小学数学论文：浅谈数形结合思想的数学应用策略.doc

小学数学论文 数形结合，形数相随 浅谈数形结合思想的数学应用策略【摘要】数形结合既是一种数学思想，又是一种数学方法。在数学教学中以及学生的数学学习中，数形结合的思想尤为重要。数与形的相互转化、相互启发、相互渗透的过程，加深了学生对数学知识的认知、感悟与理解。数形结合思想可以激发学生的数学学习兴趣，提高对数学的理解能力，从而有效的提高了小学数学的教学效率，使教学和学习达到事半功倍的效果。此文将记录数形结合思想对小学生数学学习的影响、在小学数学教学中运用数形结合的策略以及数形结合思想在实际教学中的应用。【关键词】数形结合 数 形 数学学习皮亚杰的认知发展阶段理论中提到，小学生的认知发展水平正处于具体运算阶段，思维以形象思维为主，思考需要依靠具体形象的事物来支持。数形结合这一数学思想方法，通过“形”的直观性和生动性来刺激学生的感官，有效的将数和形、抽象思维和形象思维结合起来，这将有助于学生学习数学的效率和解题能力。数形结合既是教师的教学方法、教学策略，也是学生的一种学习方法。长期渗透、恰当运用，学生就会树立运用数形结合方法的思想，建立使用数形结合思想的意识，养成良好的数学习惯，这将会长期稳固地影响着学生今后的数学学习。一、数形结合对学生数学学习的促进作用 在数学学习思维中，形象思维是先导，而抽象思维是核心。四五六年级这一学段的学生，思维方式逐渐由形象思维过渡到抽象思维，但还是以形象思维为主要成分。数形结合这一思想方法在教学中的应用，对于学生加深对数学概念、知识的认识与理解是有帮助的。有利于学生从形和数的结合上深刻认识数学问题的本质，有利于学生扎实打好数学基础，有利于数学素质的提高，最终促进数学能力的发展。1.数形结合激发了学生的学习兴趣兴趣是最好的老师。图形的直观性，可以激发学生的好奇心，可以调动学生的求知欲，活跃学生的思维；图形的生动性，激发了他们的学习兴趣，提高了学生主动学习的积极性，扩大了学生主动学习的范围。伴随着热情和浓厚的兴趣，学生就会全身心积极地投入到学习中去，主动探索学习新知识。如四年级“植树问题”中，课的开始学生一起玩“手指游戏”。再出示植树问题的例题：“同学们要在长20米的小路一边植树，每隔5米种一棵，两端也要种。一共需要多少棵树苗？”我们发现，课堂上学生的学习积极性明显提高，在尝试例题时，他们参照“手指游戏”通过画示意图（如右图）进行“实地”植树，能够较快的找到植树问题的规律，并总结归纳。我们还发现，在课堂中，学生的求知欲始终很高，学习的积极性也得到了充分的调动。2.数形结合提高了学生的课堂学习效率数形结合能使数量关系之间的内在联系变得直观，能使复杂的数量问题简单化，能使抽象的概念、定义、公式等具体化和直观化。数形结合能够有效地利用“形”促进数学知识的理解记忆和再用时的提取。学生加深了对算理的理解，提高了对数学问题的解决能力。有利于开阔学生的思维，发展学生的空间观念，从而有助于数学综合能力的发展。 如六年级教学内容数与形中，求解 时，部分学生试着从左往右计算，花费大量的时间却徒劳无功。而另一部分学生利用课上的数形结合知识，将分数表示在单位“1”的图形上（如右图和下图），在较短的时间内掌握了抓住了解题的关键，得出答案。在用数形结合方法解决该题的过程中，学生对难点的理解更加透彻了，对数形结合这种方法也给予了更多的肯定。 3.数形结合提升了学生解决问题的能力数形结合的方法对学生来说，因为它的直观性，可以帮助学生的知识接受；同时也帮助培养学生灵活地运用知识的能力。解题时运用数形结合思想，思维定势得到突破，学生开展大胆合理的想象，尝试不拘泥常用的解题模式，根据实际问题情境，把形的问题转化为数量关系或代数关系的问题，或者把数量关系和代数关系的问题转化为形的问题。从而使复杂的问题变得简单，抽象的问题变得形象具体，达到化繁为简，化难为易，有利于提高学生的思维能力和解决问题的能力。如五年级下册的“鸡兔同笼”问题：鸡和兔子在同一个笼子中，它们一共有8个头，22条腿，那么问鸡和兔子分别是多少只？部分学生采用设未知数解方程的方法，但在解答过程中发现过程繁琐且易错，部分同学甚至不知如何解所列出来的方程。而采用作图展示“实物”的方法的学生（如下图），能够较快理清多出来的脚和只数等数量之间的关系，得出解答。在此基础上，将图转化为数（数式同性），假设鸡是x只，兔有y只，则根据等量关系：鸡的头数+兔的头数=8；鸡的脚数+兔的脚数=22.很自然的构建方程组，将问题过渡到七年级的方程组，为后续学习打下了坚实的基础。这一过程充分实现了“数”向“形”，“形”回归“数”，数形结合这一思想方法。假设全是鸡时： 假设全是兔时： 4.数形结合强化了学生数学情感的熏陶数形结合思想的运用也伴随着丰富的情感教育：“数”的思考，“形”的创设，使得教学情境更加生动有趣，课堂气氛更加活跃，数形的有机结合将数学知识和科学美感融合在一起的。其次，数学教学中通过“形”的展示，将教师对教材的体验和对数学的热爱展现在学生面前，对学生起了良好的熏陶、感染的作用。第三，学生在成功解题后带来的愉快和喜悦的成就感，增加了学生对数学的兴趣和学习热情。这种伴随着学习过程产生的积极的情感，能成为推动和支持学习的动力。第四，教师对学生给予的正面的肯定的评价，激起孩子继续学习的信心。如五年级下册学习的“奇偶性”中问到：“奇数与偶数的和是奇数还是偶数？奇数与奇数的和是奇数还是偶数？偶数与偶数的和呢？”虽然学生用特殊值代入法能很快得出结论，但他们对于结论的适用范围表示了怀疑。提出疑问后，学生尝试用小方格（如图）分别表示出奇数和偶数，答案不言而喻了。同时，在“奇偶性”中，求差、积也就一目了然了。二、培养学生数形结合思想的教学策略数形结合，不仅对于教师的教学来说，是一种教学方法、教学策略；而且对于学生来说，是一种学习方法。在小学数学教学中，教师应有意识地阐明数、形之间的关系，数形结合的过程，帮助学生灵活地借助数形结合思想，将数学问题化难为易。1.课堂教学中，渗透数形结合思想数学学习的过程不是单纯的只有数学知识的摄取，还蕴含着数学思想方法。在新授课中，在充分发挥多媒体技术的作用下，设计生动形象的教学情境，培养学生的数形结合意识，让学生体会到“数”和“形”的相互转化，“数”和“形”的互补作用，帮助学生深化思路，获取新知，提高数学素养。数形结合思想能更有效的促进知识的理解和巩固。如五年级下册“分数的意义”中，课堂上提供图形让学生涂色，用线段图分割等形式让学生感受“数”中有“形”，“形”中“数”，数形结合思想加深了学生对于分数的理解。单位“1”的东西尽然还能再分割，这是多么神奇的事情！2.在指导解题中，体验数形结合思想随着年级的升高，解决问题的难度随着数量关系的增多、数值变化的繁琐而加大。我们要指导学生借助数形结合，当学生在面对越来越复杂的数量关系时，根据数学问题的条件，分析数量关系，画出直观的图形，寻找解题思路。使学生在解题中感受到数形结合在一定程度上充当着数量关系和解决问题之间的桥梁，而搭建这个桥梁的过程便是他们逻辑思维能力提升的过程。如下文将会提到的例3，学生在碰到此类问题时，总是用数量关系解决问题，而难以突破思维定势，把“数”转化成“形”，用“形”来表示“数”来解决问题。少部分的学生在数次体验数形结合优越性后，用该方法轻而易举的解出此题。3.自主学习中，运用数形结合思想在学生自主学习中，提供给学生发现、探索的机会，合理安排课后练习，挖掘知识点背后的数形结合思想；引导学生利用数形结合这一思想方法，根据题意，将数量关系转化成图形，或将图形问题转化成数量关系。让学生在自主学习中体会数形结合的过程以及数形结合带来的优越性。要培养学生养成将运用数形结合的方法当作学习数学的习惯。如解决问题当中的行程问题，部分学生总是喜欢直接套用死记硬背的公式，可当题目稍作变化或难度增加时，他们的错误率也就越来越高。而用数形结合思想的学生，根据题意画出图形，用线段图将路程、速度、时间表示出来，数量关系通过图形展示变得清晰直观，利于学生思维的流畅性，从而能够快速、高效的解出该类题目。三、 数形结合在实际中的应用策略在教学过程中，我们要深入研究教材，挖掘其中所包含的数形结合思想，在教学中灵活运用“以形助数”“以数辅形”，做到数形的有效结合。同时，在解决难题中，我们要“授之以渔”，交给学生数形结合的学习方法。1.以形助数-更直观地学有不少学生觉得数学是门枯燥的学科，解决问题这一类题目更是让人头疼。这类学生不会分析题目，也理解不了题意。不会“读题”的他们在碰到稍微复杂点的数学问题时就无从下手。利用数形结合，可以将抽象的问题转化为图形问题，图形的直观生动和清晰性帮助学生理清思路，明白数之间的关系，从而找到解决问题的方法。例1：一个三角形，如果底边延长1米，高不变，那么面积就增加1.5平方米；如果底不变，高延长1米，那么面积就增加2.5平方米。请你求出原来三角形的面积是多少平方米？解法：h=2sa a=2sh s=ah2 =21.51 =22.51 =532 =3m =5m =7.5 学生碰到这样的题，往往两眼茫然，一头雾水，不知所措。而如果利用数形结合思想，尝试着画图来帮助理解，则困难会迎刃而解。通过画图和观察图形，可以知道题的前半部分增加部分的三角形和原三角形同高，而此部分的面积已知了，高也就很快求解出来了。题的后半部分增加的三角形和原三角形同底。学生很快就写出了正确答案。2.以数辅形-更简便地学有些看似简单的数量关系，如果能一眼看出它所包含的几何意义，能够让我们借助“形”对问题进行直观的分析，了解更深刻的实质。有些几何问题，图形虽然较直观，但已知条件和所求问题之间相差甚远，解题途径不易找到。但运用数形结合的方法去考虑形向数转化，问题就会变得简单清晰。例2：一堆钢管，堆成梯形状，已知最上面是6根，最下面是13根，每两层之间相差1根，这堆钢管共有多少根？学生1：6+7+8+9+10+11+12+13=76（根）学生2：根数=（顶层根数+底层根数）层数2 =（6+13）82 = 76（根）学生1的解题方法笨拙而麻木。而学生2充分利用数形的关系，将钢管的叠法与梯形的面积联系起来，说明了学生对梯形的面积有了深刻的认识。当题目中最上面和最下面的根数变化时，学生也能轻而易举的求解出来，而不必因为数量的变化，导致求解的失败。3.数形结合-更巧妙地学数学学习，不仅需要学生的思维能力，更考察的是学生的综合素质。同时，学生在解决数学难题，探讨数学奥妙的过程中，找到解题的突破口这个过程是快乐的，有成就感的。有效利用数形结合思想，可以让学生加深对数学基础知识、概念等的学习理解和掌握，更能帮助解决学生数学学习中遇到的难题，化难为易，化繁为简。例3：五年级上册总复习上：甲乙两数相乘，如果甲数增加10.1，乙数不变，积增加23.23；如果乙数增加7.2，甲数不变，积增加33.12。甲数除以乙数的商是多少？解法： 甲数：33.127.2=4.6 乙数：23.2310.1=2.3 商：4.62.3=2学生1：（甲数+10.1）乙数=甲数乙数+10.1乙数=甲数乙数+23.23 甲数（乙数+7.2）=甲数乙数+7.2甲数=甲数乙数+33.12 学生2： 被乘数x乘数+10.1x乘数=被乘数x乘数+23.23 被乘数x乘数+被乘数x7.2=被乘数x乘数+33.12 学生3： 我们可以把甲数看成长方形的长，乙数看成长方形的宽。 对比这三个学生的发言，我们发现解决此类较难的题目时，只采用数量关系，对学生来说，理解起来相当有难度。而学生3由数想到形，用形理解数，利用数形结合成功的攻破了这道题的难点，有效的揭示了这类数学问题背后的内在规律与联系。4.数形结合-更升华地学小学阶段我们对学生进行数形结合的意识、思想和方法的培养，对学生今后的数学学习有着深刻的影响，同时在学生小学升中学的衔接过程中起了重要的作用。它帮助学生构建由“数”到“式”，由形象思维到抽象思维的成功转变。这将帮助着学生在中学的数学学习乃至学生今后的数学学习。例4:如图，把面积为1的等边ABC的三边分别向外延长m倍，得到A1B1C1,那么A1B1C1的面积是_ _ _ _ _ （用含m的式子表示）此题是台州某县的八年级期末测试题，得分率极其低，没几位学生做出来。其实只要利用同等高的两个三角形的面积之比等于底之比，结合图形（如图）。在图中标出各部分的面积，答案不言而喻。类似于这类借“形”妙解的问题在中学数学中不胜枚举！总而言之，我们要从小学数学开始，要不失时机、不分场合地学习利用数形结合这一思想方法。为学生提供恰当的、合适的形象材料，设计具体的、生动的、形象的现实情景激发学生数学学习的兴趣，调动学生思维的积极性；同时可以把无形的解题思路形象化，将抽象的数量关系具体化，提高学生抽象思维的能力和对抽象关系的理解能力。使学生的抽