赛的男选手的人数和女选手的人数；（用数字作答）（3）证明：在这次围棋比赛中，得分最高的选手一定是男选手 解：（1）由题设及女选手n人，可知男选手为7n人， 则所有选手的总得分为8n(8n1)2=4n(8n1)32n24n. 3分 由于男选手的总得分比女选手的总得分多252分，所以男选手的总得分为= 6分 （2）男选手之间比赛的总得分为， 所以，即0 10分 所以n(17n3)252 经计算，n4时，n(17n3)4(17n3)4(1743)260252，故n4 又4n(8n1)32n24n252，所以n2因此n3 经检验，n3时符合题意所以此次比赛有男选手21人，女选手3人 14分（3）由（2）可知，所有选手共得了276分，其中男选手共得了264分，女选手共得了12分又女选手之间比赛，共得了3分，所以女选手共赢了男选手9分，或者说，女选手的最高得分不超过9211分 18分 因为1121231264，所以一定有男选手的得分超过11分，故得分最高的选手一定是男选手 22分 14（本题满分22分）记表示不超过实数的最大整数，如，（1）证明：不存在正整数，使得对于任意正整数，都有；（2）求所有的正整数，使得对于任意正整数，都有；（3）求所有的正整数，使得对于任意正整数，都有证明：（1）取n = 3，则，即，得12，2c1，这与c1矛盾 所以不存在正整数，使得对于任意正整数，都有 4分（2）由题意知，取n = 3，则= 3，得，所以3 4n + 3 若k + 1是奇数，则被4除余1，于是 4n + 3因此，由，知从而推知故结合（*），得= 所以c1，2，3时，对于任意正整数，都有 14分（3）由题设可知，存在正整数，对于任意正整数，都有，那么，若，对于任意正整数，都有，则取，就有 和 ，得 和. 又b为正整数，所以. 因此，当时，必有. 1