北师大版必修五 1.2　余弦定理(二) 学案.doc

1.2余弦定理(二)学习目标1.熟练掌握余弦定理及变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题知识点一正弦定理及其变形1.2r .2a2rsin_a，b2rsin_b，c2rsin_c.知识点二余弦定理及其推论1a2b2c22bccos_a，b2c2a22cacos_b，c2a2b22abcos_c.2cos a，cos b，cos c.3在abc中，c2a2b2c为直角，c2a2b2c为钝角；c20)则a sin a，b sin b，c sin c.代入中，有，变形可得：sin asin bsin acos bcos asin bsin(ab)在abc中，由abc，有sin(ab)sin(c)sin c，所以sin asin bsin c.(2)解由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos a.所以sin a.由(1)知，sin asin bsin acos bcos asin b，所以sin bcos bsin b，故tan b4.反思与感悟(1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用跟踪训练2在abc中，内角a，b，c对边分别为a，b，c，且bsin aacos b.(1)求角b；(2)若b3，sin c2sin a，求a，c的值解(1)由bsin aacos b及正弦定理，得sin bcos b，即tan b，因为b是三角形的内角，所以b.(2)由sin c2 sin a及正弦定理得，c2a.由余弦定理及b3，得9a2c22accos，即9a24a22a2，所以a，c2.题型三利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3在abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c，求证：.证明在abc中，由余弦定理得a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b，a2b2b2a22bccos a2accos b，2(a2b2)2accos b2bccos a，即a2b2accos bbccos a，.由正弦定理得，故等式成立反思与感悟(1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异形式上一般有：左右；右左或左中右三种(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化跟踪训练3在abc中，若acos2ccos2 ，求证：ac2b.解由题a(1cos c)c(1cos a)3b，即aacc3b，2aba2b2c22bcb2c2a26b2，整理得abbc2b2，同除b得ac2b，故等式成立忽略三角形中任意两边之和大于第三边例4已知钝角三角形的三边bca ，acb 2，abc 4，求 的取值范围错解cba，且abc为钝角三角形，c为钝角由余弦定理得cos c0. 24 120，解得2 0，由知0 4，即 2.正解cba，且abc为钝角三角形，c为钝角由余弦定理得cos c0， 24 120，解得2 4， 2，由可知2 3，则x对角的余弦值x，解得x5.(2)若x3，则3对角的余弦值3，解得1x.故x的取值范围是(1，)(，5)1在abc中，bcos aacos b，则abc是()a等边三角形 b等腰三角形c直角三角形 d锐角三角形答案b解析由题ba，整理得a2b2，ab.2在abc中，sin2asin2csin2bsin csin b，则a等于()a60 b45c120 d30答案c解析由正弦定理得a2c2b2bc，结合余弦定理得cos a，又a(0，)，a120.3在abc中，a120，ab5，bc7，则的值为()a. b.c. d.答案d解析由余弦定理bc2ab2ac22abaccos a得7252ac225ac()，ac3或8(舍).4已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的范围是()a(8,10) b(2，)c(2，10) d(，8)答案b解析只需让3和a所对的边均为锐角即可故解得2a.5在abc中，若b1，c，c，则a_.答案1解析由余弦定理得c2a2b22abcos c，a21a3，即a2a20，解得a1或a2(舍)6已知abc的三边长分别为2,3,4，则此三角形是_三角形答案钝角解析4所对的角的余弦为0，故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系2解决综合问题时应考虑以下两点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯3