陕西省西安市长安一中大学区联考2017届高三(下)第三次月考数学试卷(理科)(解析版).doc

2016-2017学年陕西省西安市长安一中大学区联考高三（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1z=（i是虚数单位）则z的共轭复数为（）A2iB2+iC2iD2+i2已知全集U=R，集合A=x|y=lg（x1），B=y|y=，则A（UB）=（）A1，2B1，2）C（1，2D（1，2）3某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A3种B6种C9种D18种4设a=dx，则二项式（x2）5的展开式中x的系数为（）A40B40C80D805已知命题p：x1，；命题q：x0R，则下列命题中为真命题的是（）ApqB（p）（q）Cp（q）Dpq6某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）AB6CD7将函数的图象分别向左、向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则的最小值为（）A3BC6D8若等比数列an的前n项和，则a2=（）A4B12C24D369一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件是（）Ai9Bi6Ci9Di810已知数列an中，an0，a1=1，an+2=，a100=a96，则a2014+a3=（）ABCD11已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）ABC2D12已知函数f（x）=函数g（x）=f（x）2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A1，3）B3，1C3，3）D1，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是 14己知向量，满足|=|=2，且（+2）（）=2，则向量与的夹角为 15已知过点M（1，1）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若点M是AB的中点，则直线l的方程为 16如图，y=f（x）是可导函数，直线l：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），其中g（x）是g（x）的导函数，则g（3）= 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17已知锐角ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a2+b2=6abcosC，且（）求角C的值；（）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求f（A）的取值范围18如图，三棱台DEFABC中，底面是以AB为斜边的直角三角形，FC底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点（I）求证：直线BD平面FGH；（）若BC=CF=，求二面角AGHF的余弦值19某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在50，60），90，100的数据）（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y（2）在选取的样本中，从高度在80厘米以上（含80厘米）的植株中随机抽取3株，设随机变量X表示所抽取的3株高度在80，90）内的株数，求随机变量X的分布列及数学期望20已知抛物C的标准方程为y2=2px（p0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为（）求抛物线C的标准方程；（）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由21已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x2x（1）求f（x）的单调区间和极值点；（2）是否存在实数m，使得函数h（x）=+m+g（x）有三个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由选考题（共10分.请考生在第22-23两题中任选一道作答，如果多选，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号）选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C1的参数方程为（t为参数，0），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2sin（+）（）若极坐标为的点A在曲线C1上，求曲线C1与曲线C2的交点坐标；（）若点P的坐标为（1，3），且曲线C1与曲线C2交于B，D两点，求|PB|PD|选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，c0，函数f（x）=|x+a|+|xb|+c的最小值为4（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值2016-2017学年陕西省西安市长安一中大学区联考高三（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1z=（i是虚数单位）则z的共轭复数为（）A2iB2+iC2iD2+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解答】解：z=，故选：C2已知全集U=R，集合A=x|y=lg（x1），B=y|y=，则A（UB）=（）A1，2B1，2）C（1，2D（1，2）【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】根据题意，由集合的表示方法分析A、B，求出B的补集，由集合的交集定义计算可得答案【解答】解：集合A=x|y=lg（x1），为函数y=lg（x1）的定义域，则A=x|y=lg（x1）=（1，+），B=y|y=2，+），UB=（，2）A（UB）=（1，2）；故选：D3某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A3种B6种C9种D18种【考点】D3：计数原理的应用【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果【解答】解：可分以下2种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种故选：C4设a=dx，则二项式（x2）5的展开式中x的系数为（）A40B40C80D80【考点】DB：二项式系数的性质【分析】先求出定积分a的值，再利用二项展开式的通项公式，令x的指数等于1，求出r的值，即可计算结果【解答】解：a=dx=lnx=lne2ln1=20=2，（x2）5=（x2）5的展开式的通项公式为：Tr+1=x2（5r）=（2）rx103r，令103r=1，解得r=3，（x2）5的展开式中含x项的系数为（2）3=80故选：D5已知命题p：x1，；命题q：x0R，则下列命题中为真命题的是（）ApqB（p）（q）Cp（q）Dpq【考点】2E：复合命题的真假【分析】命题p：是假命题，例如x0时无意义；命题q：是真命题，例如取x0=2时成立再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论【解答】解：命题p：x1，是假命题，例如x0时无意义；命题q：x0R，是真命题，例如取x0=2时成立则下列命题中为真命题的是pq故选：A6某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）AB6CD【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加【解答】解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，几何体的体积V=V半圆锥+V半圆柱=222+221=故选C7将函数的图象分别向左、向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则的最小值为（）A3BC6D【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据正弦型函数的图象和性质，可得满足条件时，函数的最小正周期为，进而得到答案【解答】解：将函数的图象分别向左、向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则函数的周期不大于，若取最小值，则函数的最小正周期为，即=，解得：=，故选：D8若等比数列an的前n项和，则a2=（）A4B12C24D36【考点】89：等比数列的前n项和【分析】由，和an为等比数列，解得a=2，由此能求出a2【解答】解：，a2=S2S1=（9a2）（3a2）=6a，a3=S3S2=（27a2）（9a2）=18a，an为等比数列，（6a）2=（3a2）18a，解得a=2，或a=0（舍），a=2，a2=S2S1=6a=12，故选B9一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件是（）Ai9Bi6Ci9Di8【考点】EF：程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当S=0时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=2，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=3，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=4，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=5，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=6，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=7，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=8，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=9，当S=时，不满足输出条件，执行循环体后，S=，i=10，当S=时，满足输出条件，故空白处的条件为：i9，故选：A10已知数列an中，an0，a1=1，an+2=，a100=a96，则a2014+a3=（）ABCD【考点】8H：数列递推式【分析】由数列递推式求出a3，结合a100=a96求得a96，然后由an+2=可得a2014=a96，则答案可求【解答】解：a1=1，an+2=，由a100=a96，得，即，解得（an0）则a2014+a3=故选：C11已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）ABC2D【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1l，QQ1l，分别交l于P1，Q1；，3|PF2|=2|QF2|；，；过P作PMQQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；解得d=；根据双曲线的定义，|PF1|PF2|=2a，|PF2|=2c2a；根据双曲线的第二定义，；整理成：；解得（舍去）；即该双曲线的离心率为故选A12已知函数f（x）=函数g（x）=f（x）2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A1，3）B3，1C3，3）D1，1）【考点】52：函数零点的判定定理；5B：分段函数的应用【分析】化简g（x）=f（x）2x=，而方程x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为1，3；从而可得，从而解得【解答】解：f（x）=，g（x）=f（x）2x=，而方程x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为1，3；若函数g（x）=f（x）2x恰有三个不同的零点，则，解得，1a3实数a的取值范围是1，3）故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义求最值【解答】解：设z=x2+y2，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知点A（3，4）到原点的距离最大，最大值为：5原点到直线X+y=1的距离最小，最小值所以z=x2+y2的最大值为z=25最小值为x2+y2的取值范围是故答案为：14己知向量，满足|=|=2，且（+2）（）=2，则向量与的夹角为【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】将（+2）（）=2展开，得出，代入夹角公式计算【解答】解：（ +2）（）=2， +2=2 =2，cos=向量与的夹角为故答案为：15已知过点M（1，1）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若点M是AB的中点，则直线l的方程为3x4y7=0【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】方法一：设直线l的方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，即可求得直线AB的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线l的方程；方法二：设M（1+m，1+n），N（1m，1n），代入椭圆方程，作差，由直线l的斜率=，利用点斜式方程，即可求得直线l的方程【解答】解：方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可知：x1+x2=2，y1+y2=2，则，两式相减得： +=0，则=，则直线AB的斜率k=，则直线l的方程方程y+1=（x1），整理得：3x4y7=0，故答案为：3x4y7=0方法二：由点M是AB的中点，则设M（1+m，1+n），N（1m，1n），则，两式相减得：，整理得： =，直线AB的斜率k=，则直线l的方程方程y+1=（x1），整理得：3x4y7=0，故答案为：3x4y7=016如图，y=f（x）是可导函数，直线l：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），其中g（x）是g（x）的导函数，则g（3）=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先从图中求出切点，再求出直线l的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的运算法则，求出g（3）的值【解答】解：直线l：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，f（3）=1，又点（3，1）在直线l上，3k+2=1，从而k=，f（3）=k=，g（x）=xf（x），g（x）=f（x）+xf（x）则g（3）=f（3）+3f（3）=1+3（）=0故答案为：0三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17已知锐角ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a2+b2=6abcosC，且（）求角C的值；（）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求f（A）的取值范围【考点】HR：余弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象；HP：正弦定理【分析】（）由a2+b2=6abcosC，结合余弦定理可求，又sin2C=2sinAsinB，根据由正弦定理得：c2=2ab，从而可求cosC，即可解得C的值（）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意，利用周期公式即可求，可得，由，A，B为锐角，可得范围，求得范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（）因为a2+b2=6abcosC，由余弦定理知a2+b2=c2+2abcosC，所以又因为sin2C=2sinAsinB，则由正弦定理得：c2=2ab，所以cosC=，所以C=（）因为，由已知=，=2，则，因为，由于0，0，所以所以，所以18如图，三棱台DEFABC中，底面是以AB为斜边的直角三角形，FC底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点（I）求证：直线BD平面FGH；（）若BC=CF=，求二面角AGHF的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定【分析】（I）如图所示，连接DG，CD，设CDGF=M，连接MH由已知可得四边形CFDG是平行四边形，DM=MC利用三角形的中位线定理可得：MHBD，可得BD平面FGH；（）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解【解答】（I）证明：如图所示，连接DG，CD，设CDGF=M，连接MH在三棱台DEFABC中，AB=2DE，G为AC的中点，四边形CFDG是平行四边形，DM=MC又BH=HC，MHBD，又BD平面FGH，MH平面FGH，BD平面FGH；（）建立以C为坐标原，CA，CB，CF分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设BC=1，则CF=1，AB=2，则AC=，则A（，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），G（，0，0），H（0，0），则AGH的法向量为=（0，0，1），设GHF的法向量=（x，y，z），则=（，0），=（0，1），则=x+y=0， =y+z=0，令y=2，则x=，z=1，即=（，2，1），则cos，=，即二面角AGHF的余弦为为19某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在50，60），90，100的数据）（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y（2）在选取的样本中，从高度在80厘米以上（含80厘米）的植株中随机抽取3株，设随机变量X表示所抽取的3株高度在80，90）内的株数，求随机变量X的分布列及数学期望【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由茎叶图及频率分布直方图能求出样本容量n和频率分布直方图中的x，y（2）由题意可知，高度在80，90）内的株数为5，高度在90，100内的株数为2，共7株抽取的3株中高度在80，90）内的株数X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（1）由题意可知，样本容量，x=0.1000.0040.0100.0160.040=0.030（2）由题意可知，高度在80，90）内的株数为5，高度在90，100内的株数为2，共7株抽取的3株中高度在80，90）内的株数X的可能取值为1，2，3，则P（X=1）=，X的分布列为：X123P故E（X）=20已知抛物C的标准方程为y2=2px（p0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为（）求抛物线C的标准方程；（）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】（I）由当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为可得SMON=2p=，解得p即可（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，与抛物线方程联立可得y26my6a=0，得到根与系数的关系由对称性，不妨设m0，（i）a0时，可知y1，y2同号又t=+，得到t2=，可得不论a取何值，t值与M点位置有关（ii）a0时，由于y1，y2异号又t=+，可得t2=，可得仅当1=0时，即a=时，t与m无关，此时A即为一个“稳定点”【解答】解：（I）当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为SMON=2p=，解得p=3抛物线C的标准方程为y2=6x（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，联立化为y26my6a=0，0，y1+y2=6m，y1y2=6a由对称性，不妨设m0（i）a0时，y1y2=6a0，y1，y2同号又t=+，t2=，不论a取何值，t值与M点位置有关，即此时的点A不为“稳定点”（ii）a0时，y1y2=6a0，y1，y2异号又t=+，t2=，仅当1=0时，即a=时，t与m无关，此时A即为抛物线的焦点，因此抛物线对称轴上仅有焦点一个“稳定点”21已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x2x（1）求f（x）的单调区间和极值点；（2）是否存在实数m，使得函数h（x）=+m+g（x）有三个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）对f（x）求导，根据导函数的零点来判断f（x）的单调区间与极值点；（2）使得函数h（x）=+m+g（x）有三个不同的零点，实质是转换为求（x）=6lnx+8m+x28x的最小值、最大值与x轴的位置关系【解答】解：（1）f（x）=lnx+1，由f（x）0，得x； f（x）0，得0x，所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，故f（x）的极小值点为x=； （2）假设存在实数m，使得函数h（x）=有三个不同的零点，即方程6lnx+8m+x28x=0有三个不等实根，令（x）=6lnx+8m+x28x，（x）=+2x8=，由（x）0，得0x1 或 x3；由（x）0，得1x3，所以（x）在（0，1），（3，+）上单调递增，（1，3）上单调递减，所以（x）的极大值为（1）=7+8m，极小值为（3）=15+6ln3+8m，要使方程6lnx+8m+x28x=0有三个不等实根，则函数（x）的图象与x轴要有三个交点，根据（x）的图象可知必须满足，解得，所以存在实数m，使得方程有三个不等实根，实数m的取值范围是选考题（共10分.请考生在第22-23两题中任选一道作答，如果多选，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号）选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C1的参数方程为（t为参数，0），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2sin（+）