北师大版选修45 不等式的证明 课时作业.docx

2018-2019学年北师大版选修4-5 不等式的证明 课时作业1.已知a,br,则“a1,b1”是“ab+1a+b”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件解析:a+b-(ab+1)=a-ab+b-1=a(1-b)+(b-1)=(b-1)(1-a)=-(a-1)(b-1).若a1,b1,则-(a-1)(b-1)0,a+ba+b.反之,若a+bab+1,即-(a-1)(b-1)0,不一定有a1,b1.故选a.答案:a2.已知a,b,c,d正实数,且abcd,则()a.aba+cb+dcdb.a+cb+dabcdc.abcda+cb+dd.以上均可能解析:a,b,c,d正实数,abcd,adbc,ab+adab+bc,即a(b+d)b(a+c),aba+cb+d.又由adbc,得ad+dcbc+dc,即d(a+c)c(b+d),a+cb+d2a;a2+b22(a-b-1);(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,其中恒成立的有()a.3个b.2个c.1个d.0个解析:在中,a2+2-2a=(a-1)2+110,a2+22a成立.在中,a2+b2-2(a-b-1)=a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)20,当且仅当a=1,且b=-1时,取“=”号.在中,(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=a2c2+b2c2+a2d2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2=b2c2+a2d2-2abcd=(bc-ad)20.故只有恒成立.答案:c4.若ab1,p=lgalgb,q=12(lg a+lg b),r=lga+b2,则()a.rpqb.pqrc.qprd.prb1,lg alg b0,12(lg a+lg b)lgalgb,即pab,lga+b2lgab,即rq,故pq0,且q1,m,nn+,则1+qm+n与qm+qn的大小关系是()a.1+qm+nqm+qnb.1+qm+nqm+qnc.1+qm+n=qm+qnd.不能确定解析:1+qm+n-(qm+qn)=1+qm+n-qm-qn=(1-qm)+qn(qm-1)=(1-qm)(1-qn).若0q1,由m,nn+,知0qm1,0qn0,1-qn0,(1-qm)(1-qn)0.若q1,由m,nn+,知qm1,qn1,1-qm0,1-qn0.综上可知1+qm+n-(qm+qn)0,即1+qm+nqm+qn.答案:a6.当x1时,x3与x2-x+1的大小关系是.解析:x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且x1,x-10.又x2+10,x3-(x2-x+1)0,即x3x2-x+1.答案:x3x2-x+17.已知a,b为不相等的正实数,求证:a+b2a+babba.证明a,b为不相等的正实数,a+b2ab0,要证a+b2a+babba,只需证(ab)a+babba.而(ab)a+babba=aa+b2ba+b2abba=aa-b2bb-a2=aba-b2.若ab0,则ab1,a-b20,aba-b21;若ba0,则0ab1,a-b21.综上所述,aba-b21.又abba0,(ab)a+babba.a+b2a+babba.8.已知a,b,m,n均为正数,求证:am+n+bm+nambn+anbm.分析利用作差法证明即可.证明am+n+bm+n-ambn-anbm=am(an-bn)+bm(bn-an)=(an-bn)(am-bm).a,b,m,n均为正数,当ab时,(an-bn)(am-bm)0,am+n+bm+nambn+anbm;当a0,am+n+bm+nambn+anbm.综上可知am+n+bm+nambn+anbm.9.已知a2,求证:loga(a-1)2,所以a-11,所以loga(a-1)0,log(a+1)a0.因为loga(a-1)log(a+1)a=loga(a-1)loga(a+1)2,所以0loga(a2-1)logaa2=2,所以loga(a-1)log(a+1)a1.所以loga(a-1)b0,求证:(a-b)28aa+b2-ab(a-b)28b.证明要证(a-b)28aa+b2-ab(a-b)28b,只需证(a-b)24aa+b-2ab(a-b)24b,即只需证a-b2a2(a-b)2b0,a-b0,a-b0,只需证a-b2aa-ba-b2b,即证a+b2a1a+b2