北师大版选修21 3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题 学案.docx

3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题学习目标1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.知识点一全称量词和全称命题短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题.知识点二存在量词与特称命题短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题叫作特称命题.思考(1)在全称命题和特称命题中，量词是否可以省略？(2)全称命题中的“x，m与p(x)”表达的含义分别是什么？答案(1)在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合m是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合m的所有元素满足的性质.题型一全称量词与全称命题例1试判断下列全称命题的真假：(1)任意实数x，使x220；(2)所有自然数x，使x41；(3)对任意角，都有sin2cos21.解(1)由于任意实数x，都有x20，因而有x2220，即x220，所以命题“对于任意实数x，x220”是真命题.(2)由于0n，当x0时，x41不成立，所以命题“所有自然数x，x41”是假命题.(3)由于所有自然数x，sin2cos21成立.所以命题“对任意角，都有sin2cos21”是真命题.反思与感悟判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.判断全称命题为假时，可以用反例进行否定.跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：(1)任意xr，x212；(2)任何一条直线都有斜率；(3)每个指数函数都是单调函数.解(1)由于任意xr，都有x20，因而有x211，所以“任意xr，x212”是假命题.(2)当直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题.(3)无论底数a1或是0a1，指数函数都是单调函数，所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题.题型二存在量词与特称命题例2判断下列特称命题的真假：(1)存在x0z，使得x1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数，tan无意义；(4)存在x0r，使得cosx0.解(1)1z，且(1)311，“存在x0z，使得x1，不存在x0r，使cosx0，“存在xr，使得cosx0”是假命题.反思与感悟判定特称命题真假的方法：代入法：在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.跟踪训练2试判断下列特称命题的真假：(1)存在x0q，x3；(2)存在x0，y0为正实数，使xy0；(3)存在x0r，tanx01；(4)存在x0r，lgx00.解(1)由于使x3成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x0q，x3”为假命题.(2)因为x00，y00，所以xy0，所以“存在x0，y0为正实数，使xy0”为假命题.(3)当x0时，tan1，所以“存在x0r，tanx01”为真命题.(4)当x01时，lg10，所以“存在x0r，lgx00”为真命题.题型三全称命题、特称命题的应用例3(1)若命题p：存在x0r，使ax2x0a0，求实数a的取值范围；(2)若不等式(m1)x2(m1)x3(m1)0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由ax2x0a0，得a(x1)0，a0时，x02，1，当x00时，x02，1，的最大值为1.又存在x0r，使ax2x0a0成立，只要a1，a的取值范围是(，1).(2)当m10即m1时，2x60不恒成立.当m10，则综上，m0恒成立.4.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()a.存在一个0，使tan(900)tan0b.存在实数x0，使sinx0c.对一切，sin(180)sind.对一切，sin()sincoscossin答案a解析含有存在量词的命题只有a，b，而sinx01，所以sinx0不成立，故选a.5.已知命题p：存在x0(，0)，2x03x0，命题q：任意x(0，)，cosx1，则下列命题为真命题的是()a.p且qb.p或(綈q)c.(綈p)且qd.p且(綈q)答案c解析当x00时，2x03x0不成立，p为假命题，綈p为真命题，而x(0，)时，cosx1成立，q为真命题.1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命